SEMANA 1 SESION 2

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CALCULO PARA LA TOMA 
DE DECISIONES
UNIDAD: 01
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Semana 01 – Sesión 02 
TEMA: Ecuación Diferencial Exacta:
Condición de exactitud, Método 
de solución general.
Contenido general
Ecuación diferencial de primer orden 
Ecuación diferencial Exacta
Método de solución
Problemas resueltos y propuestos
Al finalizar el estudiante identificara si una ecuación 
diferencial de primer orden es exacta y será capaz de
de poder resolverlo.
Logro de la Sesión
Nos ayudara a reconocer si un campo vectorial es
conservativo, para calcular el trabajo que realiza un campo
vectorial para trasladar una partícula de un punto a otro
punto.
Reconocer la forma diferencial de una ecuación diferencial
Utilidad
Datos/Observaciones
ECUACION DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN
Es una ecuación diferencial de la forma :
M(x;y)dx + N(x;y)dy = 0 o 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= f (x;y)
Aplicación : Las trayectorias de algunos 
cuerpos celestes en el espacio, pueden estar 
modeladas por un grupo de ecuaciones de 
primer orden:
Estas son llamadas ecuaciones exactas.
a) xdx + ydy = 0
b) 9xdx + 16ydy = 0 Trayectoria elíptica
Trayectoria circular 
c) 25xdx − 36ydy = 0 Trayectoria hiperbólica 
Datos/Observaciones
ECUACION DIFERENCIAL EXACTA
Sea la ecuación diferencial de primer orden : 
M(x;y)dx+𝑁 𝑥; 𝑦 𝑑𝑦 = 0
Se dice que es exacta si : 
𝜕𝑀 (𝑥;𝑦)
𝜕(𝑦)
=
𝜕 𝑁(𝑥;𝑦)
𝜕 (𝑥)
, en donde se cumple : 
𝜕𝑀(𝑥;𝑦)
𝜕(𝑦)
: Es la derivada parcial de M respecto a y, considerando a 
x como una constante.
𝜕𝑁(𝑥;𝑦)
𝜕(𝑥)
: Es la derivada parcial de N respecto a x, considerando a 
y como una constante.
Datos/Observaciones
ECUACION DIFERENCIAL EXACTA
Ejemplo:
sea la ecuación diferencial: (𝑥2 +3y)dx + (2𝑦3 +3x)dy=0
como: 
𝜕(𝑥2 +3y)
𝜕(𝑦)
= 3 y 
𝜕(2𝑦3 +3x)
𝜕(𝑥)
=3 , 
entonces es una Ecuación diferencial exacta
Datos/Observaciones
METODO DE SOLUCION
Si la ecuación diferencial : M(x;y)dx+𝑁 𝑥; 𝑦 𝑑𝑦 = 0 , 𝑒𝑠 𝐸𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎 ,
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 su solución se encontrara ,calculando:
𝑀׬ 𝑥; 𝑦 𝑑x 𝑁׬+ 𝑦 𝑑𝑦 = 𝐶
Es decir : En la segunda integral ,se observa que en la expresión N 
se debe de eliminar a todos los términos que contengan 
la variable x, luego integrar respecto a y .
PROBLEMAS RESUELTOS
Resolver las ecuaciones diferenciales:
1. (𝑥4 +5y)dx + (5𝑦2 +5x)dy=0
RESOLUCION:
Como : 
𝜕(𝑥4 +5y)
𝜕(𝑦)
=
𝜕(5𝑦2 +5x)
𝜕(𝑥)
= 5 , 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎
Ecuación diferencial es exacta y la solución es :
න (𝑥4 + 5y)dx +න5𝑦2 𝑑𝑦 = 𝐶
Integrando : 
𝑥5
5
+ 5𝑦𝑥 + 5
𝑦3
3
= 𝐶
PROBLEMAS RESUELTOS
2. (𝑥2𝑒𝑥
3
+ 𝑦2)𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦 + 𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑦2 𝑑𝑦 = 0
RESOLUCION:
como:
𝜕(𝑥2𝑒𝑥
3
+𝑦2)
𝜕(𝑦)
=
𝜕 2𝑥𝑦+𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑦2
𝜕(𝑥)
= 2𝑦 , 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎
Ecuación diferencial es exacta y la solución es :
න (𝑥2𝑒𝑥
3
+ 𝑦2)𝑑𝑥 + න𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑦2 𝑑𝑦 = 𝐶
Integrando : 
𝑒𝑥
3
3
+ 𝑦2𝑥 +
𝑠𝑒𝑛(𝑦2)
3
= 𝐶
PROBLEMAS RESUELTOS
3.- (𝑥2 + 𝑦3)𝑑𝑥 + 3𝑥𝑦2 +
𝑦
𝑦2+3
𝑑𝑦 = 0
RESOLUCION:
Como :
𝜕(𝑥2+𝑦3)
𝜕(𝑦)
=
𝜕 3𝑥𝑦2+
𝑦
𝑦2+3
𝜕(𝑥)
= 3𝑦2, 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎
Ecuación diferencial es exacta y la solución es :
න (𝑥2 + 𝑦3)dx +න
𝑦
𝑦2 + 3
𝑑𝑦 = 𝐶
Integrando : 
𝑥3
3
+ 𝑥𝑦3 +
ln(𝑦2+3)
2
= 𝐶
PROBLEMAS RESUELTOS
4.- (𝑥2𝑒𝑥 + 𝑦2)𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦 +
1
𝑦2+9
𝑑𝑦 = 0
RESOLUCION:
Como : 
𝜕(𝑥2𝑒𝑥+𝑦2)
𝜕(𝑦)
=
𝜕 2𝑥𝑦+
1
𝑦2+9
𝜕 (𝑥)
= 2𝑦, 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎
Ecuación diferencial es exacta y la solución es :
න (𝑥2𝑒𝑥 + 𝑦2)dx +න
1
𝑦2 + 9
𝑑𝑦 = 𝐶
(𝑥2−2𝑥 + 2)𝑒𝑥 + 𝑥𝑦2 +
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛(
𝑦
3
)
3
= 𝐶
PROBLEMAS RESUELTOS
5. (𝑥3𝑒𝑥
4
+ 2𝑥𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥2 +
𝑦3
𝑦4+5
𝑑𝑦 = 0
RESOLUCION:
Como : 
𝜕(𝑥3𝑒𝑥
4
+2𝑥𝑦)
𝜕(𝑦)
=
𝜕 𝑥2+
𝑦3
𝑦4+5
𝜕 (𝑥)
= 2𝑥, 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎
Ecuación diferencial es exacta y la solución es :
න (𝑥3𝑒𝑥
4
+ 2𝑥𝑦)dx +න
𝑦3
𝑦4 + 5
𝑑𝑦 = 𝐶
1
4
𝑒𝑥
4
+ 𝑥2𝑦 +
ln(𝑦4 + 5)
4
= 𝐶
PROBLEMAS PROPUESTOS
PROBLEMAS PROPUESTOS:
Resolver las ecuaciones diferenciales:
1. ( 𝒙𝟒 + 𝒚𝟐)𝒅𝒙 +(2xy +𝒚𝟑)𝒅𝒚 = 𝟎
2. ( 𝒙𝟑𝒄𝒐𝒔(𝒙𝟒) + 𝒚𝟑)𝒅𝒙 +(3x𝒚𝟐 +𝒚𝟑𝒆𝒚
𝟒
)𝒅𝒚 = 𝟎
CONCLUSIONES:
1.- Muchos modelos matemáticos para tratar los problemas del mundo real 
se analizan y resuelven mediante una ecuación diferencial de primer orden
Como:…
2.-Las Ecuaciones Diferenciales Exactas tiene la condición de exactitud que
Dice:….. 
3.- Las Ecuaciones Diferenciales Exactas se resuelven mediante …….……
Ecuación diferencial de primer orden: Ecuación diferencial Exacta