resumenes y ejercicios

Vista previa del material en texto

SEMANA 3 
Ejemplo 1: hallar el área bajo la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 𝑥2 en el intervalo [1,3]. 
Usando la definición de integral definida. 
Solución 
 
∫ (4𝑥 − 𝑥2)𝑑𝑥 = lim
𝑛→∞
∑𝑓(𝑥𝑖⏟
𝟐
)
⏟ 
𝟑
Δx⏟
𝟏
𝑛
𝑖=1
⏟ 
𝟒⏟ 
𝟓
3
1
 
Paso 1: 
Δ𝑥 =
𝑏 − 𝑎
𝑛
=
3 − 1
𝑛
=
2
𝑛
 
Δ𝑥 =
2
𝑛
 
Paso 2: 
𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖Δ𝑥 = 1 + 𝑖 (
2
𝑛
) = 1 +
2𝑖
𝑛
 
𝑥𝑖 = 1 +
2𝑖
𝑛
 
 
Paso 3: 
𝑓(𝑥𝑖) = 4(𝑥𝑖) − (𝑥𝑖)
2 = 4(1 +
2𝑖
𝑛
) − (1 +
2𝑖
𝑛
)
2
 
= 4 +
8𝑖
𝑛
− (1 +
4𝑖
𝑛
+
4𝑖2
𝑛2
) = 4 +
8𝑖
𝑛
− 1 −
4𝑖
𝑛
−
4𝑖2
𝑛2
= 3 +
4𝑖
𝑛
−
4𝑖2
𝑛2
 
𝑓(𝑥𝑖) = 3 +
4𝑖
𝑛
−
4𝑖2
𝑛2
 
Paso 4: 
∑𝑓(𝑥𝑖)Δx =∑(3 +
4𝑖
𝑛
−
4𝑖2
𝑛2
) (
2
𝑛
)
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
=∑(
6
𝑛
+
8𝑖
𝑛2
−
8𝑖2
𝑛3
) 
𝑛
𝑖=1
 
Aplicando las siguientes propiedades de las sumatorias 
• ∑𝑐𝑎𝑖 = 𝑐∑𝑎𝑖 donde 𝑐 es una constante 
• ∑𝑐 = 𝑐𝑛 
• ∑(𝑎𝑖 + 𝑏𝑖) = ∑𝑎𝑖 + ∑𝑏𝑖 
• ∑ 𝑖 = 1 + 2 + 3 + 4 +⋯ =
𝑛(𝑛+1)
2
 
• ∑ 𝑖2 =
𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)
6
 
∑(
6
𝑛
+
8𝑖
𝑛2
−
8𝑖2
𝑛3
) 
𝑛
𝑖=1
=∑
6
𝑛
+
𝑛
𝑖=1
∑
8𝑖
𝑛2
−
𝑛
𝑖=1
∑
8𝑖2
𝑛3
𝑛
𝑖=1
 
 
=
6
𝑛
∑1+
8
𝑛2
∑𝑖 −
8
𝑛3
∑𝑖2
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
 
 
=
6
𝑛
(𝑛) +
8
𝑛2
(
𝑛(𝑛 + 1)
2
) −
8
𝑛3
(
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
6
) 
 
= 6 + 4 (
𝑛 + 1
𝑛
) −
4
3
(
2𝑛2 + 3𝑛 + 1
𝑛2
) 
 ∑𝑓(𝑥𝑖)Δx = 6 + 4 (
𝑛 + 1
𝑛
) −
4
3
(
2𝑛2 + 3𝑛 + 1
𝑛2
)
𝑛
𝑖=1
 
 
 
 
 
 
Paso 5 
lim
𝑛→∞
∑𝑓(𝑥𝑖)Δx
𝑛
𝑖=1
= lim
𝑛→∞
[6 + 4 (
𝑛 + 1
𝑛
) −
4
3
(
2𝑛2 + 3𝑛 + 1
𝑛2
)] 
= lim
𝑛→∞
[6 + 4 (
𝑛
𝑛
+
1
𝑛
) −
4
3
(
2𝑛2
𝑛2
+
3𝑛
𝑛2
+
1
𝑛2
)] 
= lim
𝑛→∞
[6 + 4 (1 +
1
𝑛
) −
4
3
(2 +
3
𝑛
+
1
𝑛2
)] 
 
= 6 + 4(1 +
1
∞
) −
4
3
(2 +
3
∞
+
1
∞
) = 6 + 4(1 + 0) −
4
3
(2 + 0 + 0) 
= 6 + 4 −
8
3
=
22
3
 
 
𝐴 = ∫ (4𝑥 − 𝑥2)𝑑𝑥 =
22
3
 𝑢𝑛𝑑2 
3
1
 
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO 
Ejemplo 1: hallar el área bajo la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 𝑥2 en el intervalo 
[1,3]. Usando el teorema fundamental del cálculo. 
𝐴 = ∫ (4𝑥 − 𝑥2)𝑑𝑥 = [𝟐𝒙𝟐 −
𝒙𝟑
𝟑
]
1
3
= [2(3)2 −
(3)3
3
] − [2(1)2 −
(1)3
3
]
3
1
 
[18 − 9] − [2 −
1
3
] = 9 − 2 +
1
3
= 7 +
1
3
=
22
3
 
 
∫𝑥𝑛𝑑𝑥 =
𝑥𝑛+1
𝑛 + 1
+ 𝑐, 𝑛 ≠ −1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 2 
 
Tarea: Hallar el área bajo la curva 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝒙𝟐 en el intervalo [𝟏, 𝟒] 
 
Teorema fundamental del calculo 
 
Ejemplo 2 : 
 
𝑨 = ∫ (𝟐𝒙 + 𝒙𝟐)𝒅𝒙
𝟒
𝟏
= [𝒙𝟐 +
𝒙𝟑
𝟑
]
𝟏
𝟒
= [(𝟒𝟐) +
(𝟒)𝟑
𝟑
] − [(𝟏)𝟐 +
(𝟏)𝟑
𝟑
] 
= [𝟏𝟔 +
𝟔𝟒
𝟑
] − [𝟏 +
𝟏
𝟑
] = 𝟏𝟔 +
𝟔𝟒
𝟑
− 𝟏 −
𝟏
𝟑
= 𝟏𝟓 + 𝟐𝟏 = 𝟑𝟔 𝒖𝒏𝒅𝟐 
Ejemplo 3: 
 
hallar el área bajo la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 en el intervalo [1,5]. 
 
𝑨 = ∫ (𝒙𝟐 − 𝒙)𝒅𝒙 = [
𝒙𝟑
𝟑
−
𝒙𝟐
𝟐
]
𝟏
𝟓
= [
𝟏𝟐𝟓
𝟑
−
𝟐𝟓
𝟐
] − [
𝟏
𝟑
−
𝟏
𝟐
]
𝟓
𝟏
 
=
𝟏𝟐𝟓
𝟑
−
𝟐𝟓
𝟐
−
𝟏
𝟑
+
𝟏
𝟐
=
𝟏𝟐𝟒
𝟑
−
𝟐𝟒
𝟐
=
𝟏𝟐𝟒
𝟑
− 𝟏𝟐 =
𝟏𝟐𝟒 − 𝟑𝟔
𝟑
=
𝟖𝟖
𝟑
𝒖𝒏𝒅𝟐 
 
 
 
Ejemplo 4: 
 
 
Donde 
𝑓(𝑥) = {
𝑓1(𝑥) = 3, − 4 ≤ 𝑥 ≤ 0
𝑓2(𝑥) = 𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 3
𝑓3(𝑥) = 4𝑥 − 𝑥
2, 3 ≤ 𝑥 ≤ 4
 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 3𝑑𝑥 + ∫ 𝑥𝑑𝑥 +∫ (4𝑥 − 𝑥2)𝑑𝑥
4
3
3
0
0
−4
4
−4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 5 
 
52) 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
2
1
1
−1
2
−1
 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = −∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = −[∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥] = −∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
2
1
1
0
2
1
1
0
2
0
0
2
 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
1
0
1
0
 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = −∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
1
−1
−1
1
 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +
2
−1
∫ 𝑓(𝑥) + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
−1
1
1
0
0
2
0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 6: 
 
∫ |𝒙|𝒅𝒙
𝟑
−𝟐
 
 
|𝒙| = {
𝒙, 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟎
−𝒙, 𝒔𝒊 𝒙 < 𝟎
 
 
 
∫ |𝒙|𝒅𝒙 = ∫ −𝒙𝒅𝒙 +∫ 𝒙𝒅𝒙 = [−
𝒙𝟐
𝟐
]
−𝟐
𝟎
+
𝟑
𝟎
𝟎
−𝟐
𝟑
−𝟐
[
𝒙𝟐
𝟐
]
𝟎
𝟑
 
 
= 𝟎 − (−
(−𝟐)𝟐
𝟐
) + (
(𝟑)𝟐
𝟐
− 𝟎) = 𝟐 +
𝟗
𝟐
=
𝟏𝟑
𝟐
 
Ejemplo 7 
∫ |𝒙𝟐 − 𝟗|𝒅𝒙
𝟑
𝟎
= ∫ −(𝒙𝟐 − 𝟗)𝒅𝒙 = ∫ (−𝒙𝟐 + 𝟗)𝒅𝒙 = [−
𝒙𝟑
𝟑
+ 𝟗𝒙]
𝟎
𝟑
= −𝟗 + 𝟐𝟕 = 𝟏𝟖
𝟑
𝟎
𝟑
𝟎
 
 
|𝒙𝟐 − 𝟗| = {
(𝒙𝟐 − 𝟗), 𝒔𝒊 𝒙𝟐 − 𝟗 ≥ 𝟎, (−∞,−𝟑] ∪ [𝟑,+∞)
−(𝒙𝟐 − 𝟗), 𝒔𝒊 𝒙𝟐 − 𝟗 < 𝟎, (−𝟑, 𝟑)
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 8 
 
40) 
 
𝑨 = ∫ (𝒙𝟑 + 𝒙)𝒅𝒙 =
𝟐
𝟎
 
 
 
 
 
 
 
 
42) 
 
(𝟑 − 𝒙)√𝒙 = 𝟎 (𝒂 𝒚 𝒃 ∈ 𝑹 , 𝒂 ∗ 𝒃 = 𝟎 𝒔𝒊 𝒚 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒔𝒊 𝒂 = 𝟎 ∨ 𝒃 = 𝟎) 
(𝟑 − 𝒙) = 𝟎 ∨ √𝒙 = 𝟎 
𝒙 = 𝟑 𝒙 = 𝟎 
 
𝑨 = ∫ (𝟑 − 𝒙)√𝒙
𝟑
𝟎
 𝒅𝒙 = ∫ (𝟑 𝒙
𝟏
𝟐 − 𝒙
𝟑
𝟐)𝒅𝒙
𝟑
𝟎
 
 
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO 
Si 𝒇 es una función continua en [𝒂, 𝒃], y sea 𝒙 cualquier punto en dicho intervalo 
Sea 
𝑭(𝒙) = ∫ 𝒇(𝒕)𝒅𝒕
𝒙
𝒂
 
Entonces 
 
𝑭′(𝒙) =
𝒅
𝒅𝒙
[∫ 𝒇(𝒕)𝒅𝒕
𝒙
𝒂
] = 𝒇(𝒙) 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 1 
 
35) 
𝒅
𝒅𝒙
(∫ √𝟒 + 𝒕𝟔
𝒙
𝟎
𝒅𝒕) = √𝟒 + 𝒙𝟔 
37) 
𝒅
𝒅𝒙
(∫ √𝒔𝒊𝒏 𝒙𝒅𝒙) 
𝟑
𝒙
=
𝒅
𝒅𝒙
[ −∫ √𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒅𝒕 ] = −√𝒔𝒊𝒏 𝒙
𝒙
𝟑
 
41) 
𝒅
𝒅𝒙
(∫ √𝑡2 + 1
3
𝑑𝑡) 
𝑥3
1
 
𝑦 = 𝑓(𝑢) entonces 𝑦′ =
𝑑
𝑑𝑢
𝑓(𝑢) ∗
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
𝑢 = 𝑥3 
𝒅
𝒅𝒙
(∫ √𝑡2 + 1
3
𝑑𝑡) = √𝑢2 + 1
3
∗ 𝑢′ = √(𝑥3)2 + 1
3
∗ (𝑥3)′ = 3𝑥2√𝑥6 + 1
3
 
𝑢
1
 
Forma general 
𝒅
𝒅𝒙
(∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ) = 𝑓(𝑔(𝑥)) ∗ 𝑔′(𝑥)
𝑔(𝑥)
𝑎