Clase N06

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SEMESTRE ACADÉMICO 2020-I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE
SAN MARCOS
ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES
Área de Ingeniería
EQUIPO DE LOS DOCENTES DE CÁLCULO I
ASIGNATURA
CÁLCULO I
2020-1
1
UNIDAD DIDÁCTICA 2
TEMA DE SESIÓN: LÍMITES AL INFINITO, LÍMITES INFINITOS Y ASÍNTOTAS.
APRENDIZAJES ESPERADOS:
• Al finalizar la semana, el estudiante evalúa límites al infinito y límites infinitos; evalúa límites de funciones trigonométricas 
después de eliminar su indeterminación, así como la existencia de asíntotas de una curva con la utilización de límites.
CAPACIDAD GENERAL:
CAPACIDAD ESPECÍFICA:
• Al finalizar el curso, el estudiante aplica el análisis de funciones y el cálculo diferencial de una variable, para resolver 
problemas relacionados a su carrera profesional, apoyándose estratégicamente en herramientas matemáticas con 
responsabilidad y trabajo en equipo.
• Combina e integra un amplio repertorio de recursos, estrategias o procedimientos matemáticos para calcular el límite de 
funciones y evaluar o definir funciones por tramos; optando por los más pertinentes a la situación.
SEMANA 6 SESIÓN 1
2
1. LÍMITES AL INFINITO
IDEA GRÁFICA
Consideremos la función g 𝑥 =
𝑥
1+𝑥2
y veamos cómo se comporta g 𝑥 cuando 
𝑥 toma valores positivos y negativos muy grandes en valor absoluto:
En los cuadros y el gráfico se observa que cuando 𝑥 toma
valores muy grandes, los valores de g(𝑥) se aproximan a 0.
3
𝐃𝐄𝐅𝐈𝐍𝐈𝐂𝐈Ó𝐍
Sea 𝑓 una función real y 𝐿1 un número real cualquiera.
El límite de la función cuando 𝑥 tiende a +∞, es el número real 𝐿1 y se escribe
𝑙í𝑚
𝑥→+∞
𝑓 𝑥 = 𝐿1 ,
cuando 𝑥 toma valores positivos muy
grandes en el dominio de 𝑓, y los
valores de 𝑓 se aproximan al valor
𝐿1 más que a cualquier otro número.
𝐃𝐄𝐅𝐈𝐍𝐈𝐂𝐈Ó𝐍 𝐑𝐈𝐆𝐔𝐑𝐎𝐒𝐀
Sea 𝑓 definida en ሾ𝑐, )∞ para algún número 𝑐. Decimos que 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑓 𝑥 = 𝐿1, si
para cada 𝜀 > 0 existe un número real 𝑀 > 0, tal que
𝑥 > M ⟹ 𝑓 𝑥 − 𝐿1 < 𝜀 .
4
EJEMPLO 1
Gráficamente y tabulando, hemos visto que cuando 𝑥 toma valores muy grandes
los valores de g 𝑥 =
𝑥
1+𝑥2
se aproximan a 0, es decir
𝑙í𝑚
𝑥→+∞
𝑥
1+𝑥2
= 0 .
Usando la definición rigurosa, veamos que en efecto 𝐿1 = 0 es el valor límite. 
Sabemos que 2𝑥 ≤ 1 + 𝑥2, ∀ 𝑥 ∈ ℝ . Entonces se cumple:
∀ 𝑥 ∈ ℝ ,
𝑥
1 + 𝑥2
− 0 ≤
1
2
< 𝜀
y se verifica la definición cuando 𝜀 >
1
2
. Para el caso 𝜀 ≤
1
2
, luego de un análisis 
previo, definimos 𝑀 =
1+ 1−4𝜀2
2𝜀
y tenemos que:
∀ 𝑥 > 𝑀 ⟹
𝑥
1+𝑥2
− 0 < 𝜀 .
Por lo tanto, 𝑙í𝑚
𝑥→+∞
𝑥
1+𝑥2
= 0 .
5
𝐃𝐄𝐅𝐈𝐍𝐈𝐂𝐈Ó𝐍
Análogamente, definimos el límite 𝑥 → −∞. Sea 𝐿2 un número real cualquiera.
El límite de la función cuando 𝑥 tiende a −∞, es el número real 𝐿2 y se escribe
𝑙í𝑚
𝑥→−∞
𝑓 𝑥 = 𝐿2 ,
cuando 𝑥 toma, en el dominio de 𝑓,
valores negativos muy grandes en
valor absoluto y los valores de 𝑓 se
aproximan al valor 𝐿2 más que a
cualquier otro número.
𝐃𝐄𝐅𝐈𝐍𝐈𝐂𝐈Ó𝐍 𝐑𝐈𝐆𝐔𝐑𝐎𝐒𝐀
Sea 𝑓 definida en (−∞, ሿ𝑐 para algún número 𝑐. Decimos que 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
𝑓 𝑥 = 𝐿2, si
para cada 𝜀 > 0 existe un número real 𝑀 < 0, tal que
𝑥 < M ⟹ 𝑓 𝑥 − 𝐿2 < 𝜀 .
6
COROLARIO:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
1
𝑥
= 0 y 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
1
𝑥
= 0 . 
TEOREMA 1
Si 𝑘 es un entero positivo, entonces
a) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
1
𝑥𝑘
= 0 y
b) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
1
𝑥𝑘
= 0 .
DEMOSTRACIÓN:
Sea 𝜀 > 0 dado. Después de un análisis previo, elegimos 𝑀 = 𝑘 1/𝜀.
Entonces 𝑥 > 𝑀 implica que
1
𝑥𝑘
− 0 =
1
𝑥𝑘
<
1
𝑀𝑘
= 𝜀 .
La demostración de la segunda proposición es similar.
7
SOLUCION:
Utilizaremos una forma práctica: Dividir el numerador y el denominador entre
la potencia más alta de 𝑥 que aparece en la función, para luego usar la
propiedad anterior. Entonces, dividimos entre 𝑥4.
EJEMPLO 2:
Demuestre que 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑥
1 + 𝑥4
= 0. 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑥
1 + 𝑥4
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑥
𝑥4
1 + 𝑥4
𝑥4
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
1
𝑥3
1
𝑥4
+ 1
=
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
1
𝑥3
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
1
𝑥4
+ 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
1
=
0
0 + 1
= 0 .
8
TEOREMA 2
𝑙𝑖𝑚
𝑥→±∞
𝑎𝑛𝑥
𝑛 +⋯+ 𝑎0 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→±∞
𝑎𝑛𝑥
𝑛
lim
𝑥→∞
𝑎𝑛𝑥
𝑛 +⋯+ 𝑎0
𝑏𝑚𝑥𝑚 +⋯+ 𝑏0
=
0 , 𝑛 < 𝑚
𝑎𝑛
𝑏𝑚
, 𝑛 = 𝑚
∞ , 𝑛 > 𝑚
Este teorema indica que el límite de un polinomio cuando 𝑥 tiende al
infinito (𝑥 → ±∞) depende solo del término que tiene la mayor potencia.
Usaremos esta propiedad en lo que sigue.
TEOREMA 3
9
EJEMPLO 3:
Calcule los siguientes límites
a) lim
𝑥→+∞
3𝑥2−4𝑥−7
1−3𝑥−4𝑥2
b) lim
𝑥→+∞
𝑥2−4𝑥+2+3𝑥+2
𝑥2+4𝑥−4−𝑥+6
.
c) lim
𝑥→−∞
𝑥2−4𝑥+2+3𝑥+2
𝑥2+4𝑥−4−𝑥+6
.
SOLUCIÓN:
a) lim
𝑥→+∞
3𝑥2−4𝑥−7
1−3𝑥−4𝑥2
= lim
𝑥→+∞
3𝑥2
−4𝑥2
= −
3
4
b) lim
𝑥→+∞
𝑥2−4𝑥+2+3𝑥+2
𝑥2+4𝑥−4−2𝑥+6
= lim
𝑥→+∞
𝑥2+3𝑥
𝑥2−2𝑥
= lim
𝑥→+∞
𝑥+3𝑥
𝑥−2𝑥
= −4.
c) lim
𝑥→−∞
𝑥2−4𝑥+2+3𝑥+2
𝑥2+4𝑥−4−2𝑥+6
= lim
𝑥→−∞
𝑥2+3𝑥
𝑥2−2𝑥
= lim
𝑥→−∞
−𝑥+3𝑥
−𝑥−2𝑥
= −
2
3
.
10
EJEMPLO 4
Calcule el siguiente límite.
𝐿 = lim
𝑥→−∞
( 25𝑥2 − 3𝑥 + 5𝑥).
SOLUCIÓN
𝐿 = lim
𝑥→−∞
( 25𝑥2 − 3𝑥 + 5𝑥)
CICLO | FECHA
𝐿 = lim
𝑥→−∞
( 25𝑥2 − 3𝑥 + 5𝑥)
( 25𝑥2 − 3𝑥 − 5𝑥)
( 25𝑥2 − 3𝑥 − 5𝑥)
𝐿 = lim
𝑥→−∞
(
25𝑥2−3𝑥−25𝑥2
25𝑥2−3𝑥−5𝑥
)= lim
𝑥→−∞
(
−3𝑥
25𝑥2−3𝑥−5𝑥
)
𝐿 = lim
𝑥→−∞
(
−3𝑥
25𝑥2 − 5𝑥
)
𝐿 = lim
𝑥→−∞
(
−3𝑥
−5𝑥−5𝑥
) =
3
10
.
11
2. LÍMITES INFINITOS
𝑎𝑥
𝑓(𝑥)
𝑥
+∞
𝐸𝑗𝑒 𝑌
𝐸𝑗𝑒 𝑋
izquierda derecha
𝑥 < 𝑎 𝑥 > 𝑎
En el gráfico se observa que cuando 𝑥 se
aproxima al número 𝑎 por la izquierda,
𝑓(𝑥) toma valores positivos muy grandes.
Esto escribiremos
lim
𝑥→𝑎−
𝑓 𝑥 = +∞ .
También se observa que cuando 𝑥 se
aproxima al número 𝑎 por la derecha,
entonces 𝑓(𝑥) toma valores positivos muy
grandes, lo cual escribiremos
lim
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥 = +∞ .
12
𝑎𝑥
𝑓(𝑥)
𝑥
−∞
𝐸𝑗𝑒 𝑌
𝐸𝑗𝑒 𝑋
izquierda derecha
𝑥 < 𝑎 𝑥 > 𝑎
Ahora, en el gráfico observamos que
cuando 𝑥 se aproxima al número 𝑎 por la
izquierda, 𝑓(𝑥) toma valores negativos
muy grandes en valor absoluto. Esto
escribiremos
lim
𝑥→𝑎−
𝑓 𝑥 = −∞ .
Y observamos que cuando 𝑥 se aproxima
al número 𝑎 por la derecha, entonces 𝑓(𝑥)
toma valores negativos muy grandes en
valor absoluto, lo cual escribiremos
lim
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥 = −∞ .
13
𝐃𝐄𝐅𝐈𝐍𝐈𝐂𝐈Ó𝐍 𝐑𝐈𝐆𝐔𝐑𝐎𝐒𝐀
Decimos que 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥 = ∞, si para cada número positivo 𝑀 existe un 𝛿 > 0
tal que
0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 ⟹ 𝑓 𝑥 > 𝑀.
Es decir, 𝑓 𝑥 puede hacerse tan grande como deseemos (mayor que cualquier
M que elijamos) tomando 𝑥 lo suficientemente cerca, pero a la derecha de 𝑎.
TEOREMA 4
Si 𝑘 es un entero positivo, entonces 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0+
1
𝑥𝑘
= ∞ . 
DEMOSTRACIÓN:
Dado M > 0 . Luego de un análisis previo, elegimos 𝛿 = 𝑘 1/𝑀.
Entonces
0 < 𝑥 − 0 < 𝛿 =
𝑘 1
𝑀
⟹
1
𝑥𝑘
> 𝑀.
14
EJERCICIO
Escriba las definiciones rigurosas correspondientes a:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐+
𝑓 𝑥 = −∞ , 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐−
𝑓 𝑥 = ∞ , 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐−
𝑓 𝑥 = −∞
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑓 𝑥 = ∞ , 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑓 𝑥 = −∞ , 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
𝑓 𝑥 = ∞ , 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
𝑓 𝑥 = −∞ .
TEOREMA 5
Dadas las funciones 𝑓, 𝑔: ℝ → ℝ . Si 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝑘 y 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = 0, entonces:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
(
𝑘
0±
)= +∞
𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑘 > 0 𝑦 𝑔 𝑥 → 0+
𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑘 < 0 𝑦 𝑔 𝑥 → 0−
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
(
𝑘
0±
)= −∞
𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑘 > 0 𝑦 𝑔 𝑥 → 0−
𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑘 < 0 𝑦 𝑔 𝑥 → 0+ .
15
EJEMPLO 5:
a) 𝑙í𝑚
𝑥→3+
10
𝑥−3
=
10
0+
= +∞
b) 𝑙í𝑚
𝑥→4−
5−𝑥
𝑥−4 2
=
1
0+
= +∞
c) 𝑙í𝑚
𝑥→2+
3𝑥−8
𝑥−2
=
−2
0+
= −∞
d) 𝑙í𝑚
𝑥→5+
𝑥−8
𝑥2−25
=
−3
0+
= −∞
e) 𝑙í𝑚
𝑥→−5−
𝑥−8
𝑥2−25
=
−13
0+
= −∞
TEOREMA 6
Para todo número 𝑎 ∈ ℝ en el dominio de 
la función:
1) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑎)
2) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝑎)
3) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑡𝑎𝑛 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛(𝑎)
4) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑐𝑜𝑡 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡(𝑎)
5) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑠𝑒𝑐 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐(𝑎)
6) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑐𝑠𝑐 𝑥 = 𝑐𝑠𝑐(𝑎)
3. LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS
16
DEMOSTRACIÓN
1) 𝑙𝑖𝑚
𝑡→𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛(𝑎)
Primero vemospara el caso 𝑎 = 0.
Supongamos que 𝑡 > 0 . De la figura:
0 < 𝐵𝑃 < 𝐴𝑃 < 𝑎𝑟𝑐(𝐴𝑃)
y de ahí tenemos 0 < 𝑠𝑒𝑛 𝑡 < 𝑡. Si t < 0, se tiene
𝑡 < 𝑠𝑒𝑛 𝑡 < 0. Luego, aplicamos el teorema del
sándwich y concluimos que 𝑙𝑖𝑚
𝑡→0
𝑠𝑒𝑛 𝑡 = 0.
Para completar la demostración, necesitamos probar que 𝑙𝑖𝑚
𝑡→0
𝑐𝑜𝑠 𝑡 = 1. Esta se
deduce de la identidad pitagórica y lo que acabamos de demostrar:
𝑙𝑖𝑚
𝑡→0
𝑐𝑜𝑠 𝑡 = 𝑙𝑖𝑚
𝑡→0
1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑡 = 1 − 𝑙𝑖𝑚
𝑡→0
𝑠𝑒𝑛 𝑡
2
= 1 − 02 = 1 .
17
𝑙𝑖𝑚
𝑡→𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝑡 = 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
𝑠𝑒𝑛 𝑎 + ℎ
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
𝑠𝑒𝑛 𝑎 cos ℎ + cos 𝑎 𝑠𝑒𝑛 ℎ
= 𝑠𝑒𝑛 𝑎 1 + 𝑐𝑜𝑠 𝑎 0 = 𝑠𝑒𝑛 𝑎 .
Ahora, para demostrar que 𝑙𝑖𝑚
𝑡→𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛 𝑎, primero hacemos ℎ = 𝑡 − 𝑎
de modo que ℎ → 0 cuando 𝑡 → 𝑎. Entonces
LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS ESPECIALES
Las afirmaciones 2) – 6) se demuestran análogamente (¡EJERCICIO!).
TEOREMA 7
a) 𝑙𝑖𝑚
𝑡→0
𝑠𝑒𝑛𝑡
𝑡
= 1 .
b )𝑙𝑖𝑚
𝑡→0
1−𝑐𝑜𝑠𝑡
𝑡
= 0 .
18
DEMOSTRACIÓN
a) 𝑙𝑖𝑚
𝑡→0
𝑠𝑒𝑛𝑡
𝑡
= 1 .
De la figura:
Á𝑟𝑒𝑎(𝑂𝐵𝐶) < Área(𝑂𝐵𝑃) < Área(𝑂𝐴𝑃)
1
2
𝑡 cos2 𝑡 <
1
2
𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 <
1
2
𝑡 1 2
y de ahí:
c𝑜𝑠𝑡 <
𝑠𝑒𝑛𝑡
𝑡
<
1
𝑐𝑜𝑠𝑡
.
Luego, aplicamos el teorema del sándwich y
concluimos que 𝑙𝑖𝑚
𝑡→0
𝑠𝑒𝑛𝑡
𝑡
= 1.
b) 𝑙𝑖𝑚
𝑡→0
1−cos 𝑡
𝑡
= 𝑙𝑖𝑚
𝑡→0
1−cos 𝑡
𝑡
∙
1+𝑐𝑜𝑠 𝑡
1+cos 𝑡
= 𝑙𝑖𝑚
𝑡→0
1−𝑐𝑜𝑠2𝑡
𝑡 1+cos 𝑡
= 𝑙𝑖𝑚
𝑡→0
𝑠𝑒𝑛2𝑡
𝑡 1 + cos 𝑡
= 𝑙𝑖𝑚
𝑡→0
𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑡
𝑙𝑖𝑚
𝑡→0
𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑙𝑖𝑚
𝑡→0
1 + cos 𝑡
= 1 ∙
0
2
= 0.
19
EJEMPLO 6
Calcular los siguientes límites:
a) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥
𝑥
b) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝑥 −𝑠𝑒𝑛 𝑎
𝑥 − 𝑎
SOLUCION:
a) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥
𝑥
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑘
𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥
𝑘𝑥
= 𝑘 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥
𝑘𝑥
1
= 𝑘 1 = 𝑘
b) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝑥 −𝑠𝑒𝑛 𝑎
𝑥 − 𝑎
= 𝑙𝑖𝑚
𝑢→0
𝑠𝑒𝑛 𝑢+𝑎 − 𝑠𝑒𝑛 𝑎
𝑢
= 𝑙𝑖𝑚
𝑢→0
𝑠𝑒𝑛 𝑢 cos 𝑎+ cos 𝑢 𝑠𝑒𝑛 𝑎 −𝑠𝑒𝑛 𝑎
𝑢
= cos 𝑎 𝑙𝑖𝑚
𝑢→0
𝑠𝑒𝑛 𝑢
𝑢
+ 𝑠𝑒𝑛 𝑎 𝑙𝑖𝑚
𝑢→0
cos 𝑢 − 1
𝑢
= 𝑐𝑜𝑠 𝑎 1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑎 0 = 𝑐𝑜𝑠 𝑎 .
20
4. LÍMITES DE LA FORMA lim
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙)𝒈(𝒙)
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
1 +
1
𝑥
𝑥
= 𝑒 .
b) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑥+10
𝑥
𝑥+10
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
1 +
10
𝑥
𝑥
1 +
10
𝑥
10
=𝑒10 1 10 = 𝑒10.
EJEMPLO 7:
a) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
1 +
𝑘
𝑥
𝑥
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
1 +
𝑘
𝑥
Τ𝑥 𝑘
𝑘
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
1 +
𝑘
𝑥
Τ𝑥 𝑘
𝑘
= 𝑒𝑘.
c) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑥+5
𝑥+2
𝑥
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
1+
5
𝑥
𝑥
1+
2
𝑥
𝑥 =
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
1+
5
𝑥
𝑥
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
1+
2
𝑥
𝑥 =
𝑒5
𝑒2
= 𝑒3.
TEOREMA 8
21
Si 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 1 y 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = ∞, entonces 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) = 𝑒
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) 𝑓 𝑥 −1
. 
TEOREMA 9
EJEMPLO 8:
a) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
3𝑥+1
3𝑥−1
6𝑥
= 𝑒
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
6𝑥
3𝑥+1
3𝑥−1
−1
= 𝑒
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
6𝑥
2
3𝑥−1 = 𝑒4 .
b) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑐𝑜𝑠𝑥 Τ
1
𝑥 = 𝑒
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
1
𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥−1
= 𝑒
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑐𝑜𝑠𝑥−1
𝑥 = 𝑒0 = 1 .
c) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
2
𝑥+1
𝑥2+𝑥+1
𝑥2−𝑥 = 𝑒
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑥2+𝑥+1
𝑥2−𝑥
2
𝑥+1
−1
= 𝑒
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑥2+𝑥+1
𝑥2−𝑥
1−𝑥
𝑥+1 = 𝑒
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑥2+𝑥+1
−𝑥(𝑥+1) = 𝑒− Τ
3
2 .
d) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑥2+3𝑥+1
𝑥2−5𝑥+1
𝑥3
= 𝑒
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑥3
𝑥2+3𝑥+1
𝑥2−5𝑥+1
−1
= 𝑒
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑥3
8𝑥
𝑥2−5𝑥+1 = 𝑒8 .
22
La recta 𝑥 = 𝑎 es una asíntota vertical de la gráfica de una función 𝑓, si se cumple
al menos una de las siguientes condiciones:
ASÍNTOTAS VERTICALES
Lí𝑚
𝑥→𝑎−
𝑓 𝑥 = +∞ Lí𝑚
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥 = +∞Lí𝑚
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = +∞
Lí𝑚
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = −∞ Lí𝑚
𝑥→𝑎−
𝑓 𝑥 = −∞ Lí𝑚
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥 = −∞
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
La recta 𝑦 = 𝑏 es una asíntota horizontal de la gráfica de una función 𝑓, si se
cumple al menos una de las siguientes condiciones:
Lí𝑚
𝑥→+∞
𝑓 𝑥 = 𝑏 Lí𝑚
𝑥→−∞
𝑓 𝑥 = 𝑏
5. ASÍNTOTAS DE UNA CURVA
23
ASÍNTOTAS OBLICUAS
La recta 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 (𝑚 ≠ 0) es una asíntota oblicua de la gráfica de una función
𝑓, si se cumple al menos una de las siguientes condiciones:
Lí𝑚
𝑥→+∞
𝑓 𝑥 − (𝑚𝑥 + 𝑏) = 0 Lí𝑚
𝑥→−∞
𝑓 𝑥 − (𝑚𝑥 + 𝑏) = 0 .
Si la recta 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 (𝑚 ≠ 0) es una asíntota oblicua de la gráfica de 𝑓 :
Su pendiente se calcula con el límite
𝑚 = Lí𝑚
𝑥→±∞
𝑓(𝑥)
𝑥
Y su ordenada en el origen, con el límite
𝑏 = Lí𝑚
𝑥→±∞
𝑓 𝑥 −𝑚𝑥 .
Observación:
La gráfica de una función puede tener asíntotas horizontales u oblicuas, pero no 
ambas a la vez.
24
EJEMPLO 9:
𝑓 𝑥 =
𝑥2
𝑥2 − 𝑥 − 2
A. Verticales: 𝑥 = −1, 𝑥 = 2
lim
𝑥→−1−
𝑓 𝑥 = +∞
lim
𝑥→−1+
𝑓 𝑥 = −∞
lim
𝑥→2−
𝑓 𝑥 = −∞
lim
𝑥→2+
𝑓 𝑥 = +∞
A. Horizontal: 𝑦 = 1
lim
𝑥→ −∞
𝑓 𝑥 = 1
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 1
25
EJEMPLO 10:
𝑓 𝑥 =
2𝑥4 + 𝑥 − 10
𝑥3 − 2𝑥2 − 24𝑥
A. Verticales: 𝑥 = −4, 𝑥 = 0, 𝑥 = 6
lim
𝑥→−4−
𝑓 𝑥 = −∞
lim
𝑥→−4+
𝑓 𝑥 = +∞
lim
𝑥→0−
𝑓 𝑥 = −∞
lim
𝑥→0+
𝑓 𝑥 = +∞
lim
𝑥→6−
𝑓 𝑥 = −∞
lim
𝑥→6+
𝑓 𝑥 = +∞
A. Oblícua: 𝑦 = 2𝑥 + 4
lim
𝑥→ ±∞
𝑓 𝑥
𝑥
= 2
lim
𝑥→±∞
𝑓 𝑥 − 2𝑥 = 4
26
1. MITAC, M. & TORO, L. Tópicos de cálculo, volumen I.
2. PURCELL, E. (2007). Cálculo (Novena Edición). Pearson Educación
3. SWOKOWSKI, E. (2017). Cálculo con Geometría Analítica (2da edición) 
Editorial Iberoamerica
Referencias:
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