Clase N03

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SEMESTRE ACADÉMICO 2020-I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE
SAN MARCOS
ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES
Área de Ingeniería
EQUIPO DE LOS DOCENTES DE CÁLCULO I
ASIGNATURA
CÁLCULO I
2020-1
UNIDAD DIDÁCTICA 1
TEMA DE SESIÓN: FUNCIONES TRASCENDENTES Y COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
APRENDIZAJES ESPERADOS:
• Funciones trascendentes: Funciones Trigonométricas, trigonométricas inversas, funciones logarítmicas y exponenciales
• Álgebra de funciones: Igualdad, suma, diferencia, multiplicación y cociente de funciones.
• Composición de funciones.
• Propiedades de la composición de funciones.
CAPACIDAD GENERAL:
CAPACIDAD ESPECÍFICA:
• Resuelve situaciones problemáticas de contexto real referidas a analizar cambios discontinuos o regularidades, entre valores 
o expresiones; traduciéndolas a expresiones algebraicas que pueden incluir la regla de formación de funciones que mejor se 
ajusten al comportamiento del fenómeno observado.
• Al finalizar la semana, el estudiante determina el dominio, rango y gráfica de las funciones transcendentes directas e 
inversas, así como logarítmicas y exponenciales; calcula las operaciones con funciones de suma, resta, producto, cociente y 
la función compuesta.
SEMANA 3
1. FUNCIONES TRASCENDENTES
1.1 DEFINICIÓN: Toda las funciones que NO son algebraicas se conocen con el 
nombre de funciones trascendentes o trascedentales.
Ejemplos:
1) Función logaritmo: 
2) Función exponencial: 
3) Función trigonométrica: 
𝑓 𝑥 = log𝑎(𝑥) ; 𝑎 > 0 , 𝑎 ≠ 1
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥; 𝑎 > 0 , 𝑎 ≠ 1
𝑓 𝑥 = sin 𝑥 , 𝑓 𝑥 = cos 𝑥 , 𝑓 𝑥 = tan(𝑥)
𝑓 𝑥 = cot 𝑥 , 𝑓 𝑥 = sec 𝑥 , 𝑓 𝑥 = csc(𝑥)
1.2 FUNCION EXPONENCIAL
La función exponencial con base 𝑎 se define para todos los números reales 𝑥 por :
donde 𝑎 > 0 ; 𝑎 ≠ 1 es la base.
Ejemplos:
1) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 ⟹ su base es 2.
2) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 ⟹ su base es 3.
3) 𝑓(𝑥) = 10𝑥 ⟹ su base es 10.
4) 𝑓(𝑥) =
1
2
𝑥
⟹ su base es 10.
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥
Gráfica de la función exponencial
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥, 𝑎 > 1
2
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥, 0 < 𝑎 < 1
2
Función creciente.
Dominio: 
Rango: 0; ∞
Asíntota: Eje X
Función decreciente. 
Dominio: 
Rango: 0; ∞
Asíntota: Eje X
Gráfica de la función exponencial
x f (x)
–2 ¼
–1 ½
0 1
1 2
2 4
3 8
Ejemplo: 𝑓 𝑥 = 2𝑥 La gráfica es continua,
creciente y cóncava hacia
arriba. Pasa por el punto
(0; 1).
La curva se acerca al eje x pero no lo toca ni lo
corta. El eje x es una asíntota horizontal.
Gráfica de la función exponencial
x f (x)
–3 8
–2 4
–1 2
0 1
1 ½
2 ¼
Ejemplo: 𝑓 𝑥 =
1
2
𝑥
La gráfica es continua,
decreciente y cóncava
hacia arriba. Pasa por el
punto (0; 1). También el
eje x es asíntota
horizontal.
1.3 FUNCION LOGARITMO
La función logaritmo con base 𝑎 de 𝑥 es igual al numero que hay que elevar 𝑎 para 
obtener 𝑥, notación:
Donde: 
Es decir:
𝑓 𝑥 = log𝑎(𝑥)
𝑎 > 0 ; 𝑎 ≠ 1 es la base.
𝑦 = log𝑎(𝑥) ⇔ 𝑎
𝑦 = 𝑥
Notación logarítmica Notación exponencial
Gráfica de la función logaritmo
𝑓 𝑥 = log𝑎(𝑥) , 𝑎 > 1
2
2
Función creciente
Dominio: 0; ∞ Rango: 
Asíntota: Eje Y
𝑎
𝑎
𝑎
𝑦 = 1
𝑎 𝑩𝒂𝒔𝒆 𝒂
Función decreciente
Dominio: 0; ∞ Rango: 
Asíntota: Eje Y
𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
𝑦 = 1
𝑎
𝑩𝒂𝒔𝒆 𝒂
𝑓 𝑥 = log𝑎(𝑥) , 0 < 𝑎 < 1
Gráfica de la función logaritmo
Ejemplo: 𝑓 𝑥 = log2(𝑥)
x = 2y f (x)
¼ –2 
½ –1
1 0
2 1
4 2
8 3
Tabulamos: 
Graficamos …
Se observa que ahora la
asíntota vertical es el eje y
La gráfica es creciente,
cóncava hacia abajo y
pasa por (1; 0)
xxy y  2log2
1.4 Función exponencial y logarítmica 
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
xxf 2)( 
xxg 2log)( 
xy 
(2; 4)
(4; 2)
Las gráficas son
simétricas respecto a la
recta y = x. Cada punto
(a; b) de la curva
exponencial tiene su
simétrico de la forma
(b; a) en la curva
logarítmica.
1.5 Funciones trigonométricas 
f(x) = sen(x)
Ran f = [– 1; 1] Periodo = 2 Amplitud = 1Dom f = 
6

3

2

3
2
6
5 
6
7
3
4
2
3
3
5
3
11 2
4

4
3
4
5
4
7
2
1
2
1
-
2
3
2
3
-
1
1-
2
2
2
2
-
x
sen x
2
2
-
2
2
-
2
2
2
2
2
1
-
2
1
-
2
1
2
1
2
3
-
2
3
-
2
3
2
3
0 1 0 01-
6

4

3

2

3
2
6
5

6
7
3
4
2
3
3
5
3
11
2
4
3
4
5
4
7
0
Función Seno:
1.5 Funciones trigonométricas 
f(x) = cos(x)
Función Coseno:
Ran f = [– 1; 1] Periodo = 2 Amplitud = 1Dom f = 
2

3

4

6
 2
3
11
4
7
3
5
3
2
4
3
6
5 
6
7
4
5
3
4
2
1
2
1
-
2
3
2
3
-
1
1-
2
2
2
2
-
0
2
3
x
Cos x 2
2
-
2
2
-
2
2
2
2
2
1
-
2
1
-
2
1
2
1
2
3
-
2
3
-
2
3
2
3
01 0 11-
6

4

3

2

3
2
6
5

6
7
3
4
2
3
3
5
3
11
2
4
3
4
5
4
7
0
f(x) = tg(x)Función Tangente:
}/
2
{ - nnfDom 

fRan Periodo = 
3
3
-
1
1-
6

3

2

3
2
6
5 
6
7
3
4
2
3
3
5
3
11 2
4

4
3
4
5
4
70
3
3
3-
3
x f(x) = Tan x
0 0
/4 1
/2 No existe
3/4 –1 
 0
5/4 1
3/2 No existe
7/4 –1 
2 0
1.5 Funciones trigonométricas 
1.5 Funciones trigonométricas 
• Las otras funciones trigonométricas son las inversas multiplicativas de 
las anteriores, y tenemos :
Función Cosecante: Función Secante: Función Cotangente:
1.6 Funciones trigonométricas inversas
Función Arco seno: 
𝑓 𝑥 = arcsen 𝑥
La función arco seno es la inversa de la 
función seno restringida en el intervalo 
[ −
𝜋
2
,
𝜋
2
]
1.6 Funciones trigonométricas inversas
Función Arco coseno: 
𝑓 𝑥 = arc𝑐𝑜𝑠 𝑥
La función arco coseno es la inversa de la 
función coseno restringida en el intervalo 
[ 0, 𝜋 ]
1.6 Funciones trigonométricas inversas
Función Arco tangente: 
𝑓 𝑥 = arc𝑡𝑎𝑛 𝑥
La función arco tangente es la inversa de 
la función tangente restringida en el 
intervalo [ −
𝜋
2
,
𝜋
2
]
2. Algebra de funciones
Sean las funciones y tal que𝑓:ℝ → ℝ 𝑔:ℝ → ℝ 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 ≠ ∅
Entonces, las funciones y son iguales si y sólo si:𝑓 𝑔
a) 𝐷𝑓 = 𝐷𝑔
b) 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 ; ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 = 𝐷𝑔
Ejemplo 1
Las funciones y son iguales,𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑥(𝑥 − 1)
puesto que: a) 𝐷𝑓 = ℝ = 𝐷𝑔
b) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥 = 𝑥 𝑥 − 1 = 𝑔 𝑥 ; ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 = 𝐷𝑔
Ejemplo 2
Las funciones y no son iguales,𝑓 𝑥 =
𝑥2 − 1
𝑥 + 1
𝑔 𝑥 = 𝑥 − 1
pues no se satisface la primera condición:
2. Algebra de funciones
menterespectiva y dominiocon y funciones lasSean gDfDgf
 :Definimos
a) 𝐷𝑓+𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔
b) 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥); ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔
a) 𝐷𝑓−𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔
b) 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥); ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔
a) 𝐷𝑓.𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔
b) 𝑓. 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 . 𝑔(𝑥); ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔
a) 𝐷𝑓/𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 − {𝑥 ∈ 𝐷𝑔/𝑔(𝑥) = 0}
b) 𝑓
𝑔
𝑥 =
𝑓 𝑥
𝑔(𝑥)
; ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓/𝑔
 y de gf
Multiplicación
 y de gf
Adición
 y de gf
Sustracción
 y de gf
División
Solución: 
 )2ln()(  xxf
   -- ;11;gD
Dadas las funciones: y , halle el)2ln()(  xxf 1
2)( - xxg
dominio y regla de correspondencia de:
g
f
gfgfgf ;.;; -
Ejemplo.
gfgfgf .;; -Hallando el DOMINIO de:
 .Si entonces 02 x → 2-x
Luego:  - ;2fD
 .Si entonces 01
2 -x → 11 - xx12)( - xxg
Luego:
Finalmente    -- ;11;2gDfDD
2. Algebra de funciones
Solución: 
Dadas las funciones: y , halle el)2ln()(  xxf 1
2)( - xxg
dominio y regla de correspondencia de:
g
f
gfgfgf ;.;; -
Ejemplo.
gfgfgf .;; -Hallando la Regla de correspondencia de:
 . 1
2)2ln()()())(( - xxxgxfxgf
 . 1
2)2ln()()())(( ---- xxxgxfxgf
 . 1
2).2ln()().())(.( - xxxgxfxgf
   -- ;11;2xcon
2. Algebra de funciones
Solución: 
Dadas las funciones: y , halle el)2ln()(  xxf 1
2)( - xxg
dominio y regla de correspondencia de:
g
f
gfgfgf ;.;; -
Ejemplo.
Ahora, hallamos el Dominio y Regla de correspondencia de:
 .
 .
g
f

  --- ;11;2}0)({/ xggDfDgfD
12
)2ln(
)(
)(
))((
-


x
x
xg
xf
x
g
f
2. Algebra de funciones
3. Composición de funciones
x
g
f
Domg
DomfRang Ranf
f(g(x))
g(x)
f o g
𝐷𝑜𝑚𝑓𝑜𝑔 = 𝑥/𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑔 ∧ 𝑔(𝑥) ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓
Existe 𝑓𝑜𝑔 ⇔ 𝑅𝑎𝑛𝑔 ∩ 𝐷𝑜𝑚𝑓≠ ∅
3. Composición de funciones
Paso 1.
El dominio de f o g se define como el conjunto de valores x en el
dominio de g, tales que g(x) está en el dominio de f. Es decir:
A B C
fg
x )(xg ))(( xgf 
Si f y g son funciones, la composición de f con g es la función f o g
definida por:
La cual debe cumplir:
Paso 2.
La regla de correspondencia de f ○ g está dada por:
𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∘ 𝑔 = Τ𝑥 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 ∧ 𝑔(𝑥) ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓)
))(())(( xgfxgf 
propiedades:
Sean las funciones , y ; entonces tenemos las siguientes𝑓 𝑔 ℎ
P1)
𝑓 𝑜 𝑔 ≠ 𝑔 𝑜 𝑓
La composición de funciones es no conmutativa, es decir:
Si es la función identidad, luego:I
P5) 𝑓 𝑜 I = 𝑓 y I 𝑜 𝑓 = 𝑓
P6) I𝑛 𝑜 𝑓 = 𝑓𝑛, ∀𝑛 ∈ ℤ+
P2)
(𝑓 𝑜 𝑔) 𝑜 ℎ = 𝑓 𝑜 (𝑔 𝑜 ℎ)
La composición de funciones es asociativa, es decir:
P3) (𝑓 + 𝑔) 𝑜 ℎ = 𝑓 𝑜 ℎ + (𝑔 𝑜 ℎ)
P4) (𝑓. 𝑔) 𝑜 ℎ = 𝑓 𝑜 ℎ . (𝑔 𝑜 ℎ)
4. Propiedades de composición de funciones
4. Propiedades de composición de funciones
Dadas las funciones: F = {(1;2),(2;3),(3;1),(4;1),(5;0)} y
G = {(0;2),(1;3),(2;0),(3;4),(4;6)}. Calcular, si existe: F o G
1.
Solución:
Una manera práctica de hallar F o G es mediante diagramas, en donde
cada par ordenado se traduce en una flecha. Primero graficamos G y
enseguida graficamos F.
Considerando los elementos asociados a las flechas que hacen el recorrido
completo, tenemos:
0
1
2
3
4
2
3
0
4
6
1
5
0
1
2
3
G F
F o G
4. Propiedades de composición de funciones
Solución:
Dadas las funciones: y2. 𝑓 𝑥 = 4𝑥 − 𝑥2 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 2
Hallar, si existe, 𝑓 o g
Hallamos 𝐷𝑜𝑚𝑓𝑜𝑔
Por definición: 𝐷𝑜𝑚𝑓𝑜𝑔 = 𝑥/𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑔 ∧ 𝑔(𝑥) ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓
𝑥 ∈ ℝ (𝑥 − 2) ∈ [0,4]
𝑥 ∈ [2,6]
∧
𝐷𝑜𝑚𝑓𝑜𝑔 =
Hallamos 𝑓 𝑜 𝑔
Por definición: 𝑓 𝑜 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑥 − 2)
𝑓 𝑜 𝑔 𝑥 = 4 𝑥 − 2 − (𝑥 − 2)2
𝑓 𝑜 𝑔 𝑥 = −𝑥2 + 8𝑥 − 12 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ∈ [2,6]
1. Cálculo de una variable: Volumen 1 /por Gerald L. Bradley; Karl J. Smith y 
traducción de José Luis Vicente Córdoba.
2. Teoría y problemas de cálculo superior /por Murray R. Spiegel y 
traducción Jesús María Castaño.
3. Calculo trascendentes tempranas /por James Stewart.
Referencias: