SEM_10___REA_DE_UNA_SUPERFICIE

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ÁREA DE UNA SUPERFICIE
Dime y lo olvido,
enséñame y lo recuerdo,
involúcrame y lo
aprendo.
Benjamin Franklin
LOGRO DE SESIÓN.
Al �nalizar la sesión de aprendizaje el estudiante resuelve problemas de contexto real en
variadas situaciones que involucran AREAS DE SUPERFICIES y sus interpretaciones para así
poder aplicar a problemas de ingeniería.
ÁREA DE UNA SUPERFICIE.
En esta sesión se resolvera el problema de calcular el área de una super�cie con integrales
dobles, es decir el objetivo es calcular el area de una super�cie dada por la ecuación z = f(x, y).
Para facilitar los calculos se supondra que f(x, y) ≥ 0 y el dominio de f se considerará un
rectangulo. La idea es dividir el dominio en pequeños rectangulos Rij con área 4A = 4x4y.
Luego podemos de�nir el área de la super�cie como siendo:
A(S) = ĺım
n,m→∝
m∑
i=1
n∑
j=1
4Tij
Donde 4Tij es la proyección en el plano tangente de Rij de este modo el límite aproxima al
área.
De�nición. Sea f : D ⊆ R2 → R una función de dos variables, supongamos que fx y fy son
funciones continuas, entonces el área de la super�cie se de�ne como:
1
FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES
A(S) =
∫∫
D
√
[fx(x, y)]
2 + [fy(x, y)]
2 + 1dA
Si consideramos z = f(x, y) entonces una forma alternativa de de�nir el área de una super�cie
sería la siguiente:
A(S) =
∫∫
D
√
1 + [zx]
2 + [zy]
2dA
Ejemplo. Determine el área de la super�cie de�nida por f(x, y) = x2 + 2y que se encuentra en
la región trinagular D de�nida en el plano XY con los vértices en (0, 0); (1, 0) y (1, 1).
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FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES
CÁLCULO AVANZADO PARA INGENIERÍA
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Determine el área del paraboloide que se encuentra bajo el plano z = 9.
2. La parte del plano 6x + 4y + 6z = 1 que esta dentro del cilindro x2 + y2 = 25.
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FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES
3. Hallar el área de la super�cie z = cos(x2 + y2) que esta dentro del cilindro x2 + y2 = 1.
4. Sea K el pedazo de casquete esférico z =
√
R21 − x2 − y2; cortado por el cilindro recto
x2 + y2 = R22 con R1 > R2. Hallar el área de K.
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FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES
CÁLCULO AVANZADO PARA INGENIERIA
EJERCICIOS ADICIONALES
1. Hallar el área de la parte de la super�cie 2y + 4z − x2 = 5 que esta sobre el triángulo con
vértices (0, 0);(2, 0) y (4, 2).
2. Determine el área de la super�cie z = 1 + 2x + 3y + 4y2 cuando 1 ≤ x ≤ 4 ; 0 ≤ y ≤ 1.
3. Halle el área la parte de la super�fcie z = 1
1+x2+y2
que esta sobre el disco x2 + y2 ≤ 1.
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FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES
CÁLCULO AVANZADO PARA INGENIERIA
TAREA DOMICILIARIA
1. Determine el área de la parte �nita del paraboloide y = x2+z2 cortado por el plano y = 25.
2. Determine el área de la parte �nita del paraboloide x = y2+z2 cortado por el plano x = 36.
3. Hallar el área de la parte de super�cie entre f(x, y) = xy que esta dentro del cilindro
x2 + y2 = 1.
4. Hallar el área de la parte de la esfera x2 + y2 + z2 = 4z que esta dentro del paraboloide
f(x, y) = x2 + y2
5. Encuentre el area de la super�cie S la cual es la parte de la esfera x2 + y2 + y2 = 4z dentro
del paraboloide z = x2 + y2.
6. Considere el cono z = hb
√
x2 + y2 y b2z2 = h2x2 + h2y2 . Hallar el area de la porción de
de cono bajo z = h se proyecta sobre el círculo r = b en el plano XY.
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