Clase N05

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SEMESTRE ACADÉMICO 2020-I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE
SAN MARCOS
ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES
Área de Ingeniería
EQUIPO DE LOS DOCENTES DE CÁLCULO I
ASIGNATURA
CÁLCULO I
2020-1
2
UNIDAD DIDÁCTICA II 
TEMA DE SESIÓN: LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
APRENDIZAJES ESPERADOS:
• Al finalizar la semana, el estudiante interpreta geométricamente la definición de límite de una función, la propiedad de unicidad del límite y evalúa 
límites de funciones elementales; evalúa límites de funciones después de eliminar indeterminaciones de la forma 
0
0
,
∞
∞
y todas las demás.
CAPACIDAD GENERAL:
CAPACIDAD ESPECÍFICA:
. Combina e integra un amplio repertorio de recursos, estrategias o procedimientos matemáticos para calcular el límite de funciones y evaluar o definir 
funciones por tramos; optando por los más pertinentes a la situación.
• Resuelve problemas sobre limites de funciones
SEMANA 5 SESIÓN 1
5.1 VECINDADES REDUCIDAS Y PUNTOS DE ACUMULACION
• Definición
1. La vecindad de centro 𝑎 y de radio r >0 es el intervalo denotado y 
definido como
𝑉𝑟 (𝑎)= 𝑥 ∈ ℝ/ 𝑥 − 𝑎 < 𝑟 =< 𝑎 − 𝑟, 𝑎+ 𝑟 >
2. La vecindad reducida de centro 𝑎 y de radio 𝑟 >0 es el intervalo denotado y 
definido como:
𝑉´𝑟 𝑎 = 𝑉𝑟 𝑎 − {𝑎}
3
Ejemplo:
 2(0) / 0 2 2;2V x R x       2´ (0) 2;2 0 2;0 0;2V     
 1(1) / 1 1 0;2V x R x      1́(1) 0;2 1 0;1 1;2V   
4
3. Diremos que 𝑎 es un punto de acumulación del conjunto 𝐵 ⊂ ℝ si y solo si 
𝑉´𝑟 𝑎 ∩ 𝐵 ≠ ∅ , ∀𝑟 > 0
Ejemplo:
Sea  2;3B  
• 0 es punto de acumulación pues  r > 0, 
(́0)rV B 
• 3 es punto de acumulación pues  r > 0, 
(́3)rV B 
• –2 es punto de acumulación pues  r > 0, 
(́ 2)rV B  
• 4 no es punto de acumulación pues para r = 0,5; 
0,5´ (4)V B 
5.2 Idea De Límite
Cuando x se aproxima 1 entonces f(x) se aproxima a 2. 
 Y 
 
 2 O 
 
 
 
 1 
 
 
𝑆𝑒𝑎 𝑓 𝑥 =
𝑥2−1
𝑥−1
, Dom(𝑓)= ℝ− {1}
Si x se aproxima a 1, a que valor se aproxima f(x)?
5
x 0,5 0,8 0,9 0,99 0,999 1 1,001 1,01 1,1 1,2 1,5
f(x) 1,5 1,8 1,9 1,99 1,999 ? 2,001 2,01 2,1 2,2 2,5
Además, podemos obtener un equivalente
de la función 
𝑓 𝑥 =
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
=
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
𝑥 − 1
𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1
Se observa que a medida que 𝑥 se aproxima a 1 ya sea por 
la derecha o por la izquierda, 𝑓 𝑥 se aproxima a 2. 
Podemos decir que el límite es 2.
Diremos que L es límite de f(x) cuando x tiende a xo si y solo si 
5.3 DEFINICIÓN DE LÍMITE
∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 0 < 𝑥 − 𝑥0 < 𝛿 → 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜀
Notación: lim
𝑥→𝑥0
𝑓 𝑥 = 𝐿
Ejemplo
Demuestre lim
𝑥→1
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
= 2
∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 0 < 𝑥 − 1 < 𝛿 →
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
− 2 < 𝜀
Como 
𝑥2−1
𝑥−1
− 2 = 𝑥 + 1 − 2 = 𝑥 − 1 < 𝜀
6
basta tomar 𝛿 = 𝜀.
Ejemplo
Demuestre lim
𝑥→2
4𝑥 − 2
3
= 2
∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 0 < 𝑥 − 2 < 𝛿 →
4𝑥 − 2
3
− 2 < 𝜀
Como 
4𝑥−2
3
− 2 =
4𝑥−8
3
=
4 𝑥−2
3
< 𝜀
7
Basta tomar 𝛿 =
3𝜀
4
.
Ejemplo
Demuestre lim𝑥→1
𝑥3 − 1
𝑥 − 1
= 3
∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 0 < 𝑥 − 1 < 𝛿 →
𝑥3 − 1
𝑥 − 1
− 3 < 𝜀
Como 
𝑥3−1
𝑥−1
− 3 =
(𝑥−1)(𝑥2+𝑥+1)
𝑥−1
− 3 = 𝑥2 + 𝑥 + 1 − 3 = 𝑥2 + 𝑥 − 2
8
Tomemos 𝛿1 =
2
7
𝜀
= (𝑥 + 2)(𝑥 − 1) = 𝑥 + 2 𝑥 − 1 … (i)
Consideremos 𝛿𝑜 =
1
2
, 𝑥 − 1 <
1
2
→ −
1
2
< 𝑥 − 1 <
1
2
5
2
< 𝑥 + 2 <
7
2
→ 𝑥 + 2 <
7
2
En (i)
𝑥3−1
𝑥−1
− 3 = 𝑥 + 2 𝑥 − 1 <
7
2
𝑥 − 1 < 𝜀
Por tanto 𝛿 = 𝑚𝑖𝑛 𝛿𝑜; 𝛿1
→ 𝑥 − 1 <
2
7
𝜀
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
Si f y g son funciones y c un punto de acumulación del Dom(f) ∩Dom(g)
que tienen límites cuando 𝑥 → 𝑐, se cumplen las siguientes propiedades:
1. lim
𝑥→𝑐
𝑘 = 𝑘
3. lim
𝑥→𝑐
(𝑓. 𝑔)(𝑥) = lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥).lim
𝑥→𝑐
𝑔(𝑥)
5. lim
𝑥→𝑐
[𝑓(𝑥)]𝑛= [ lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥)]𝑛 , 𝑛 ∈ ℤ+
2. lim
𝑥→𝑐
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = lim
𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 + lim
𝑥→𝑐
𝑔(𝑥)
4. lim
𝑥→𝑐
(
𝑓
𝑔
)(𝑥) =
lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→𝑐
𝑔(𝑥)
, lim
𝑥→𝑐
𝑔(𝑥) ≠ 0
6. lim
𝑥→𝑐
𝑛 𝑓(𝑥) = 𝑛 lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) , 𝑛 ∈ ℤ+ (𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 𝑠𝑒 𝑎𝑠𝑢𝑚𝑒 lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) ≥ 0 )
9
Ejemplo
Solución
lim
𝑥→1
3𝑥2−𝑥+2
𝑥−3
=
lim
𝑥→1
(3𝑥2−𝑥+2)
lim
𝑥→1
(𝑥−3)
=
3 1 −1+2
1−3
=
4
−2
= −2
Ejemplo
calcule lim
𝑥→3
3𝑥2−7𝑥−6
𝑥−3
Solución
lim
𝑥→3
3𝑥2−7𝑥−6
𝑥−3
=
lim
𝑥→3
(3𝑥2−7𝑥−6)
lim
𝑥→3
(𝑥−3)
=
0
0
(Indeterminada)
10
calcule lim
𝑥→1
3𝑥2−𝑥+2
𝑥−3
OBS 
(Indeterminaciones)
0
0
, 
∞
∞
, ∞−∞, 0.∞
lim
𝑥→3
3𝑥2−7𝑥−6
𝑥−3
= lim
𝑥→3
(𝑥−3)(3𝑥+2)
𝑥−3
= lim
𝑥→3
3𝑥+2
1
= 11
lim
𝑥→𝑥0
−
𝑓 𝑥 = 𝑀 ⇔ ∀ 𝜖 > 0, ∃𝛿 > 0 / 0 < 𝑥0 − 𝑥 < 𝛿 ⟹ 𝑓 𝑥 −𝑀 < 𝜀
OBS. 
1. Existe lim
𝑥→𝑥𝑜
𝑓 𝑥 = 𝐿 si y solo si existen lim
𝑥→𝑥0
+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑥0
−
𝑓(𝑥) = 𝐿
2. Si lim
𝑥→𝑥0
+
𝑓(𝑥) ≠ lim
𝑥→𝑥0
−
𝑓(𝑥) entonces no existe lim
𝑥→𝑥0
𝑓 𝑥 .
5.4 LÍMITES LATERALES 
11
a) El límite de f(x) cuando x tiende a 𝑥0 por la derecha
lim
𝑥→𝑥0
+
𝑓 𝑥 = 𝐿 ⇔ ∀ 𝜖 > 0, ∃𝛿 > 0/ 0 < 𝑥 − 𝑥0 < 𝛿 ⟹ 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜀
b) El Límite de f(x) cuando x tiende a 𝑥0 por la izquierda 
Ejemplo
Demuestre lim
𝑥→1+
𝑥 = 1
Solución
∀𝜀 > 0, ∃ 𝛿 > 0 / 0 < 𝑥 − 1 < 𝛿 ⟶ 𝑥 − 1 < 𝜀
Luego 𝑥 − 1 = 1 − 1 < 𝜀.
12
Consideremos 𝛿𝑜 =
1
2
, 0 < 𝑥 − 1 <
1
2
(Pues 𝑥 > 1)
1 < 𝑥 <
3
2
→ 𝑥 = 1
Por tanto ∃ 𝛿 = 𝛿𝑜
Ejemplo
Demuestre lim
𝑥→1−
𝑥 = 0
Solución
∀𝜀 > 0, ∃ 𝛿 > 0 / 0 < 1 − 𝑥 < 𝛿 ⟶ 𝑥 − 0 < 𝜀
Luego 𝑥 − 0 = 0 − 0 < 𝜀.
13
Consideremos 𝛿𝑜 =
1
2
, 0 < 1 − 𝑥 <
1
2
(Pues 𝑥 < 1)
1
2
< 𝑥 < 1 → 𝑥 = 0
Por tanto ∃ 𝛿 = 𝛿𝑜
OBS
Podemos decir que
lim
𝑥→1
𝑥
no existe.
siendoCalcule el siguiente límite
Solución:
Ejemplo:
Como los límites laterales no coinciden, no existe el límite de la función en x=2
14
lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→2−
𝑥2 − 1
3
lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) 𝑓 𝑥 = ൞
𝑥2 − 1
3
, 𝑥 ≤ 2
3 − 𝑥2, 𝑥 > 2
=
(2)2−1
3
= 1
lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→2−
(3 − 𝑥2)
= 3 − (2)2
= −1
Ejemplo:
Calcule el siguiente límite siendo
Como los límites laterales coinciden, sí existe el límite de la función en x =−1.
Solución:
15
lim
𝑥→−1
𝑓(𝑥) 𝑓 𝑥 = ቊ
𝑥5 − 1, 𝑥 < −1
−2𝑥2, 𝑥 ≥ −1
lim
𝑥→−1−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→−1−
(𝑥5−1)
= (−1)5−1
= −2
lim
𝑥→−1+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→−1+
−2𝑥2
= −2(−1)2
= −2