Integrales Selectividad CCNN Asturias

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1. [2014] [EXT-A] Calcule una primitiva de la función f(x) = x
3-3x+5
3 x
.
2. [2014] [EXT-B] a) Encuentre todas las funciones f(x) cuya segunda derivada es f''(x) = xex.
b) De todas ellas determine aquella cuya gráfica pasa por los puntos A(0,2) y B(2,0).
3. [2014] [JUN-A] Calcule 2x
3-3x2-2x-1
x2-x-2
dx
4. [2014] [JUN-B] Considere la función f(x) = 1
2
 - sen(x).
a) Dibuje el recinto acotado comprendido entre la gráfica de f(x), el eje OX y las rectas x = 0 y x = 
2
.
b) Calcule el área del recinto anterior.
5. [2013] [EXT-A] Calcule 

2
(sen(2x)+xsenx)dx
0
6. [2013] [EXT-B] Las gráficas de las funciones f(x) = sen 
2
x y g(x) = x2 limitan un recinto finito en el plano.
a) Dibuje un esquema del recinto.
b) Calcule se área.
7. [2013] [JUN-A] Sea la función f:    definida por f(x) = 
4x+12 si x  -1
x2-4x+3 si x > -1
.
a) Haga un dibujo aproximado de la gráfica de la función f.
b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f, el eje de abscisas y la recta x = 2.
8. [2013] [JUN-B] Sea la parábola y = x2-3x+6.
a) Halle la ecuación de la tangente a la gráfica de esa curva en el punto de abscisa x = 3.
b) Haga un dibujo aproximado del recinto limitado por la gráfica de la parábola, el eje OY y la recta tangente hallada
anteriormente.
c) Calcule el área del recinto anterior.
9. [2012] [EXT-A] Las curvas y = ex, y = e-x y la recta x = 1 limitan un recinto finito en el plano.
a) Dibuje un esquema del recinto.
b) Calcule su área.
10. [2012] [EXT-B] Se considera la curva de ecuación y = x3-2x2+x.
a) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esa curva en el origen.
b) Dibuje un esquema del recinto limitado por la gráfica de la curva y la recta hallada.
c) Calcule el área de ese recinto.
11. [2012] [JUN-A] Calcule 
2
dx
x2+3x
1
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12. [2012] [JUN-B] Halle el área de la zona del plano limitada por las rectas y = 0, x = 1 y x = e, y la gráfica de la curva y = Ln2(x).
13. [2011] [EXT-A] a) Calcule la función f(x) sabiendo que su derivada es f'(x) = (x-1)ex y f(2) = e.
b) Demuestre que f(x) tiene un extremo relativo en un punto del eje de abscisas y razone si es máximo o mínimo.
14. [2011] [EXT-B] Las gráficas de la curva y = x3 y de la parábola y = x2+2x encierran un recinto plano.
a) Dibuje ese recinto.
b) Calcule su área.
15. [2011] [JUN-A] Sea f:  la función definida por f(x) = 
x2 si x < 0
mx+n si 0  x < 1
2 si 1  x
a) Calcule m y n para que f sea continua en todo su dominio.
b) Para esos valores hallados calcule el área del recinto limitado por la gráfica de f y la recta y = 1.
16. [2011] [JUN-B] Sea f:  la función definida por f(x) = 
2x+4 si x  0
(x-2)2 si x > 0
a) Dibuje la gráfica de la función.
b) Halle el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas.
17. [2010] [EXT-A] Resuelva por partes excos3xdx.
18. [2010] [EXT-B] La curva y = x2+3 y la recta y = 2x+3 limitan un recinto finito en el plano. 
a) Dibuje un esquema del recinto. 
b) Calcule su área.
19. [2010] [JUN-A] a) Resuelva por partes la siguiente integral: x(1-lnx)dx.
b) De todas las primitivas de f(x) = x(1-lnx) calcule la que pasa por el punto (1,3).
Nota: ln x denota el logaritmo neperiano de x.
20. [2010] [JUN-B] Resuelva por cambio de variable e
x-4e2x
1+ex
dx.
21. [2009] [EXT] Represente gráficamente las parábolas y2-4x = 0 y x2-4y = 0 y calcule el área que encierran.
22. [2009] [JUN] Esboce la gráfica de la parábola y = -x2+x+ 7
4
 y halle el área de la región del plano determinada por la parábola y la
recta que pasa por los puntos 0, 1
4
 y 1
6
,0 .
23. [2008] [EXT] Se dispone de una chapa de acero que puede representarse por la región del plano determinada por la parábola
y = -x2+4 y la recta y = 1.
a) Representa gráficamente la chapa y calcule su área.
b) Determine las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede obtener a partir de dicha chapa con la condición de que
uno de sus lados esté en la recta y = 1.
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24. [2008] [EXT] Se considera la función f(x) = 2- x
x2+1
.
a) Halle los máximos, mínimos y puntos de inflexión.
b) Para x  [0,5], esboce la gráfica de la función y calcule el área comprendida entre ella y el eje x.
25. [2008] [JUN] Se considera la función f(x) = x
x2+1
.
a) Halle sus asíntotas, máximos y mínimos.
b) Represente gráficamente la función.
c) Halle el área delimitada por la función y el eje OX, para -1  x  1.
26. [2007] [EXT] Sea la función f(x) = 1-x2.
a) Su gráfica determina con el eje de abscisas un recinto limitado D. Calcula su área.
b) La gráfica de la función g(x) = x2 divide a D entres partes D1, D2 y D3. Haz un dibujo de los tres recintos.
c) Calcula el área del recinto D2 que contiene al punto 0,
1
2
.
27. [2007] [JUN] Dada la función f(x) = ax2+bxcosx+c determina las constantes a, b, c de manera que simúltaneamente:
 Su gráfica pase por el punto (0,1).
 La recta tangente en ese punto (0,1) sea paralela a la recta y = x.
 Se verifique que 

f(x)dx
0
 =  2
3
2+1 -2.
28. [2006] [EXT] La curva y = x2-2x+1 y la recta que pasa por los puntos A 1,0 y B 3,4 limitan un recinto finito en el plano.
a) Traza un esquema gráfico de dicho recinto.
b) Halla su área.
29. [2006] [JUN] Sea la función f(x) = 3x
3
x2-4
. Calcula:
a) Las asíntotas de la función.
b) 
1
f(x)dx
-1
.
30. [2005] [EXT] Sea la función con valores reales f(x) = x 4-x2 (se considera sólo la raíz positiva). Calcula:
a) La recta tangente a la gráfica de la función f en el punto (0,0).
b) 
1
f(x)dx
-1
.
c) El área encerrada por la curva, el eje de abscisas y las rectas x = -1 y x = 1.
31. [2005] [JUN] Sea la función f(x) = (x+2)
2-4 , x < 0
-a(x-2)2+4a , x  0
a) Determina los valores de a que hacen continua la función en x = 0.
b) Determina los valores de a que hacen derivable la función en x = 0.
c) Con a = 1, calcula el ára de la región limitada por la gráfica de la función y el eje de abscisas cuando x varía entre -4 y 4.
32. [2005] [JUN] Sea la función f(x) = sen x
2-cos x
. Calcula:
a) Su dominio de definición. Sus máximos y mínimos en el intervalo [0,2].
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b) 
/3
f(x)dx
0
.
33. [2004] [EXT] Sea la curva descrita por la función f(x) = 2x+1
x-2
 para los valores de x > 2. Calcula:
a) La recta tangente a la gráfica en el punto P de la curva de abscisa x = 3.
b) El punto de corte de esta recta tangente y la asíntota horizontal de la curva.
c) El área encerrada por la curva, el eje de abscisas y las rectas de ecuaciones x = 3, x = 4.
34. [2004] [JUN] Calcula:
a) El punto C de la figura, punto de corte de la parábola p: 4-(x-2)2 y el eje de abscisas.
b) El punto D y la ecuación de la recta r2 paralela a r4.
c) El área sombreada, limitada por la parábola p y la recta r1, r2, r3 y r4.
35. [2003] [JUN] a) Dibujar el recinto limitado por las curvas y = x, y = x2, y = x
2
4
.
b) Calcular el área del recinto anterior.
 Soluciones
9. a) b) e
2-2e+1
e
 10. a) y = x b) c) 4
3
 11. 1
3
ln8
5
 12. e-2 13. a) (x-2)ex+e b) min: 1 14. a) 
1 2 3-1
1
3
5
7
-2
X
Y
 15. a) 2, 0 b)
11
12
 16. a) 
1 2 3 4-1
1
3
-2
X
Y
 b) 20
3
 17. 3e
xsen3x+excos3x
10
 +c 18. a) b) 4
3
 19. a) 2x
2(1-lnx)+x2
4
 +c b) a) 2x
2(1-lnx)+x2
4
 +4 20. -4ex+5ln ex+1 +c 21.
1 2 3 4 5-1
1
3
-2
X
Y
 16
3
 22. 1 3 5-1
1
-3
-5
X
Y
 343
48
 23. a) 
1 2-1-2
1
2
3
4
X
Y
 4 3 b) base: 4 3
3
; altura: 8
3
 24. a) max: -1; min: 1; p.i. - 6, 0, 6 
1 2 3 4 5-1
1
3
-2
X
Y
 b)
20-ln26
2
 25. a) as: y = 0; max: 1; min: -1 b) 
1 2 3-1-2
1
2
-2
X
Y
 c) ln2 26. a) 4
3
 b) c) 2 23
 27. a=2, b=1, c=1 28. a) b) 4
3
 29. a)
x = -2; x = 2; y = 3x b) 0 30. a) y = 2x b) 0 c) 16-6 3
3
 31. a)  b) 1 c) 64
3
 32. a) D: ; Max: 
3
, 3
3
; Min: 5
3
, - 3
3
 b) ln3
2
 33. a) y = -5x+22 b) (4,2) c)
2+5ln2 34. a) (4,0) b) (0,-4); y = -x-4 c) 104
3
 35. a) b) 15
6
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