Clase N04

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SEMESTRE ACADÉMICO 2020-I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE
SAN MARCOS
ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES
Área de Ingeniería
EQUIPO DE LOS DOCENTES DE CÁLCULO I
ASIGNATURA
CÁLCULO I
2020-1
UNIDAD DIDÁCTICA 1
TEMA DE SESIÓN: CLASES DE FUNCIONES Y FUNCIÓN INVERSA
APRENDIZAJES ESPERADOS:
• El estudiante identifica si una función es par o impar y establece su simetría con respecto al eje “y” o al punto de origen de 
coordenadas; determina si una función es inyectiva, suryectiva o biyectiva, así como sus intervalos de crecimiento y 
decrecimiento; calcula la función inversa de una composición.
CAPACIDAD GENERAL:
CAPACIDAD ESPECÍFICA:
• Al finalizar el curso, el estudiante aplica el análisis de funciones y el cálculo diferencial de una variable, para resolver 
problemas relacionados a su carrera profesional, apoyándose estratégicamente en herramientas matemáticas con 
responsabilidad y trabajo en equipo.
• Resuelve situaciones problemáticas de contexto real referidas a analizar cambios discontinuos o regularidades, entre valores 
o expresiones; traduciéndolas a expresiones algebraicas que pueden incluir la regla de formación de funciones que mejor se 
ajusten al comportamiento del fenómeno observado.
SEMANA 4
PARIDAD DE UNA FUNCIÓN
Diremos que 𝑓 es una función par siempre que para todo valor de la variable 
independiente 𝑥 y (−𝑥) perteneciente a su dominio se cumple que:
FUNCIONES PARES
   xfxf 
  42 43 xxxf Dada la función 
Analizaremos si la función es par, para ello debe cumplir que
   xfxf 
     
2 4
3 4f x x x    
2 43 4x x 
 f x
Por lo tanto esta función es par
Ejemplo:
Solución:
Muestre que la función es par y bosquejar su grafico 
Función Impar
Diremos que 𝑓 es una función impar siempre que para todo valor de la 
variable independiente 𝑥 y (−𝑥) perteneciente a su dominio se cumple que:
𝑓 −𝑥 = −𝑓 𝑥
El carácter par o impar de una función es lo que conocemos como su 
paridad. Las funciones que no son ni pares, ni impares, carecen de paridad.
Función sin paridad
𝑔 𝑥 = 𝑥3 +
1
2
𝑥
Muestre que la función es impar y bosquejar su grafico.
Dada la función 
Solución:
Analizaremos si la función es impar, para ello debe cumplir que para este caso
𝑔 −𝑥 = −𝑔(𝑥). 
𝑔 −𝑥 = −𝑥 3 +
1
2
−𝑥
= −𝑔 𝑥
Por lo tanto esta función es impar
= −𝑥3 −
1
2
𝑥 = − 𝑥3 +
1
2
𝑥
Ejemplo:
veamos
Cuestión: 
¿Es f(t) = cte. una función periódica?
Ejemplo: 
Las funciones senx y cosx son funciones periódicas con periodo 𝑇 = 2𝜋
FUNCIONES PERIÓDICAS
Una función 𝑓(𝑥) es periódica si cumple que :
𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥 + 𝑇), para todo 𝑥 y (𝑥 + 𝑇) pertenecientes a su dominio 
con T ∈ ℝ.
Al valor mínimo, mayor que cero, de la constante T que cumple lo 
anterior se le llama el periodo fundamental (o simplemente periodo) de 
la función.
Observa que: 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥 + 𝑛𝑇) donde n = 0, ±1, ± 2, ±3,...
Como cos(x + 2kπ) = cos(x) para cualquier entero k, entonces, para que 
se cumpla la igualdad, se requiere que: 
El valor mínimo de T se obtiene con 𝑘1 = 4, 𝑘2 = 3, es decir, T = 24π. 
Ejemplo: ¿Cuál es el periodo de la función 𝑓 𝑥 = cos
𝑥
3
+ cos
𝑥
4
?
Solución:
Si 𝑓(𝑥) es periódica se debe cumplir:
𝑓 𝑥 + 𝑇 = cos
𝑥 + 𝑇
3
+ cos
𝑥 + 𝑇
4
= cos
𝑥
3
+ cos
𝑥
4
= 𝑓(𝑥)
T/3 = 2𝑘1π y T/4 = 2𝑘2π , de donde 
𝑘1
𝑘2
=
4
3
Se dice que es una Función Inyectiva si
Función Inyectiva (1-1)
Función Epiyectiva (sobre)
Función Biyectiva
𝑓 𝑎 = 𝑓 𝑏 ⇒ 𝑎 = 𝑏 ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓
Se dice que es una Función Sobre si Ran 𝑓 = 𝐵
Se dice que es una Función Biyectiva si
es inyectiva y sobre a la vez.
𝑓: 𝐴 → 𝐵
𝑓: 𝐴 → 𝐵
𝑓: 𝐴 → 𝐵
Es decir ∀ 𝑏 ∈ B , ∃ 𝑎 ∈ A tal que 𝑓 𝑎 = 𝑏
𝑦 = 𝑓 𝑥
Gráficamente podemos representar 𝑓 y 𝑓 −1 de la manera siguiente:
Sea :f A B una función, si 𝑓 inyectiva, entonces existe su inversa que 
también es una función denotado por 1 :f B A 
Función Inversa
Observación
𝑥 = 𝑓−1 𝑦⇔
𝑓−1
Ejemplo:
Hallar la inversa y grafica de la función
Solución:
Para hallar la inversa de la función debemos despejar la variable 𝑥 ∶
2 1y x 
1
2
y
x


Por lo tanto  1
1
2
x
f x


  12  xxf
 1
1
2
x
f x


1. 𝑓es creciente en un conjunto C ⊂ 𝐴, si 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐶 con x < y, entonces
f(x)≤ f(y) .
2. 𝑓 es decreciente en un conjunto 𝐶 ⊂ 𝐴, si 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐶 con x < y, entonces 
f(x)> f(y).
FUNCIONES MONÓTONAS 
3. 𝑓es creciente (respectivamente decreciente) cuando lo es en todo su 
dominio de definición.
Sea 𝑓: 𝐴 → 𝑅, diremos que:
4. 𝑓 es monótona si 𝑓 es creciente o decreciente. 
Si 𝑓 es monótona e inyectiva se dice que es estrictamente monótona, 
pudiendo ser estrictamente creciente o estrictamente decreciente.
Obs. Si 𝑓 es monótona e inyectiva se dice que es estrictamente monótona, 
pudiendo ser estrictamente creciente o estrictamente decreciente.
𝑓 𝑥 = 𝑥3 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
INVERSA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA
Sean las funciones 𝑓: 𝐴 → 𝐵 y 𝑔: 𝐵 → 𝐶
La inversa de la función compuesta de 𝑓 con 𝑔 es la función denotado por 
(𝑔°𝑓)
−1 :𝐶 → 𝐴 y definida como: (𝑔°𝑓)
−1(𝑥)=(𝑓−1
°
𝑔−1)(𝑥)
con Ran(𝑓)∩ Dom(𝑔) ≠ ∅
Dom (𝑔°𝑓)
−1 = {𝑥𝜖𝑐 / 𝑥𝜖𝐷𝑜𝑚 𝑔−1 ٿ 𝑔−1(𝑥)𝜖𝐷𝑜𝑚(𝑓−1)}
Donde
𝑓 𝑔
A
B
C
𝑓−1 𝑔−1
(𝑔°𝑓)
−1
Considere las siguientes funciones reales definidas por
  5 3f x x    2 1g x x 
Hallar
Solución:
1. Para hallar la inversa de   5 3f x x  5 3y x 
𝑥 =
5−𝑦
3
= 𝑓−1(𝑦)
Ejemplo: 
y
(𝑔°𝑓)
−1
hacemos 
entonces luego 𝑓−1 𝑥 =
5 − 𝑥
3
2. Dom(𝑓−1)=ℝ= Ran(𝑓)
3. Análogamente 𝑔−1 𝑥 = 𝑥2 − 1 , Dom(𝑔−1)=[1,+∞ >= Ran(𝑔)
5. (𝑔°𝑓)
−1(𝑥) =(𝑓−1
°
𝑔−1)(𝑥) = 𝑓−1((𝑔−1)(𝑥))=
5 − 𝑥2 − 1
3
4. Dom (𝑔°𝑓)−1 = {𝑥𝜖𝑐 / 𝑥𝜖𝐷𝑜𝑚 𝑔−1 ٿ 𝑔−1(𝑥)𝜖𝐷𝑜𝑚(𝑓−1)}
𝑥𝜖 [1,+∞ > ٿ 𝑥2 − 1 𝜖 ℝ
𝑥2-1≥ 0
𝑥 ≥ 1 ∨ 𝑥 ≤ −1
= [1,+∞ >
1. Purcell E. (2007). Cálculo Diferencial e Integral (9na Edición) Editorial Prentice
Hall
2. https://es.slideshare.net/BarryBBM/funciones-peridicas
3. https://es.slideshare.net/asegura-b/funciones-reales-en-una-variable
Referencias:
https://es.slideshare.net/BarryBBM/funciones-peridicas
https://es.slideshare.net/asegura-b/funciones-reales-en-una-variable