MACS_1-UNIDAD_5-Funciones Caracteristicas

Vista previa del material en texto

I.E.S. “Ramón Giraldo” 
 
1 
ipri
 
 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I 
UNIDAD 5: 
FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS 
 
1. CONCEPTO DE FUNCIÓN 
 
Una función real de variable real es una correspondencia de un conjunto D   en el conjunto de 
los números reales  , es decir, una ley que a cada valor del conjunto D asigna un único número 
real. 
 
La función f de D   en  se simboliza así: 
 
:
 
f D
x f x


 
 
El conjunto D recibe el nombre de dominio de la función, y se representa por  Dom f , y el conjunto 
de los transformados mediante f recibe el nombre de recorrido o imagen de la función, y se 
representa por  Img f : 
    Dom : tiene sentidof x f x 
      Img valores que toma la función / existe al menos un :f y x D y f x     
 
Las funciones también se suelen escribir en la forma  y f x , y se dice que x es la variable 
independiente e y la variable dependiente o función. 
 
Dos funciones y f g son iguales, f g , cuando    Dom Domf g y 
   f x g x  Domx f  . 
 
Geométricamente, una correspondencia es una función cuando la gráfica de la correspondencia corta 
a cada recta vertical en un único punto. 
 
Correspondencia 
 que es función 
Correspondencia 
que no es función 
 
 
2. FUNCIONES ALGEBRAICAS 
 
 Funciones polinómicas 
Bloque 3: Análisis 
 
2 
ipri
 
 Departamento de Matemáticas 
Son del tipo     dondef x A x   11 1 0...n nn nA x a x a x a x a     es un polinomio. 
Se tiene que:  Dom f  
 
 Funciones racionales 
Son de la forma         
 donde y 0
A x
f x A x B x
B x
  son polinomios. 
Se tiene que:        Dom : 0 : 0f x B x x B x     
 
 Funciones irracionales 
Son funciones en las que normalmente su expresión algebraica viene dada por una raíz. Si 
   kf x g x 
Se tiene que:  
  
 
: 0 si el índice es par
Dom
Dom si el índice es impar
x g x
f
g
  

 
 
 Funciones definidas a trozos 
Cuando una función se define utilizando más de una expresión algebraica, se dice que está 
definida a trozos. 
Su dominio variará dependiendo de las expresiones algebraicas de los trozos. 
 
La imagen o recorrido de una función la estudiaremos teniendo en cuenta su representación gráfica. 
 
 
3. OPERACIONES CON FUNCIONES 
■ Función suma 
           f g x f x g x x Dom f Dom g      
 
■ Función producto 
           f g x f x g x x Dom f Dom g      
 
■ Función cociente 
      
 : 0
f xf
x x g x
g g x
 
   
 
 
 
■ Función compuesta 
     f g x f g x (se lee g compuesta1 con f ) 
 
Propiedad: 
Elemento simétrico: Es una función que, si existe, se representa por 1f  y verifica: 
       1 1f f x f f x I x    
 
 
1 Se lee al revés de como se escribe, ya que primero aplicamos g y luego f . 
I.E.S. “Ramón Giraldo” 
 
3 
ipri
 
 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I 
La función 1f  recibe el nombre de función inversa2 de f . 
 
■ Función inversa 
o Cálculo de la función inversa: 
a) Expresar la variable y en función de la variable x . 
b) Despejar la variable x de la igualdad anterior con el fin de hallar la expresión de x en 
función de y . 
c) Intercambiar las variables, ya que cualquier función se expresa siempre a partir de la 
variable x . 
d) Realizar la comprobación. 
 
Geométricamente, si existe la función inversa, su gráfica se obtiene tomando la simétrica de la 
gráfica de la función respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrantes. 
 
 
 
 
4. CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES 
 
4.1.- MONOTONÍA (crecimiento, decrecimiento), máximos y mínimos relativos. 
Sea :f D    una función e I D un intervalo. Se dice que f es 
a) estrictamente creciente en I si 
b) creciente en I si    0 1 0 1 0 1, : se tiene que x x D x x f x f x    
c) estrictamente decreciente en I si    0 1 0 1 0 1, : se tiene que x x D x x f x f x    
d) decreciente en I si    0 1 0 1 0 1, : se tiene que x x D x x f x f x    
e) constante en I si    0 1 0 1 0 1, : se tiene que x x D x x f x f x    
 
Una función es estrictamente monótona si es estrictamente creciente o estrictamente decreciente, y es 
monótona si es creciente o decreciente. 
 
 
2 ¡Alerta! 1
1
f
f
  (la función 
1
f
 recibe el nombre de función recíproca de f , aunque también es “usual” en la 
bibliografía que llamen función recíproca a 1f  ) 
   101010 que tienese :, xfxfxxDxx 
Bloque 3: Análisis 
 
4 
ipri
 
 Departamento de Matemáticas 
 
Estrictamente creciente 
 
Estrictamente decreciente 
 
Función constante 
 
Diremos que f tiene un máximo relativo en 0x D si existe un entorno abierto
3 de 0x ,  0E x tal que 
. 
 
Diremos que f tiene un mínimo relativo en 0x D si existe un entorno abierto de 0x ,  0E x tal que 
     0 0 f x f x x D E x    . 
x
y
0x  0x 0x
m 0f x
 y f x
 
 
Geométricamente una función tiene un máximo relativo cuando en ese punto la función pasa de ser 
creciente a ser decreciente y tiene un mínimo relativo cuando pasa de ser decreciente a ser creciente. 
 
4.2.- SIMETRÍAS (funciones pares e impares) 
Sea :f D    una función. Se dice que f es 
a) par o simétrica respecto del eje cuando x D  y     f x f x x D    
b) impar o simétrica respecto del origen de coordenadas si x D  y    f x f x   
x D  . 
 
3 Un entorno abierto de es un intervalo de la forma  0 0,x x   para algún 0  . Lo representaremos por 
   0 0 o ,E x E x  si necesitamos precisar el radio,  , que tiene. 
     00 xEDxxfxf 
OY
0x
x
y
0x  0x 0x
M
 0f x
 y f x
I.E.S. “Ramón Giraldo” 
 
5 
ipri
 
 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I 
 
Función par 
 
Función impar 
 
Geométricamente una función es: 
a) par si al doblar la gráfica respecto del eje OY las ramas positiva y negativa de la función 
coinciden. 
b) es impar si al girarla 180º vuelve a coincidir con ella misma. 
 
4.3.- PERIODICIDAD 
Una función :f D    es periódica de período 
 si se cumplen las siguientes dos condiciones: 
1)     f x T f x x D    
 2) 0T  es el menor de los números que cumple 1).
 
4.4.- CONTINUIDAD (funciones continuas) 
Definición no rigurosa4: Diremos que una función :f D    es continua en un punto 0x D si 
en un entorno de dicho punto los puntos próximos a 0x tienen imágenes próximas a  0f x en otro 
entorno de dicho punto. 
 
En el caso de que f sea continua en todos los puntos de un subconjunto S D , se dice que f es 
continua en S. 
 
Cuando una función no sea continua en un punto, se dice que es discontinua en dicho punto. Sin 
embargo, hay que tener cuidado, ya que, si una función no está definida en un punto, no tiene sentido 
estudiar la continuidad de la función en dicho punto. 
 
La clasificación de las discontinuidades de una función se hará en el tema correspondiente. 
 
4.5.- ACOTACIÓN (funciones acotadas). Máximo y mínimo absoluto. 
Una función :f D    está: 
a) acotada si  0 : M f x M x D     
b) acotada superiormente si   : K f x K x D     
c) acotada inferiormente si   : k k f x x D     
 
4 En el tema de Límites y Continuidad daremos una definición rigurosa de función continua, que involucra límites. 
0TBloque 3: Análisis 
 
6 
ipri
 
 Departamento de Matemáticas 
 
Función acotada 
 
Función acotada superiormente 
 
Función acotada inferiormente
 
Como consecuencia de lo anterior se tiene la siguiente caracterización: 
f acotada f acotada superior e inferiormente 
 
Geométricamente, el hecho de que una función esté acotada (por un número 0M  ), se traduce en 
que su gráfica está entre las rectas e y M y M   
 
 
Si f está acotada superiormente, el número M recibe el nombre de cota superior. A la menor de las 
cotas superiores se le llama supremo de f en D. Si el supremo es alcanzado por la función f, es decir, 
 1 1:x D f x  es el supremo, entonces el número  1f x recibe el nombre de máximo absoluto de f 
en D. 
 
Si f está acotada inferiormente el número m recibe el nombre de cota inferior. A la menor de las cotas 
inferiores se le llama ínfimo de f en D. Si el ínfimo es alcanzado por la función f , es decir, 
 0 0:x D f x  es el ínfimo, entonces el número  0f x recibe el nombre de mínimo absoluto de f 
en D. 
 
Teorema de WEIERSTRASS: Si  : ,f a b  es continua, entonces f tiene máximo y mínimo 
absolutos. 
 
Este resultado lo que nos dice es que la función tiene extremos absolutos, pero no nos dice dónde 
están ni cómo calcularlos. 
 
4.6.- CURVATURA (funciones convexas y cóncavas). Puntos de inflexión 
Daremos una definición5 basada en la interpretación geométrica: 
 
 
5 ¡¡Ojo!! Al consultar la bibliografía es posible encontrar libros donde llaman función cóncava a lo que nosotros llamamos 
función convexa. También se usa la nomenclatura cóncava hacia arriba para las funciones convexas y cóncava hacia abajo 
para las cóncavas. Lo importante no es el nombre que se le dé, sino el concepto. Sin embargo, no he encontrado un solo 
libro que no sea de Bachillerato donde la parábola 2x sea cóncava. 
I.E.S. “Ramón Giraldo” 
 
7 
ipri
 
 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I 
Una función :f I    , donde I es un intervalo, es convexa si para cualesquiera ,a b I con 
a b la gráfica de f restringida al intervalo  ,a b “se halla situada por debajo” del segmento de 
extremos      , , ,a f a b f b . 
 
Así, las funciones convexas son aquellas tales que el recinto del plano que queda por encima de su 
gráfica es un conjunto convexo. 
 
Diremos que :f I    , donde I es un intervalo, es cóncava cuando f sea convexa. 
 
Una función tiene un punto de inflexión, cuando en dicho punto la función pasa de ser convexa a ser 
cóncava o viceversa. En el primer caso se habla de punto de inflexión convexo-cóncavo y en el 
segundo de punto de inflexión cóncavo-convexo. 
 
4.7.- TENDENCIAS 
Asíntotas verticales 
Decir que   cuando f x x a  , significa que cuando x tiende a a (se acerca cada vez más al 
punto a), con x a ,  f x toma valores cada vez mayores. 
Análogamente, decir que   cuando f x x a  , significa que cuando x tiende a a, con x a , 
 f x toma valores cada vez más pequeños. 
 
Llamamos asíntotas de una función a las rectas que se aproxima la función en el infinito. 
 
La recta x = a es una asíntota vertical de  f x si se da alguna de las siguientes situaciones: 
  cuando f x x a    cuando f x x a   
   cuando f x x a   
 
Asíntotas horizontales 
Decir que   cuando f x b x  , significa que cuando x se hace tan grande como queramos, la 
función  f x toma valores cada vez más próximos al número b. 
 
Análogamente, decir que   cuando f x b x  , significa que cuando x se hace tan pequeño 
como queramos, la función  f x toma valores cada vez más próximos al número b. 
 
La recta y = k es una asíntota horizontal de  f x si se da alguna de las siguientes situaciones: 
  cuando f x k x  o   cuando f x k x  
 
 
 
Bloque 3: Análisis 
 
8 
ipri
 
 Departamento de Matemáticas 
5. EJERCICIOS 
1. Indica en cada una de las siguientes gráficas cuáles son representaciones de funciones y cuáles 
no: 
 
 
 
 
2. De las siguientes parejas de funciones, indica cuáles son iguales y cuáles no: 
a) y 
b) 
c) 
si 0 si 0
 ; 
si 0 si 0
x x x x
y y
x x x x
  
      
 
 
3. Calcula el dominio de las siguientes funciones: 
1) 10)  f x x 
2) 11) 
3) 12) 
4) 13) 
5) 14) 
6)    2log 1f x x  15) 
7) 16) 
8) 17) 
9) 18) 
 
333 ; 1  yxxy
333 ; 1  yxxy
32  xy
0 xyyx   3
2
2
4

x
x
xf
 
2
2 3
x
x
xf

   23  xxf
  5 2 5 xxf  








1 si 
3
1 si 2
x
x
x
xx
xf
 
9
5
2 

x
xf  







0 si 
0 si 12
xx
xx
xf
  12  xxf
032  xy  
1
1



x
x
xf
02  xy   4
22
12
x
x
xf


  12  xxf  
1
1



x
x
xf
I.E.S. “Ramón Giraldo” 
 
9 
ipri
 
 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I 
4. Calcula       , Dom y 5f g f g g f    en cada uno de los siguientes casos: 
 a) 
 b) 
 
5. Dadas las funciones , comprueba si existe la función 
 y la función . 
 
6. Halla las funciones y , siendo: 
 y 
7. Considera las funciones , y calcula: 
 a) c) 
 b) d) Dom 
 
8. Dadas : 
 a) Halla 
 b) Determina Dom 
 c) ¿Es cierta la igualdad ? 
 
9. Calcula: , siendo y . 
 
10. Dadas las funciones y  






2 si 43
2 si 22
xx
xx
xg halla: 
 a) c) 
 b) Dom d) 
 
11. Sabiendo que calcula: 
 a) b) Dom c) 
 
12. Determina el dominio de las funciones recíprocas de las siguientes funciones: 
    152y 1 22  x-xxgxxf
      xxgxxxf  8y 50,0 si 2
   
x
xgxxf


4
1
y 9
 gf   gf 
 gf   gf 
 












x
x
xx
xx
xf
4 si 
4
1
40 si 1
0 si 2
2  






2 si 
2 si 
2 xx
xx
xg
     
1
1
y 1 ,1 23


x
xhxxgxxf
  hgf    2fg
 hgf   gf 
   
1
1
y 12


x
xgxxf
  1fg
 fg
   1
1
12



 x
x
x
xfg
 gf3  






 1 si 
1 si 1
xx
xx
xf  







1 si 43
1 si 
1
1
xx
x
xxg
 






 0 si 1
0 si 1
2 xx
xx
xf
  1fg   3fg
 fg   1fg
    4y 1 2  xxgxxf
  2fg 





g
f  3





g
f
Bloque 3: Análisis 
 
10 
ipri
 
 Departamento de Matemáticas 
 a) c) 
 b) d) 
 
13. Con las funciones del ejercicio anterior, calcula: 
 a) b) c) 
 
14. Dadas , determina: 
 a) b) c) Dom 
 
15. Si , halla . 
 
16. Dadas , calcula: 
 a) b) Dom 
 
17. Considera las funciones , y determina: 
 a) b) 
 
18. Dada la función , resuelve las siguientes ecuaciones: 
a) 
 b) 
 c)    162  xxff 
 
19. Comprueba si la función tiene inversa, y en caso afirmativo, calcula el 
dominio de 1f . 
 
20. Halla la función inversa de las siguientes funciones: 
 a) e) 
 b) f) 
 c) g) 
 d) h) 
 
21. Si tenemos la función , ¿podrías calcular sin hallar ? 
 
  2 xxf  
3
12



x
x
xh
  11 xxg     31
11



xx
x
xj
gf 23    124 hg 
f
h
2
3 
    1y 12 2  xxgxxf
gf  fg   gf 
    3y 1 xxg
x
xf     fggf  y 
   
2
1
y 1
x
xgxxf 
  1gf   fg 
    
13
1
y 1 , 2


x
xhxxgxxf
  2fg     2hfg 
  63  xxf
   0xff
   xxff 
  0 2  xxxf
23  xy
12
2


x
x
y
2
1

x
y 3xy 
1
2


x
y
13
3


x
x
y
5
12



x
x
y xy 
  32  xxf  71f 1f
I.E.S. “Ramón Giraldo” 
 
11 
ipri
 
 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I 
22. Sabiendo que halla, si es posible, 
a) Halla, utilizando la gráfica de la función, 
b) Dibuja la gráfica de 
 
23. Si , ¿es necesariamente ? Si no es así pon un ejemplo de dos funciones 
no nulas cuyo producto sea cero. 
 
24. Dibuja una gráfica que cumpla las condiciones dadas en cada uno de los siguientes casos: 
 a) Dom e Img 
 b) Dom – {3} e Img 
 c) Dom e Img 
 d) Dom e Img
 
 
25. Estudia la simetría de las siguientes funciones: 
 a) c) 
 b) d) 
 
26. Dibuja una función par, otra impar y otra 2 – periódica. 
 
27. Expresa la altura de un triángulo equilátero en función de la media de su lado. 
 
28. Expresa el volumen de una piscina de forma cúbica, cuya base mide 30 m2, en función de su 
altura. 
 
29. En una circunferencia de ocho metros de radio se quiere inscribir un rectángulo de base . 
Expresa la altura del rectángulo en función de la base. 
 
30. Queremos construir habitaciones rectangulares de 16 m2. Expresa en forma implícita la 
función que relaciona las dimensiones de una de dichas habitaciones. 
 
31. Sea una función acotada superiormente en  y otra función acotada en  . Demuestra 
las siguientes afirmaciones: 
 a) está acotada superiormente. 
 b) está acotada inferiormente. 
 c) no está acotada superiormente 
 
32. ¿Existe alguna función par e impar a la vez? 
 
 






0 si 1
0 si 2
xx
xx
xf  xf 1
 21 f
 xf 1
0fg 0 o 0  gf
 f     1,1f
 f   f 
      ,11,f    2,2f
 f   f 
  xxxf  5  
14
2


x
x
xf
  124  xxxf   642 xxf 
x
f g
 gf 
 gf 
 fg 