extremos-optimización

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Aplicaciones de la 
derivada
❖ COMPORTAMIENTO DE LAS FUNCIONES: 
CRECIMIENTO; DECRECIMIENTO; EXTREMOS Y 
CONCAVIDAD
❖ PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LOS COMECHINGONES
Presentación preparada por
Lic. Nélida Pérez y Prof. Emilce Barrozo
C
Á
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LO
 I 
 2
01
9
Comportamiento de las funciones en un intervalo
Varios de los problemas que el cálculo aborda están relacionados con el 
estudio del comportamiento de las funciones en un intervalo.
• ¿tiene f un máximo en un intervalo I?
• ¿tiene f un mínimo en I?
• ¿En qué intervalos es creciente la función? ¿en cuáles es decreciente?
 
TEOREMA DE LOS VALORES EXTREMOS
• 
Teorema
Si f es continua en un intervalo cerrado [a,b], entonces f alcanza 
un mínimo y también un máximo en ese intervalo.
EXTREMOS RELATIVOS
 
 
EXTREMOS ABSOLUTOS
 
EXTREMOS RELATIVOS o LOCALES Y EXTREMOS ABSOLUTOS
Mínimo local
Máximo local
Mínimo 
Absoluto
Máximo Absoluto
En x2 hay un Mínimo 
local. La tangente en 
(x2,f(x2)) es 
horizontal. 
En x4 y x6 hay 
Máximos Locales; la 
tangente es 
horizontal.
En x5 hay un Mínimo 
(absoluto) pero en 
(x5,f(x5)) no existe 
tangente, no es 
derivable la función
• ¿Cómo es la recta tangente 
en los puntos x=c donde se 
producen máximos y 
mínimos? 
• ¿Cómo es su pendiente? 
• ¿Qué pasará con f’ (la 
derivada) en dicho punto?
• Recta tangente es horizontal 
o sea, la pendiente de la recta 
tangente es 0, f’(c)=0
• La derivada en esos puntos 
no existe.
posibilidades
 
Punto Crítico
• 
 
extremo
punto crítico, donde la derivada no existe 
Verificar analíticamente que los 
puntos críticos de f(x) son x=0 y x=4
PROCEDIMIENTO para localizar 
extremos de una función continua 
en un intervalo cerrado [a,b].
1. Determinar los puntos críticos de 
la función en [a,b] .
2. Evaluar la función en cada crítico 
del abierto (a,b).
3. Evaluar la función en cada 
extremo del intervalo.
4. El mayor de todos esos valores es 
el máximo absoluto; el más 
pequeño el mínimo absoluto.
Extremos en un 
intervalo cerrado Ejemplo:Determinar los 
valores 
máximo y 
mínimo 
absolutos de la 
función y =g(x) 
en el intervalo 
[1,3.5]
Se trata de un polinomio, luego es derivable en todo R, los 
únicos puntos críticos serán aquellos donde la derivada es cero.
 
 
 
Extremos en un 
intervalo cerrado
Gráfica realizada 
con Geogebra
 
Determinar los valores extremos absolutos 
y relativos de una función
TEOREMA DE rolle
• Explorar ejemplos. 
• ¿Cuál la interpretación geométrica 
de este resultado
• Analizar qué ocurre si suprimimos 
la hipótesis de derivabilidad de la 
función.
 
 
TEOREMA del valor medio
 
Existe por lo menos un punto P(c,f(c))del 
intervalo (a,b) donde la pendiente de la 
tangente es igual a la pendiente de la secante.
P
a bc
TEOREMA del valor medio
• Explorar ejemplos. 
• ¿Cuál la interpretación 
geométrica de este 
resultado?
• Analizar qué ocurre si 
suprimimos la hipótesis de 
derivabilidad de la función.
 
• ¿Cómo se puede interpretar 
el teorema del valor medio 
si la función describe la 
posición?.
Consideremos la siguiente curva, tracemos las rectas 
tangentes en distintos puntos, y comparemos
Pendiente 
Positiva
Pendiente 
Negativa
Pendiente 
Positiva
CR
EC
IE
NT
E
DECRECIENTE
CR
EC
IE
NT
E
f’(
a)>
0
Pe
nd
ien
te 
po
sit
iva
f’(a)<0
Pendiente negativa
f’(
a)>
0
Pe
nd
ien
te 
po
sit
iva
Máximo Mínim
o
DEFINICIONES
¿Qué tiene que ver f’ con 
el crecimiento?
TEOREMA. 
Criterio de la primera derivada
La función graficada en la diapositiva 17 corresponde a 
Hacemos un análisis de la misma para corroborar lo que concluimos a partir del gráfico. 
• Busquemos puntos 
críticos:
• Dividimos el dominio 
según los puntos críticos 
hallados:
• Evaluamos f’ en un 
punto de cada intervalo, 
y lo que nos interesa es el 
signo:
•
A
pl
ic
am
os
 e
l c
ri
te
ri
o 
de
 
cr
ec
im
ie
nt
o 
/ 
de
cr
ec
im
ie
nt
o
Aplicamos Criterio de la Primera Derivada 
MÁXIM
O
MÍNIM
O
APLICACIÓN DEL CRITERIO DE LA DERIVADA PRIMERA
CR
EC
IE
NT
E
DECRECIENTE
CR
EC
IE
NT
E
f’(
a)>
0
f’(a)<0
f’(
a)>
0
Máximo Mínim
o
Puntos Críticos: -1, 0, 
2
 
CONCAVIDAD
• 
TAREA
Analiza la concavidad en los 
dos ejemplos presentados en 
diapositivas anteriores
Punto de inflexión
 En un punto de 
inflexión la 
tangente corta a la 
curva y la cruza. 
Puede que la 
tangente en el 
punto de inflexión 
sea horizontal, 
oblicua o vertical. 
Es vertical cuando 
la derivada 
segunda de la 
función no existe.
 
DETERMINAR PUNTOS DE 
INFLEXIÓN Y CONCAVIDAD
 
 
DETERMINAR PUNTOS DE 
INFLEXIÓN Y CONCAVIDAD
 
 
Trazar una gráfica aproximada
TEOREMA. 
Criterio de la segunda derivada
 
Resolver y comprobar lo 
obtenido:
Determinar los puntos de inflexión
Otro 
ejemplo
b) Determinar intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y 
graficar.
Realizar los cálculos correspondientes y comprobar que la gráfica de la 
función es la siguiente.
Modelización y 
Optimización
Resolución de Problemas
Ejemplo 1
• Se construirá una pileta de base cuadrada de volumen 25m3. El 
fondo estará hecho de un metal que cuesta 2 dólares el m2; los 
lados de un metal más liviano que cuesta 1dólar el m2.
• Calcular las dimensiones de la caja que minimicen el costo de la 
misma 
i) Leo, entiendo, dibujo. 
Pongo nombres.
ii) ¿Qué piden minimizar? 
¿De qué datos dispongo?
iii) Manipulo datos y 
variables para armar una 
función.
 
Continuación
Ejemplo 1
• Se construirá una pileta de base cuadrada de volumen 25m3. El fondo 
estará hecho de un metal que cuesta 2 dólares el m2; los lados de un 
metal más liviano que cuesta 1dólar el m2.
• Calcular las dimensiones de la caja que minimicen el costo de la misma iv) Determino los puntos 
críticos de la función.
v) Si el dominio de la función 
es un intervalo cerrado, 
evaluar f en cada punto crítico 
y también en los extremos del 
intervalo, para decidir cuál da 
el máximo o mínimo deseado.
vi) Controlo e interpreto lo 
encontrado.
 
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