16 3 Teorema fundamental de las Integrales de Línea

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CÁLCULO 2 - 2021
LICENCIATURA EN CIENCIAS DE LA ATMÓSFERA Y 
METEOROLOGIA APLICADA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 
AMBIENTALES Y GESTION DEL AGUA
DOCENTES: Prof. Emilce Barrozo
Lic. Juan Ignacio López Ortiz
TEOREMA FUNDAMENTAL DE 
LAS INTEGRALES DE LINEA
Material realizado con apuntes extraídos del libro “Cálculo de varias 
variables trascendentes tempranas (7ª ed.)” Autor: Stewart, J. (2012) 
Sección 16.3
Teorema Fundamental de las Integrales de Línea
Recordemos el Teorema Fundamental del Cálculo para funciones de una variable
Podemos evaluar la integral de línea de un campo vectorial conservativo, solo conociendo 
el valor de f en los extremos de la curva C
Independencia de la Trayectoria
Se dice que una curva o trayectoria es cerrada si su punto final coincide con el punto 
inicial, esto es 𝐫 𝑎 = 𝐫(𝑏)
D es abierta si para todo punto P en D hay un disco con centro en P, que está contenido 
totalmente en D. En otras palabras, D no contiene puntos en su frontera
D es conexa si cualesquiera dos puntos en D pueden unirse con una curva o 
trayectoria que está en D
Este Teorema nos dice que los únicos campos vectoriales que son independientes 
de la trayectoria son conservativos
En el ejemplo anterior vimos que existe esta 𝑓 tal que 𝐅 = ∇𝑓
Integro con respecto a x
Es constante con respecto 
a x, pero puede depender 
de yDerivo 𝑓(𝑥, 𝑦) con respecto a y
Igualo 8 y 10 y encuentro g(y) Integro con respecto a y
La función de potencial buscada es: 
𝑓 𝐫 𝜋 = 𝑓 0,−𝑒𝜋 = 𝑒3𝜋 + 𝐾
𝑓 𝐫 0 = 𝑓 0,1 = −1 + 𝐾
Calculamos r en los extremos del intervalo
Teniendo en cuenta la función de potencial hallada
Calculamos f en los extremos de la curva
Aplicamos el teorema