Clase N02

Esta es una vista previa del archivo. Inicie sesión para ver el archivo original

SEMESTRE ACADÉMICO 2020-I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE
SAN MARCOS
ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES
Área de Ingeniería
EQUIPO DE LOS DOCENTES DE CÁLCULO I
ASIGNATURA
CÁLCULO I
2020-1
UNIDAD DIDÁCTICA 1
TEMA DE SESIÓN: FUNCIONES: Definición de una función real de variable real. Funciones Especiales.
APRENDIZAJES ESPERADOS:
• El estudiante discute e interpreta la gráfica de una relación de R en R.
CAPACIDAD GENERAL:
CAPACIDAD ESPECÍFICA:
• Al finalizar el curso, el estudiante aplica el análisis de funciones y el cálculo diferencial de una variable, para resolver 
problemas relacionados a su carrera profesional, apoyándose estratégicamente en herramientas matemáticas con 
responsabilidad y trabajo en equipo.
• Resuelve situaciones problemáticas de contexto real referidas a analizar cambios discontinuos o regularidades, entre valores 
o expresiones; traduciéndolas a expresiones algebraicas que pueden incluir la regla de formación de funciones que mejor se 
ajusten al comportamiento del fenómeno observado.
SEMANA 2
FUNCIONES
¿Cual de los gráficos no es función?
∈ B
Función Domino Rango y Grafica
Definición: Dado los conjuntos no vacíos A, B y D, donde D ⊑ 𝐴, x∈ 𝐷 e 
y ∈ B , se llama función a toda relación que se hace corresponder todo 
elemento de “x” que ∈ D en a lo mas un elemento “y” que ∈ B
:
Si D =A, se dice que la función f esta bien definido o aplicado en B es decir A → 𝐵
Así una función expresa la idea de una cantidad que depende de otra o que esta 
determinada por esta. Por ejemplo el área del circulo depende de la longitud de su 
radio r y se dice que el valor del área del circulo eata en función de su radio r
Ejemplo
Tenemos 𝐴 = 1,2,3 , y 𝐵 = 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒
1. Tenemos 𝑓 = 1, 𝑎 , 2, 𝑏 , (3, 𝑐)
Es una función de A en B pues cada elemento de A esta 
signado un elemento de B y dos elementos vemos que no es 
cubierto entonces no es necesario que se cubra a todo el 
conjunto de B
2. No es función de A en B 𝑓 = 1, 𝑏 , 1. 𝑐 , 2, 𝑎 , (3, 𝑒
El elemento x=1 de A esta asignado a dos elementos de B , 𝑦1 =
𝑏 , 𝑦2 = 𝑐 , esto hace que falle para que no se función pero si es una 
relación.
Toda función es una relación pero no toda relación es funcion
3. Si es una función de A en B 𝑓 = 1, 𝑏 , (2, 𝑐)
En este caso el subconjunto D no es igual a A por tanto la función nos esta bien definido en B, pero si es 
función
4. Si es función de A en B la función 𝑓 = 1, 𝑐 , 2, 𝑐 , (3, 𝑐) ,
Este es un tipo de función llamado función constante
Dominio y Rango de una 
función:
Dominio: Sea 𝑓: 𝐴 → 𝐵 una función de A en B, 
llamaremos dominio de la función f, al conjunto 
de todas las primeras componentes el cual 
denominaremos por 𝐷𝑓 , es decir:
𝐷𝑓 = Τ𝑥 ∈ 𝐴 ∋ 𝑦 ∈ 𝐵 , 𝐴(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 ⊆ 𝐴
Rango: Llamaremos rango de la función f al 
conjunto de las imágenes de todos los 
elementos de mediante f el cual 
denominaremos por 𝑅𝑓 es decir:
𝑅𝑓 = Τ𝑦 ∈ 𝐵 ∋ 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐴(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 ⊆ 𝐴
Grafica de una función: 
En general una función f viene a ser un conjunto de pares ordenados 
𝑓 = Τ(𝑥, 𝑦) 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝑓(𝑥) ∈ 𝐵
Aquí consideraremos funciones entre conjuntos de los números reales 
𝐴 ⊂ 𝑅 ∧ B ⊂ R, llamaremos función real de variable real
EJEMPLO 1
Hallar el dominio, rango y grafique la función 𝑓 𝑥 = 𝑥2
Solución
Como es una función que no tiene restricciones el dominio y son todos los
números reales mientras el rango son todos los números positivos incluido el
0 del eje y es decir:
𝐷𝑓 = ∀ 𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 〔0,∞ > Para graficar tabularemos
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4
FUNCIÓN CUADRÁTICA
x f(x)=x^2
-3 9
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
3 9
Ejemplo 2 
Sean las funciones
𝑓 𝑥 = 𝑥2 𝑓 𝑥 = −𝑥2, compare sus rangos y grafique
Solución
Como se ve ya hemos graficado 𝑓 𝑥 = 𝑥2
Ahora, 𝑓 𝑥 = −𝑥2 su rango es 𝑅𝑓 =< −∞,0]
x f(x)=x^2 f(x)=-x^2
-3 9 -9
-2 4 -4
-1 1 -1
0 0 0
1 1 -1
2 4 -4
3 9 -9
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
f(x)=x^2 f(x)=-x^2
FUNCIONES ESPECIALES
1. Función Identidad:
Su regla de Correspondencia 𝑓 𝑥 = 𝑥 su dominio son todos los reales su 
grafica es una recta cuyo pendiente m=1, que pasa por el origen
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Funcion identidad f(x)=x
2. Función Constante:
Su regla de correspondencia es 𝑓 𝑥 = 𝐶
cuyo dominio es R y su rango consiste en un solo 
elemento C en R
0
0.5
1
1.5
2
2.5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Funcion Constante f(x)=2
3.Funcion Escalón Unitario:
Para cada 𝑎 𝜖 𝑅 𝑓𝑖𝑗𝑜
se define la función escalón unitario`por:
f(x)ቊ
0 𝑠𝑖 𝑥 < 𝑎
1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 𝑎
4. Función Signo:
Es una función donde su dominio es los reales y su rango 𝑅𝑓 =
−1, 0,1 , cuya regla de correspondencia es:
Sgn(x)=ቐ
−1 𝑠𝑖 𝑥 < 0
0 𝑠𝑖 𝑥 = 0
1 𝑆𝑖 𝑥 ≥ 0
5. Funcion Valor Absoluto:
Se caracteriza por: 𝑓 𝑥 = 𝑥
𝑓 𝑧 = 𝑥 = ቊ
𝑥 𝑆𝑖 𝑥 ≥ 0
−𝑥 𝑆𝑖 𝑥 < 0
Su 𝐷𝑓=R y su 𝑅𝑓 = 0,∞
Su grafica
6. Funcion Máximo Entero:
Es aquella función definida por la regla de correspondencia:
𝑓 𝑥 = 𝑥 = n , si, n ≤ 𝑥 < 𝑛 + 1, 𝑛𝜖 𝑍
Cuyo dominio es todo R y cuyo rango es Z enteros
Para algunos valores de n
𝑓 𝑥 =
−2 𝑠𝑖 −2 ≤ 𝑥 < −1
−1 𝑠𝑖 −1 ≤ 𝑥 < 0
0 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 1
1 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥 < 2
2 𝑠𝑖 2 ≤ 𝑥 < 3
Su grafica será:
7. Función Raíz Cuadrada:
Es una función cuya regla de correspondencia es :𝑓 𝑥 =
𝑥 su dominio y rango es 𝐷𝑓 = 0,∞ y 𝑅𝑓 = 0,∞
Su gráfica:
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
Funcion Raiz Cuadrada
8. Funciones Cuadráticas:
Estas funciones tienen la forma general 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 +
𝑐; 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 0
Se pueden transformarse completando cuadrados en 𝑓 𝑥 =
𝑎(𝑥 − ℎ)2+𝑘
Así las graficas son parábolas con eje focal paralelo al eje y con vértice 
𝑉 = (ℎ, 𝑘)
Con dominio es todo R , Presentan dos casos
i) Si a>0 su dominio R y Rango 𝑘,∞
ii) Si a<0 su dominio es R y Rango 
]−∞, K] cuyas graficar correspondientes son:
0
10
20
30
40
50
60
-4 -2 0 2 4 6 8
Función Cuadrática a>0
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
Función Cuadrática a<0
9. Funciones Polinomiales
Son de la forma:
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯……… . 𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0
Donde n es un numero entero 𝑛 ≥ 0 𝑠𝑖 𝑎𝑛 ≠ 0, entonces el polinomio es de 
grado n y el coeficiente 𝑎𝑛 se llama coeficiente principal:
Un polinomio de grado cero es una función constante 𝐹 𝑥 = 𝑎0
Un polinomio de grado uno es una función lineal 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏
Ejemplo: 𝑓 𝑥 = 4𝑥5 + 3𝑥3 − 2𝑥2 + 4𝑣 − 12
Una grafica de una función polinomial es:
0
2
4
6
8
10
12
-3 -2 -1 0 1 2 3
Función Polinomial n=4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
Función polinomial n=3
10.Función Racional:
Es una función cuya regla de correspondencia es 
una fracción:
𝑓 𝑥 =
𝑎𝑛𝑥
𝑛+𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1+⋯……….𝑎2𝑥
2+𝑎1𝑥+𝑎0
𝑏𝑥𝑚+𝑏𝑚−1𝑥
𝑚−1+⋯……….𝑏2𝑥
2+𝑏1𝑥+𝑏0
, 
Donde 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2…𝑎𝑛, 𝑏0, 𝑏1, 𝑏2…𝑏𝑚 son 
constantes con 𝑎𝑛 ≠ 0 ; 𝑏𝑚 ≠ 0
Ejemplo: Sea la función
𝑓 𝑥 =
𝑥2 − 3𝑥 − 5
𝑥2 − 11𝑥 + 10
Funciones con varias reglas de 
correspondencia
En las funciones definidas con dos o mas reglas 
de correspondencia, su dominio y rango se 
determina de la siguiente forma
Suponiendo que la función f es definida por
𝑓(𝑥) = ൞
𝑓1 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝑅
𝑓2 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝑅
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐷𝑓1 ∩ 𝐷𝑓2 = ∅
El dominio de f(x) se determinan así
𝐷𝑓 = 𝐷𝑓1 ∪ 𝐷𝑓2 y el rango 𝑅𝑓 = 𝑅𝑓1 ∪ 𝑅𝑓2
Ejemplo : 
Calcular el dominio y rango de la función
𝑓 𝑥 = ቊ
2𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1
𝑥2 − 2 𝑠𝑖 𝑥 < 0
Solución
Calculamos el dominio ቊ
𝑓1 = 2𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1
𝑓2 = 𝑥
2 − 2 𝑠𝑖 𝑥 < 0
⇒ ൝
𝐷𝑓1 = [0,∞ >
𝐷𝑓2 =< −∞, 0 >
Luego el dominio dé f(x) es 𝐷𝑓1 ∪ 𝐷𝑓2= [0,∞ >∪ < −∞, 0 > ∴
𝑫𝒇 = [𝟎,∞ > ∪ < −∞, 𝟎 >
Ahora calculamos el rango: Se despeja la variable x
𝑆𝑖 𝑥 ≥ 1 ⇒ 𝑦 = 2𝑥 + 1 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑥; 𝑥 =
𝑦−1
2
⇒ 𝑦 ≥ 3
Si 𝑥 < 0 ⇒ 𝑦 = 𝑥2
− 2 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑥 = − 𝑦 + 2 <0
⇒ 𝑦 + 2 > 0 ⇒ 𝑦 ≻ −2 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑦 ∈< −2,∞ >
∴ 𝑹𝒇 = [𝟑,∞ ≫∪< −𝟐,∞ >
Ejercicios desarrollados
1. Hallar el dominio y rango de la función
𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 1 + 𝑥 − 1
Solución
Existe 2 puntos críticos 𝑥 =
1
2
⋀𝑥 = 1,Existen 2 casos
i) 𝑆𝑖 𝑥 <
1
2
⇒ 2𝑥 − 1 = 1 − 2x ⋀ 𝑥 − 1 = 1 − 𝑥⟹ 𝑓 𝑥 = −3𝑥 + 2
ii) Si 
1
2
≤ 𝑥 ≤ 1
⇒
1
2
≤ 𝑥 < 1 ⇒ 2𝑥 − 1 =2x-1⋀ 𝑥 − 1 = 1 − x ⟹ 𝑓 𝑥 = 𝑥
iii) 𝑥 ≥ 1
2𝑥 > 2 ⟹ 2𝑥 − 1 > 1 + 2 ⟹ 2𝑥 − 1 = 2𝑥 − 1 ⟹ 𝑓 𝑥 = 𝑥
X-1>0 ⟹ 𝑥 − 1 >0 ⟹ 𝑥 − 1 x-1 ⟹𝑓 𝑥 = 3 − 2𝑥
Finalmente 𝑓(𝑥)൞
−3𝑥 + 2 𝑠𝑖 𝑥 < 1/2
𝑥 𝑠𝑖
1
2
≤ 𝑥 < 1
3𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1
𝐷𝑓 = 𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑅𝑓 =< −∞, 0 >
Su grafica será
2.Hallar el dominio, de la función
tal que 𝑓 𝑥 =
𝑥−2
𝑥 +2
3.Halla el dominio, rango y grafique
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝑥