CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VARIAS VARIABLES

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Reporte
	Nombre: Daniela Estefanía Garza Monsiváis 
	Matrícula: 2715761
	Nombre del curso: 
Matemáticas para ingeniería 
	Nombre del profesor: 
Hortencia Alvarado Pérez 
	Módulo 2:
Calculo diferencial e integral de varis variables 
	Actividad:
Investigación 
	Fecha: 26 de septiembre del 2016
	Bibliografía:
· etimologia . (2016). gradiente . 24/09/2016, de etimologia Sitio web: http://etimologias.dechile.net/?gradiente
· hyperphysics. (2016). el gradiente . 24/09/2016, de hyperphysics Sitio web: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/gradi.html
· JUAREZ ESPINOZA ANSELMO. (2012). EL GRADIENTE . En CALCULO VECTORIAL(1). PANAMA: UNIVERSIDAD AUTONOMA DE PANAMA.
· MathWorld. (2016). gradient . 24/09/2016, de MathWorld Sitio web: http://mathworld.wolfram.com/Gradient.html
· universidad de Vigo. (2011). Rotacional y divergencia. 25/09/2016, de universidad de Vigo Sitio web: http://quintans.webs.uvigo.es/recursos/Web_electromagnetismo/magnetismo_rotacionalydivergencia.htm
Objetivo:
Comprender el uso y saber calcular gradiente rotacional y divergencia de un campo.
Procedimiento:
1. crear el formato de reporte con mis datos 
2. buscar información sobre los conceptos
3. citar bibliografías de la información
4. crear conclusión personal 
Resultados:
El Gradiente
En calculo vectorial, el gradiente ∇ f de un cuerpo escalar f es un campo vectorial. El vector gradiente de f evaluado en un punto genérico x del dominio de f ∇  (x), indica la dirección en la cual el campo f varia mas rápidamente y su modulo representa el ritmo de variación de f en la dirección de dicho vector gradiente. El gradiente se representa con el operador diferencial nabla ∇ seguido de la función.
En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial que apunta en la dirección de la mayor tasa de aumento del campo escalar, y cuya magnitud es la mayor tasa de cambio.
Interpretaciones
Considere la posibilidad de una habitación en la que se da la temperatura de un campo escalar, T , por lo que en cada punto (x,y,z) la temperatura es T (x,y,z) (vamos a suponer que la temperatura no cambia en el tiempo). En cada punto de la habitación, el gradiente de T en ese momento se mostrará la dirección que la temperatura se eleva más rápidamente. La magnitud del gradiente determinará la rapidez con la temperatura se eleva en esa dirección.
Considere la posibilidad de una superficie cuya altura sobre el nivel del mar en un punto (x,y) es H (x,y). El gradiente de H en un punto es un vector que apunta en la dirección de la empinada pendiente o grado en ese punto. La inclinación de la pendiente en ese punto está dado por la magnitud del vector gradiente.
El gradiente también se puede utilizar para medir cómo cambia un campo escalar en otras direcciones, en lugar de la dirección de mayor cambio, por tomar un producto escalar. Supongamos que la pendiente más pronunciada en una colina es de 40%. Si la carretera va directamente a la colina, a continuación, la pendiente más pronunciada en la carretera también será de 40%. Si, en cambio, el camino va alrededor de la colina en un ángulo (el vector gradiente), entonces tendrá una pendiente menos profundas. Por ejemplo, si el ángulo entre el camino y la dirección hacia arriba, proyectada sobre el plano horizontal, es de 60 °, a continuación, la pendiente más inclinada a lo largo de la carretera será de 20%, que es 40 veces% el coseno de 60 °.
Esta observación puede ser matemáticamente declaró lo siguiente. Si la altura de la colina función H es diferenciable, entonces el gradiente de H de puntos con una unidad de vector da la pendiente de la colina en la dirección del vector. Más precisamente, cuando H es diferenciable, el producto escalar del gradiente de H con un vector unidad dada es igual a la derivada direccional de la H en la dirección de ese vector unitario.
 Otra forma de entender es la medida de la inclinación de una curva (con frecuencia una línea recta). Se define como la relación del cambio vertical (elevación) con respecto al cambio horizontal (recorrido) para una línea no vertical. En coordenadas Cartesianas rectangulares, el gradiente es la razón a la cual cambia la coordenada y con respecto a la coordenada x.
Ejemplos:
Si se toma como un campo escalar el que se asigna a cada punto del espacio una presión P( campo escalar de tres variables), entonces el vector gradiente en un punto genérico del espacio indicara la dirección en la cual la presión cambiara mas rápidamente.
Considerar un mapa nivel montaña como un campo escalar que asigna a cada pareja de coordenadas latitud y longitud (campo escalar de 2 variables) , en este caso el vector gradiente en un punto genérico indicara la dirección de máxima inclinación de la montaña. El vector será perpendicular a las líneas de contorno del mapa.
El gradiente es el campo vectorial cuyas funciones coordenadas son las derivadas parciales del campo escalar.
Divergencia
La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie que encierra un elemento de volumen dV . Si el volumen elegido solamente contiene fuentes o sumideros de un campo, entonces su divergencia es siempre distinta de cero.
La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, que se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero, para el caso del campo magnético la divergencia viene dada por la ecuación
donde S es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite, ∇B es el campo magnético, V es el volumen que encierra dicha superficie S y  es el operador nabla, que se clacula de la sigueinte forma:
La divergencia de un campo es un valor escalar con signo. Si este signo es positivo, quiere decir que el campo emana hacia el exterior de dicho punto y, por tanto, es una fuente o manantial. Si el signo es negativo, el campo converge hacia un punto del interior del volumen, por lo que constituiría un sumidero. Si la divergencia fuese cero el campo neto (diferencia entre las líneas entrantes y salientes) sería nulo.
En el caso de los campos magnéticos se ha comprobado la ausencia de fuentes y/o sumideros de ahí que una de sus propiedades sea que su divergencia es nula (ecuación 5).
Los campos cuya divergencia es cero se denominan campos solenoidales, que se caracterizan porque sus líneas de campo son cerradas sobre si mismas, es decir, no tienen extremos donde nacen o mueren. De tener dichos extremos, el flujo neto alrededor de uno de ellos no sería nulo, lo cual denotaría la existencia de una fuente o sumidero del campo.
la divergencia es una medida del flujo neto en un punto, por unidad de volumen.
Si la divergencia es positiva en un punto dado, y si este flujo neto es positivo, se dice que el punto es una fuente. Si pensamos en un gas saliendo a presión por la boquilla de una manguera, el gas se dispersa, lo que nos indica que en una fuente, las líneas de flujo que salen del punto dado tienden a abrirse.
Cuando la divergencia es negativa, están entrando más vectores que los que salen y el punto actúa como un sumidero y en un sumidero, las líneas de campo o de flujo, se van acercando unas a otras, hasta casi confundirse en el punto.
Rotacional
Se entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. También se define como la circulación del vector sobre un camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero (Ecuación 1).
Aquí, ∇S es el área de la superficie apoyada en la curva C , que se reduce a un punto. El resultado de este límite no es el rotacional completo (que es un vector), sino solo su componente según la dirección normal a ∇S y orientada según la regla de la mano derecha. Para obtener el rotacional completo deberán calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas en planos perpendiculares.
El rotacional de un campo se puede calcular siempre y cuando este sea continuoy diferenciable en todos sus puntos.
El resultado del rotacional es otro campo vectorial que viene dado por el determinante de la siguiente ecuación:
Las propiedades más destacadas del rotacional de un campo son:
•  Si el campo escalar f(x,y,z) tiene derivadas parciales continuas de segundo orden entonces el rot (∇f) =0
•  Si F(x,y,z) es un campo vectorial conservativo entonces rot (F) = 0
•  Si el campo vectorial F(x,y,z) es una función definida sobre todo R3 cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas y el rot (F) = 0, entonces F es un campo vectorial conservativo.
EL ROTACIONAL o rotor es un vector que indica cuán curvadas están las líneas de campo o de fuerza en los alrededores de un punto. Se aplica exclusivamente a campos vectoriales. Un rotacional igual a cero en un punto dado, significa que en esa región las líneas de campo son rectas (aunque no necesariamente paralelas, ya que pueden abrirse simétricamente si existe divergencia en ese punto)
Un rotacional no nulo indica que en los alrededores del punto, las líneas de campo son arcos, o sea que es una región donde el campo se está curvando. La dirección del vector rotacional es perpendicular al plano de curvatura, y su intensidad indica el grado de curvatura que sufre el campo.”
Conclusión:
Para la realización de este trabajo batalle para encontrar información sobre los conceptos, después encontré un capitulo de un libro en internet y me dio la idea de buscar en libros la demás información, busque libros de calculo vectorial y en muchas paginas no encontraba nada, así que tuve que leer párrafos completos de libros y eso me ayudo a aprender que el gradiente se representa con un delta a la inversa, también aprendí a utilizar el operador nabla y este concepto se refiere a la razón de cambio por así decir la “distancia”, también aprendí que la divergencia rotacional se obtiene de la operación cruz entre la función y la operación nabla, todas estas operaciones son muy utilizadas en todo lo que tiene que ver con fluidos gaseosos o líquidos.