S12 s1 - INTEGRALES TRIPLES APLICACIONES

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INTEGRALES 
TRIPLES:APLICACIONES.
TEORÍA Y EJERCICIOS.
LOGRO DE LA SESIÓN:
“Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante conoce y aplica propiedades 
de la integral triple para calcular el volúmenes de solidos en el espacio limitado 
por superficies.”
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
INTEGRALES 
TRIPLES.
APLICACIONES
.
¿ Para que sirve ?
• En el caso de geometría para calcular volúmenes 
de solidos en el espacio.
• Para hallar el centro de masa, para cuerpos 
homogéneos y no homogéneos.
• Estática, construcción de estructuras.
• Entre otras.
INTEGRALES TRIPLES.
1.Volumen de un solido.
INTEGRALES TRIPLES: Volúmenes.
• Sea 𝑆𝑆 un solido en el espacio limitado por superficies, entonces 
definimos el volumen de 𝑆𝑆 como siendo. 
𝑉𝑉 = �
𝑆𝑆
𝑑𝑑𝑉𝑉
Ejemplo. Determine el volumen del solido 𝑺𝑺 limitado por las superficies 𝒙𝒙 = 𝟎𝟎,𝒚𝒚 = 𝒙𝒙,𝒚𝒚 = 𝟐𝟐 − 𝒙𝒙, 𝒛𝒛 = 𝟏𝟏, y 
𝒛𝒛 = 𝟓𝟓 − 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝒚𝒚𝟐𝟐.
2. Masa de un solido en el espacio.
INTEGRALES TRIPLES: MASA DE UN SOLIDO
• Considere una región tridimensional 𝑆𝑆 no homogénea; 
esto es, su densidad 𝜌𝜌 cambia en cada punto 
𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧 ∈ 𝑆𝑆; donde la función de densidad esta 
expresada en unidades de masa por unidad de 
volumen. Entonces la masa es la integral triple de la 
función de densidad sobre la superficie 𝑆𝑆.
𝑚𝑚 = �
𝑆𝑆
𝜌𝜌 𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑉𝑉
Ejemplo. Calcular la masa del solido limitado por los paraboloides 
𝑧𝑧 = 4𝑥𝑥2 + 4𝑦𝑦2 y 𝑧𝑧 = 8 − 4𝑥𝑥2 − 4𝑦𝑦2 cuya densidad viene dada 
por 𝜌𝜌 𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 + 1.
Masa de un solido.
3.Momentos estáticos.
Momentos estáticos.
• El momento estático de una región en tres 
dimensiones con respecto a los planos 
coordenados 𝑋𝑋𝑋𝑋,𝑋𝑋𝑋𝑋,𝑋𝑋𝑋𝑋 se define de la 
siguiente manera.
• 𝐌𝐌𝐱𝐱𝐱𝐱 = ∭𝐒𝐒 𝐳𝐳𝛒𝛒 𝐱𝐱, 𝐱𝐱, 𝐳𝐳 𝐝𝐝𝐝𝐝
• 𝐌𝐌𝐱𝐱𝐳𝐳 = ∭𝐒𝐒 𝐱𝐱𝛒𝛒 𝐱𝐱, 𝐱𝐱, 𝐳𝐳 𝐝𝐝𝐝𝐝
• 𝐌𝐌𝐱𝐱𝐳𝐳 = ∭𝐒𝐒 𝐱𝐱𝛒𝛒 𝐱𝐱,𝐱𝐱, 𝐳𝐳 𝐝𝐝𝐝𝐝
Ejemplo. Calcule los momentos estáticos del ejemplo anterior.
Ejemplo.
4. Centro de Masa.
CENTRO DE MASA
Para finalizar, igual que antes considere un 
sólido 𝑆𝑆 en el espacio con 𝜌𝜌:ℝ2 → ℝ
densidad variable. Definimos el centro de 
masa de 𝑆𝑆 como el punto 𝑝𝑝(�̅�𝑥, �𝑦𝑦, ̅𝑧𝑧) donde: 
• �𝒙𝒙 = 𝑴𝑴𝒚𝒚𝒛𝒛
𝒎𝒎
• �𝒚𝒚 = 𝑴𝑴𝒙𝒙𝒛𝒛
𝒎𝒎
• �𝒛𝒛 = 𝑴𝑴𝒚𝒚𝒛𝒛
𝒎𝒎
Ejemplo. Calcular el centro de masa del ejemplo anterior.
EJEMPLO.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
Datos/Observaciones
3 FINALMENTE
IMPORTANTE
1.Saber identificar la 
región y reemplazar 
de forma correcta 
las formulas.
2.Identificar la 
densidad en 
algunos casos no 
es variable.
Gracias por tu 
participación
Hemos visto la 
importancia de las 
integrales triples.
Ésta sesión 
quedará grabada
PARA TI
1. Revisa los 
ejercicios indicados 
y realiza la Tarea 
de ésta sesión.
2. Consulta en el 
FORO tus dudas.
EJERCICIO RETO
LISTO PARA MI EJERCICIO RETO
EJERCICIO RETO.
EJERCICIO RETO
Datos/Observaciones
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