Bioestadistica para medicos asistenciales

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Introducción 
 
Definición y semántica 
 
Veamos una de las tantas definiciones de Estadística: "Ciencia que pretende crear, desarrollar, y 
aplicar técnicas que permitan evaluar la incertidumbre de las inferencias inductivas". 
Muchos de nosotros tenemos una sensación semejante a escuchar hablar en un idioma en el cual 
reconocemos palabras aisladas pero no captamos la idea. 
No nos va mucho mejor con el diccionario, podemos leer en el Diccionario Enciclopédico Joyan de la 
Editorial Ruy Díaz en su primera edición de mayo de 1991 que la Estadística es: "Parte de la 
matemática que estudia las propiedades variables de las cosas, generalmente a partir de 
muestras, para describir, inferir y predecir acerca de los sucesos o fenómenos". 
Si no se comprende el qué, el por qué y el para qué, no conviene avanzar en detalles de procedimientos 
específicos. Creemos más importante reflexionar y discutir sobre las ideas que proponemos a continuación, 
que intentar memorizar cualquier fórmula estadística. 
Si sabemos lo que necesitamos, las fórmulas nos esperan eternamente en el libro. 
 
Causa y efecto 
 
Creemos que la dificultad es previa a intentar entender la definición. 
Nos parece que la dificultad est á en la base de elaboración de muchas de nuestras ideas, y que 
proponemos sintetizar como un binomio conceptual: "causa – efecto". 
Un binomio constru ído, muchas veces, sobre percepciones sensoriales no procesadas; aún hoy decimos 
que el sol "sale" por el Este, que a cierta hora "cae" el rocío y ni hablar de los "afectos" del corazón o de la 
determinación y valentía que "se pone" con los testículos. 
El concepto en el binomio es: "en presencia de la misma causa sucede el mismo efecto". 
Los fundamentos para esta afirmación los encontramos en el modo "natural" con que el que manejamos 
muchas de nuestras actividades cotidianas. 
Nuestra razón relaciona con ese concepto binomial datos presentes y pasados, propios y ajenos, para 
decidir cual ha de ser nuestro proceder para obtener determinado resultado, con ese método planificamos 
nuestro accionar. 
Sucede que no siempre las cosas resultan conforme al planeamiento. En esas circunstancias, con el mismo 
método, intentamos explicar la discordancia y entre las razones habituales encontramos: "datos 
insuficientes", "error de procedimiento", etc. 
Si con esa metodología las explicaciones no satisfacen, surgen las "irracionales": "mala suerte", "el 
destino", "los astros no fueron favorables", etc. 
Son expresiones de que la "causa" no se conoce; no se duda del concepto binomial. 
Si el efecto fue diferente al esperado, la explicación "natural" es que hubo una causa diferente a la 
considerada. 
Parece "antinatural", ilógico si se prefiere, plantearse si "efectos" desiguales podrían suceder en presencia 
de la misma "causa", de las mismas circunstancias. 
 
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Bioingenieria e Informatica Médica/Bioengineering- Medical 
Informatics 
Curso: Bioestadística básica para médicos asistenciales 
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Leyes de Murphy y la perplejidad 
 
Las diferencias entre lo planeado y el resultado est án magníficamente descriptas en la mayor recopilación 
de anónimas citas destacables de todos los tiempos, nos referimos a las "Leyes de Murphy". 
Esas "Leyes" no nos parecen otra cosa que un modo irónico de expresar perplejidad. 
Cuando la realidad no se ajusta a lo "razonable" según el binomio "causa-efecto" nuestro desconcierto 
intelectual se refugia en conceptos que trascienden a la razón, como son: "visi ón", "intuición", "sexto 
sentido", "percepción extrasensorial", etc. 
 
Determinismo y casualidad 
 
Esta tendencia "natural" a encontrar una ligazón estable y reproducible entre "las causas y los efectos" 
de todo lo que acaece, es quizá la base de que nuestra educación médica, como la mayoría de las 
formaciones "científicas", sea aún hoy, esencialmente "Determinista". Nuestro modo básico de pensar lo 
es. 
El Determinismo proponemos entenderlo como una estructura intelectual que asume que todo lo que 
sucede está sujeto a leyes de cumplimiento inexorable. 
Son "deterministas" por ejemplo: la "Ley de la Gravedad" de Isaac Newton y la más próxima a nuestros 
tiempos, "Teoría de la Relatividad" de Albert Einstein. 
Pierre Simon Laplace afirmaba que el Universo era completamente "Determinista", y que un conjunto de 
"leyes" científicas permitirían describir y predecir todos los sucesos del universo. 
El determinismo se constituyó en el paradigma científico durante siglos. 
Las únicas objeciones eran religiosas ¿Dios no puede intervenir una vez que creó una ley? ¿Dios tiene 
poder para crear la ley y no para transgredirla? 
Si nos pidiesen expresar el determinismo en una sentencia arriesgaríamos la siguiente: "En las mismas 
condiciones sucede el mismo fenómeno". 
La falta de correspondencia entre las condiciones preexistentes y el suceso previsto se explica, 
"naturalmente", porque "faltan datos" o por "errores" de cualquier tipo. 
No se pone en duda el "Principio Determinista". "Dios no juega a los dados", solía decir Einstein, quien 
recibió el premio Nobel por su contribución a la teoría Cuántica pero nunca aceptó que el universo 
estuviese "gobernado" por el azar. 
Si la casualidad no existe, ¿cómo explicar la lotería, o cualquier "juego de azar"? 
Creemos que en la necesidad de coherencia intelectual está la concepci ón de un componente Metafísico 
vinculado al universo conocido. Lo metafísico, con leyes propias, inaccesibles de momento y prevalentes 
sobre las conocidas del universo Físico, explicaría las aparentes "casualidades" bajo el común denominador 
del destino determinado. 
Ese universo dual complementario (físico y metafísico) con sus leyes, es una respuesta a nuestra 
perplejidad y una base para dejar "a salvo" el determinismo. 
 
Incertidumbre y aleatoriedad 
 
Un enfoque diferente aparece como opción si se acepta la existencia de fenómenos casuales (aleatorios, 
azarosos). Si aceptamos lo impredecible de ciertos fenómenos deberemos cambiar también el modo de 
estudiarlos, de analizarlos. 
El Principio de Incertidumbre lo propuso en 1926 un físico, el Dr. Werner Heisemberg, que investigaba 
el movimiento de las partículas atómicas y trataba de establecer las "leyes" que lo rigen en sus diversos 
aspectos (velocidad, posición, etc). 
Quizá en lo que para los doctos es un exceso en la síntesis, podríamos decir que las observaciones de 
Heisemberg lo llevaron, entre otras, a estas conclusiones: 
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• El diseño del experimento compromete el resultado. Por ejemplo: la luz que 
Heisemberg utilizaba para estudiar posición y velocidad de las partículas, modificaba el 
movimiento espontáneo de las mismas. 
• Condicionar variables distorsiona al conjunto. En otros términos, la 
reproducibilidad es garantía de antinaturalidad . Diseños experimentales que fijan 
condiciones muy rígidas, tratando de acotar las variables en juego para poder concentrarse 
en la observación de una de ellas, lo que logran es distorsionar las relaciones del conjunto 
incluyendo al comportamiento espontáneo (natural) de la variable en estudio. A 
Heisemberg le pasaba esto cuando pretendía estudiar simultáneamente velocidad y posición 
de las partículas atómicas. Es común en biología cuando se intenta comprender las 
diferencias de ciertos fenómenos "in vitro" al estudiarlos " in vivo", "in situ", etc. 
• Impredecible en cuanto inmensurable. No se pueden predecir con exactitud los 
acontecimientos futuros, en parte porque, como ya vimos, tampoco se pueden medir 
exactamente los presentes. 
Estos estudios llevaron a que Heisemberg, Schrödinger y Dirac entre otros, expusieran que "En general, 
la mecánica cuántica no predice un único resultado de cada observación particular. En su lugar, 
predice un cierto número de resultados posibles y nos da las probabilidades de cada uno de 
ellos".No es ocioso aclarar que la tecnología moderna con sus transistores, las computadoras, los circuitos 
integrados de video, los satélites, etc. se basa en esta concepción "no determinista" de los fenómenos 
físicos. 
 
Incertidumbre y Agradecimiento 
 
No podemos avanzar en estos temas sin mencionar lo que nos ayudó a apreciar estas ideas el libro del Dr 
Stephen Hawking "A Brief History of Time, From the Big-Bang to Black Holes" traducido como "Historia del 
Tiempo" Ed. Crítica Barcelona, 1988. Recomendamos a los interesados a completar y corregir nuestro 
resumen el cap 4 pág 81 dónde el Dr Hawking desarrolla "El Principio de Incertidumbre". 
 
Aleatoriedad y Probabilidad 
 
Si no se puede predecir exactamente el suceso individual, se puede intentar calcular la probabilidad de 
que ocurra de determinada manera. 
Blas Pascal (1623-1662) desarrolló la teoría de las combinaciones y creó las bases del cálculo de 
probabilidades. 
Si se observa el "dado" que mencionaba Einstein se constata que no se necesita tirarlo ni una sola vez 
para pronosticar cuantas veces "saldrá" un número cuando se tire el dado 100 veces o que probabilidad 
tiene de "salir" ese número en un solo tiro. 
En estudios como los de Heisemberg, en las conductas médicas, y en otras ciencias, enfrentar al azar 
con la razón surge como desafío y como necesidad. 
Más aún, y por otro lado, medítese en desarrollar completamente la idea de libertad en un universo 
"determinista". 
Para aceptar un universo aleatorio no es necesario el complemento metafísico ni creer que "Dios juega a 
los dados". Un creyente sólo necesita creer que Dios se reserva el derecho de actuar cuando y como 
quiera, de manera que su intervención, aleatoria, no contraría la libertad implícita para todo(s) en esa 
aleatoriedad. 
 
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Estadística y Aleatoriedad 
 
La Estadística es una ciencia que agrupa conocimientos matemáticos para intentar trabajar 
racionalmente en la observación de fenómenos aleatorios. 
La Estadística es una respuesta racional a la incertidumbre, a la aleatoriedad. 
A las definiciones que no entendíamos proponemos resumirlas en estas ideas: 
• La Estadística es una rama de la Matemática. 
• El objeto de estudio de la Estadística son los fenómenos casuales. 
• La Estadística expresa lo casual matemáticamente. 
La Estadística utiliza la observación de las características de pocos casos para elaborar conclusiones que 
pueda proyectar con una probabilidad conocida a la generalidad de dónde salieron los casos 
observados. Ese es el sentido de expresarse en porcentajes. 
La Estadística asume que no siempre en idénticas condiciones sucede id éntico fenómeno. 
En realidad, la Estadística asume que las diferencias fenomenológicas en condiciones similares son la 
regla, y que la igualdad, es la excepción. 
La Estadística pretende reconocer, cuantificar y pronosticar esas diferencias. 
Una meta de la Estadística es darle significado a las diferencias observadas. 
La Estadística da respuesta matemática (probabilidad) a una pregunta constante: ¿ Las diferencias 
observadas expresan (significan) simplemente la variación casual, lo aleatorio, el azar, o que 
realmente cambiaron las circunstancias? 
La Estadística trata de inferir si una diferencia observada es o no casual, y para ello calcula y expresa la 
probabilidad de que esa diferencia haya sido casual. 
Si la probabilidad de observar esa diferencia casualmente es muy baja, el investigador interpreta que 
cambiaron las condiciones e infiere que esa diferencia no es casual. 
La Estadística es un Método Inductivo ya que el camino del conocimiento va de lo particular a lo 
general. 
Una vez inferido (conocido desde la particularidad) el comportamiento de la generalidad, se puede 
pronosticar (establecer probabilidad) conductas particulares. 
Así, el conocimiento estad ístico deviene deductivo en la reversa hacia lo particular: Un tratamiento 
quirúrgico a un paciente concreto, le ofrecerá mayores probabilidades de sobrevida que el tratamiento 
no quirúrgico alternativo, si esa diferencia en la sobrevida (mayor en este caso) se observó y se infirió no 
casual , en estudios previos comparativos de ambos tratamientos y que incluyeron pacientes como el de 
la consideración. 
La Estadística es el idioma con el que nos referimos a los fenómenos aleatorios. 
 
 
Publicación: Septiembre 2005 
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Index Curso 
Clase Nº 1: Terminología Básica 
Raúl E. Ortego, Carlos R. Secotaro 
 
Intentaremos algunas definiciones de términos, pero como en los idiomas, trataremos de aprender su 
significado mediante la utilización, y con la reiteración como método, aun a riesgo de recibir el calificativo 
de tautólogos. 
 
Aleatorio y evento 
 
Su equipo de trabajo resuelve estudiar si la dieta influye en la mortalidad durante el año del egreso de 
personas que se internaron en su hospital por un Infarto Agudo de Miocardio, a los cuales durante esa 
internación se les diagnósticó por primera vez que padecían diabetes. El tratamiento que su servicio 
recomienda durante el primer año post alta incluye un control dietético estricto. Resuelven dividir a los 
pacientes en dos grupos denominados Dieta Controlada y Dieta Libre respectivamente. 
Todos los pacientes egresados en esas condiciones, y cada uno de ellos, están expuestos a morir en el año 
de observación post alta hospitalaria. 
El equipo de estudio no sabe si va a ocurrir siquiera alguna muerte en ese lapso (el tiempo de exposición, 
u observación en este caso). 
Tampoco se sabe, en caso de que ocurra, que personas fallecerán en ese lapso. 
En resumen, la muerte, el suceso a observar en estos pacientes, no se sabe cuando ocurrirá, a quién le va 
a ocurrir y ni siquiera si va a ocurrir alguna vez. 
La ocurrencia de ese suceso es Aleatoria, o si se prefiere Casual o Azarosa. 
Un fenómeno ó acontecimiento ó circunstancia ó suceso (algo) de aparición (ocurrencia) aleatoria es 
denominado Evento. 
Para el estudio de marras, la muerte será el evento a contabilizar. 
Nótese la diferencia semántica coloquial para ese término, ya que aún personas instruídas se refieren a la 
"organización" de eventos (Fiestas, Congresos, etc). 
Si hay algo desorganizado por definición es un evento. 
El concepto de Evento está asociado indisolublemente al azar, a la casualidad. 
El Evento es esencialmente aleatorio. 
 
Población y muestra 
 
En los censos de las personas que habitan un lugar los gobiernos procuran obtener ciertos datos de todos 
y de cada uno de los habitantes, sin excluir a ninguno por ninguna razón, se habla de censo de la 
Población. 
Las empresas que desean analizar ciertos gustos o necesidades de la Población para intentar satisfacerla y 
obtener con ello un beneficio, solicitan recabar los datos pertinentes a una parte de la Población que 
denominan Muestra. 
Se intenta inferir desde la muestra lo que se quiere conocer de la población. 
La Población es una totalidad; la muestra es una parte de esa totalidad. 
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La población como objeto de estudio es una totalidad de datos obtenibles, no necesariamente de personas. 
Nuevamente la estadística se aleja del significado coloquial del idioma. 
La totalidad de peces del mar es una población, pero también lo son la totalidad de las flores, la totalidad 
de las rosas, la totalidad de los colores de las rosas, etc. 
Una parte de una población, las rosas de las flores, se puede considerar población en cuanto esa sea la 
totalidad que interese. 
Una población puede ser la totalidad de pacientes diabéticos; pero también puede serlo la totalidad de los 
pacientes Diabéticos Tipo I o la totalidad de los pacientes con Infarto y Diabetes diagnosticada durante la 
internación. 
En el estudio de su hospital no se internó una totalidad, sólo una parte. 
Cualquier parte de una población no es una muestra de la misma. 
La muestra es una parte que representa a una población de referencia. 
Para que desde la muestra se pueda inferir el conocimiento de la población, la muestra debe 
representarla en su totalidad, en todas sus características. 
Para que la muestra represente a la población, todos y cada uno de los individuos de la población deben 
tener la oportunidad de estar considerados para participar de la muestra. La totalidad debe estar 
disponible para el fraccionamiento, para el muestreo (a un sustantivo la Estadística necesita 
transformarlo en verbo para su idioma: muestrear). 
Los miembros de la población que efectivamente son incluídos en la muestra deben serlo por 
casualidad, por azar, aleatoriamente . 
La muestra es esencialmente de constitución aleatoria. 
 
Representación y Sesgo 
 
Cuando una parte de la población es incluída o excluída de un fraccionamiento por alguna característica 
peculiar se dice que es "cortada", "sesgada" de la población y por lo tanto los miembros de la población 
que carecen de la característica utilizada para sesgar no están representados en la fracción; se fraccionó 
pero no se muestreó. 
El sesgo descalifica a la fracción como muestra ya que no representa a la totalidad. 
En el estudio de su hospital se resolvió dividir a los pacientes en dos grupos. 
Se decidió que los ingresados en días pares serían asignados al grupo Dieta Libre y los ingresados en d ías 
impares al grupo Dieta Controlada. 
Otras opciones consideradas fueron: 1) Incluir en el grupo Dieta Controlada sólo a los que hubiesen 
completado el segundo nivel de escolaridad porque había más garantía de cumplimiento y 2) Incluir en 
Dieta Libre a todos los desocupados ya que de hecho comerían lo que pudiesen. 
Se rechazaron esas opciones porque implicaban un sesgo en el estudio. 
Para más detalles, si las consecuencias alimentarias de la desocupación son tan serias, una opción es 
excluir a los desocupados de ambos grupos del estudio; en consecuencia se debe agregar al título del 
trabajo un item que diga"… en pacientes con ocupación conocida", ya que los pacientes con Infarto y 
diabetes "de novo" desocupados no estarán representados. 
Lo que no se debe hacer cuando se pretende muestrear, es seleccionar para la distribución con 
cualquier criterio que no sea esencialmente aleatorio. 
En medicina se sabe si un paciente está representado en determinado trabajo cient ífico, en otras palabras, 
si pertenece a la población que se ha estudiado, analizando las características del "Material y Método" 
del trabajo en cuestión. Si el paciente se ajusta a los criterios de inclusión y a los de exclusión y no fue 
incluído en el estudio por una razón fortuita, azarosa, como por ejemplo que nació después de que el 
estudio finalizó, lo mismo pertenece a la población estudiada, está representado en esa muestra. Esa es 
la base que permite aplicar en el presente estudios de antaño, sin necesidad de repetirlos con cada 
generación. 
 
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Constantes y Variables 
 
Quizá estos términos son el ejemplo paradigmático de que con las mismas palabras no se expresan las 
mismas ideas en el lenguaje coloquial y en la Estadística. 
En el uso corriente son predicados de significado opuesto; en los trabajos cient íficos son el sujeto, y lo 
variable puede hacerse constante y viceversa. 
En el estudio ALLHAT (The Antihypertensive and Lipid-Lowering Treatment to Prevent Heart Attack Trial 
JAMA, December 18, 2002 - Vol 288, N°23: 2981-2997) la aparición de Diabetes con el tratamiento 
hipotensor fue una variable. 
Si para algún trabajo de Metaanálisis sobre tratamiento hipotensor y aparición de Diabetes se tomase al 
subgrupo del ALLHAT en los que apareció Diabetes, la aparición de la Diabetes sería la constante de ese 
subgrupo como lo es de todo el metaanálisis. 
La característica de constante o variable deja de pertenecer a la "cosa" en estudio para depender sobre 
todo de "cómo se estudia a la cosa". 
En un "material de estudio" hay características, cualidades, que lo identifican, que le son esenciales (si 
cambian, ese "material" ya sería otro distinto), a esas cualidades se las llama Constantes. 
Las Variables son cualidades del "material de estudio" que aún modificándose ellas, no cambian al 
"material" que sigue siendo el mismo. Esta vez el concepto está en el lenguaje popular, ya que "la mona 
aunque se vista de seda … mona queda". 
En el estudio de su hospital la variable es la mortalidad anual, para ello contará esos eventos (las 
muertes) durante ese lapso; podría haber estudiado la tasa de reinfarto o la necesidad de indicar insulina 
sin que variase lo constante. 
Su equipo de estudio quiere saber si las características de la Dieta (libre o controlada) incide en la 
mortalidad (la variable) más allá de lo meramente casual, ya que, por supuesto, descuentan que habrá 
diferencias de mortalidad entre ambos grupos con un año de observación para cada paciente. 
Constantes y Variables, de cualidades del material de estudio se tornan sujeto (sustantivo) de estudio, 
así se escucha decir: "La variable fue tal o cual". 
Nótese que estudiando la variable, lo que en realidad su equipo quiere saber es si hubo cambios en lo 
presumido constante . Si verifican que hubo tales cambios, concluirán que el control de la dieta cambia 
las circunstancias, las condiciones, que se alteró lo constante, que los dos grupos no representan a la 
misma población, que son muestras de poblaciones diferentes, que la dieta divide en poblaciones 
diferentes, que el control de la dieta marca una diferencia en el pronóstico de los pacientes porque dejan 
de pertenecer a la misma población. Que no es lo mismo haber tenido un Infarto, ser diabético y cumplir 
la dieta que su hospital sugiere, que no cumplir tal recomendación. 
Por las características variables de fenómenos aleatorios, la Estadística procura inferir si hay condiciones 
basales, constantes, diferentes. 
Conocer lo constante a través de lo variable es la razón de ser de la Estad ística. 
 
Uso combinado de constantes y variables 
 
Reconocemos si una melodía es ejecutada con una trompeta o con un violín o con un instrumento de 
percusión por las constantes que caracterizan a los sonidos emitidos por esos instrumentos. 
Reconocemos que se trata de la misma melodía por las constantes (partitura) que la caracterizan. 
Las relaciones temporales variables de frecuencia de los sonidos emitidos por los instrumentos, las notas 
musicales, permitirán interpretar diferentes melodías con el mismo o con diferentes instrumentos. 
Las constantes de la melodía son las variables que pueden compartir los instrumentos sin perder sus 
propias constantes de emisión de sonidos. 
El material de estudio puede ser un instrumento con sus constantes y usar diversas melodías como 
variables o cualquier otra combinación. 
Veamos otros ejemplos: 
Morir es una constante en la vida (ciclo) del hombre. 
La muerte de individuos es un evento en un lapso de observación de un grupo de hombres. 
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La mortalidad [Relación Muertos/(Muertos +Vivos )] en un lapso de observación (por ejemplo: anual) es 
una variable de las Poblaciones Humanas. 
 
Tipos de Variable 
 
Las variables pueden ser Cualitativas o Cuantitativas. 
Las variables cualitativas pueden ser Nominales u Ordinales. 
 A) Cualitativa Nominal: 
Las variables se describen con palabras o números. El estudio o análisis de las mismas no admite 
operaciones matemáticas aunque la variable se exprese con números (por ejemplo el directorio 
telefónico). 
Son un ejemplo de estas variables el Infarto Agudo de Miocardio (IAM), la Insuficiencia Cardíaca Derecha, 
la Diabetes , etc. 
Estas variables nominales pueden ser dicotómicas cuando admiten solo dos posibilidades, por ejemplo: 
vivo o muerto, operado o no operado. 
 B) Cualitativa Ordinal: 
Las variables admiten graduaciones jerárquicas, pero sin cuantificar, por ejemplo: "mayor o menor que". 
El estudio o análisis de las mismas no admite operaciones matemáticas, pero sí se pueden comparar. Son 
ejemplo de estas variables cualitativas ordinales las Clases Funcionales I, II, III ó IV de la Insuficiencia 
Cardíaca o del Angor. 
Las variables cuantitativas o cardinales admiten en su estudio a todas las operaciones matemáticas. 
Estas variables pueden ser Continuas o Discontinuas (Discretas). 
 A) Cuantitativa Continua: 
El valor de la variable admite las infinitas posibilidades de los números reales y las fracciones tienen 
sentido. 
En estudios con la variable Peso Corporal se admite que entre dos valores existan infinitos valores, por 
ejemplo entre 30 y 31 Kg se admite todos los decimales que se considere necesario: 30,1; 30,11; 30,111, 
30,1111, etc. 
 B) Cuantitativa Discreta o Discontinua: 
El valor de la variable entre dos valores no admite infinitas posibilidades ya que las fracciones no tienen 
sentido. Por ejemplo: el número de dedos faltantes para determinar capacidad laboral, el número de 
"piezas" obtenidas en una cacería, el número de piezas dentales para hacer una prótesis, etc. 
Funciones Estadísticas 
Son la expresión de procedimientos matemáticos realizados con los valores de las variables, por ejemplo el 
promedio 
 A) Parámetros 
Son las funciones de la Población y por lo tanto son una Constante de la misma. Nótese la diferencia con 
el significado coloquial del término cuando se lo utiliza para decir por ejemplo: "los parámetros de control 
del paciente se mantuvieron en el rango normal" dónde va implícita la variabilidad. 
Se simboliza a los parámetros con letras Griegas, por ejemplo el Promedio se simboliza µ (mu) y el 
Desvío Standard G (giga). 
 B) Estadígrafos 
Son las mismas funciones, pero referidas a la Muestra , son por lo tanto Inconstantes y se las simboliza 
con letras Latinas , por ejemplo el Promedio es y el Desvío Standard es DS . 
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Tipos de Estadística 
 
 A) Estadística Descriptiva 
Es la que se limita a caracterizar poblaciones o muestras mediante funciones de las mismas, Parámetros 
o Estadígrafos respectivamente. Desde los datos obtenidos por muestreo se pueden hacer proyecciones a 
la población mediante la expresión de las funciones en porcentajes. 
 B) Estadística Inferencial 
Es la que procura saber si muestras que exhiben diferentes valores y funciones pertenecen a la misma 
población. 
La Estadística Inferencial trata de establecer cual es la probabilidad de que la diferencia observada se 
deba sólo al azar del muestreo. 
Procura inferir con sus conclusiones el significado de las diferencias. 
En el estudio que se planteó su equipo, al estudiar la mortalidad anual de pacientes que no sabían que 
eran diabéticos y que padecieron un IAM comparando dos muestras según los pacientes siguiesen una 
dieta estricta luego del alta, dan por obvio que observarán diferencias en la mortalidad de ambos grupos 
(Dieta Libre vs Controlada). 
La estadística inferencial operando matemáticamente con los valores y/o las funciones obtenidas en 
cada muestra aporta datos para ayudar a interpretar esa diferencia. 
El tratamiento estadístico (matemático) de los datos le asignará una probabilidad a que la diferencia 
observada sea casual. 
Su equipo ha decidido que si la p robabilidad de que la diferencia sea casual es menor de 1% (uno por 
ciento) o expresado de otro modo que la p < 0.01 inferirán que la dieta marcó la diferencia, que la 
diferencia no fue casual, que la dieta divide poblaciones. 
La Estadística Inferencial concluye informando la p robabilidad de que la diferencia sea casual. No 
niega que haya sido casual. No pretende negar la casualidad. 
Procure explicarle a alguien que ya ganó u$s 1.000.000 en la lotería jugando un número de 5 cifras y 
habiendo sido la probabilidad de ganar < 0.000001, que la casualidad no existe y que por lo tanto ¡¿no 
ganó?!. Por el contrario:¿Recomendaría jugar para "zafar"? 
La Estadística infiere en el sentido de proponer conclusiones sobre la totalidad con datos parciales. 
Entre las varias definiciones del diccionario (ibid) para el verbo inferir proponemos elegir "inducir una 
cosa de otra". 
En el estudio de su hospital, el equipo de trabajo procurará inducir si el control dietético es eficaz 
disminuyendo la mortalidad post Infarto en diabéticos "de novo" si la diferencia a observar entre los dos 
grupos tiene baja probabilidad de ser sólo casual. 
El valor de probabilidad que llamará "baja" su equipo, ha decidido que sea 1% (p < 0.01 ). El equipo 
sabe que puede ser simplemente una casualidad encontrar una diferencia de mortalidad entre ambos 
grupos de control de dieta, aunque los cálculos inferenciales den que la probabilidad de un hallazgo casual 
sea p < 0.000001 (como el de la lotería). 
Nótese que la medicina "Basada en la Evidencia" no transmite "verdades reveladas"; sólo dice que es 
evidencia una interpretación de datos que asigna un valor "arbitrario" (elegido si se prefiere) a la 
casualidad. Arbitrario no quiere decir "infalible". 
La medicina "Basada en la Evidencia" por los cálculos de la Estadística Inferencial recomendaría en 
nuestros ejemplos que jugar a la lotería no es la forma más probable (¿segura?) de "zafar". Quizás, 
veremos su estudio, la "evidencia" obtenida recomiende que es más seguro cumplir con la dieta que no 
hacerlo, aun sabiendo "a priori" que algún incumplidor "zafará" o que el más cumplidor de todos podría 
morir a los tres meses. 
 
 
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Cuantificar para comparar 
En conversaciones cotidianas se comparan variables cualitativas utilizando adverbios de cantidad y 
adjetivos calificativos. Las señoras comentan que tal afamado diseñador de ropas es contradictorio porque 
en verano elije colores "cálidos" y entre ellos se inclina "más" por el rojo. Los caballeros, dialogando sobre 
automóviles, opinan sobre la "mayor o menor confiabilidad" de ciertas marcas reconocidas. 
Ha sido reconocido que los pacientesdiabéticos tienen más riesgo de arteriopatías. Ciertas 
recomendaciones procuran que ese riesgo en pacientes diabéticos sea menor. 
El lenguaje coloquial deja librado a la imaginación, a las vivencias previas, en ocasiones a las expectativas 
de los interlocutores, la magnitud, el impacto, de tales apreciaciones. ¿Cuánto, y en ocasiones Qué, es 
"más", "mayor", "mejor", etc?. 
La Estadística Descriptiva , acorde a su esencia, debe expresarse matemáticamente. 
Para describir a las variables cualitativas con números, la primera acción es contar. 
Finalmente, si es apropiado, se puede inferir comparando relaciones de muestras. 
 
Frecuencia: mediciones y relaciones 
1. Frecuencia Absoluta"f": Cantidad de veces que se repite determinado valor de la variable 
(cuantitativas) o atributo (cualitativa). 
2. Frecuencia Relativa "fr = f/n": Es el cociente entre la "f" y el número total de datos "n". 
3. Frecuencia Absoluta Acumulada"fa": Es la suma de las "f" hasta un valor de la variable. Por 
ejemplo: si decimos que 40 estudiantes han "sacado" 4 o menos de 4 como nota, en realidad hemos 
sumado la cantidad de "0", de "1", de "2", de "3" y de "4". La expresión correcta (porque no "sumamos" 
estudiantes) hubiese sido: hay 40 notas con 4 o menos de 4. 
4. Frecuencia Relativa Acumulada"fra": Es la suma de las "f" hasta un valor de la variable. En el 
ejemplo anterior, si los alumnos (notas) son 80, afirmaríamos que el 50% saco 4 o menos de 4. 
5. Distribución de Frecuencia: Es una "Tabla" donde se presentan, en columnas, los valores de la 
variable y su correspondientes frecuencias. Por ejemplo, si "tiramos" un dado 50 veces podríamos obtener 
algo así: 
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Prevalencia e incidencia 
A una clínica le han ofrecido la posibilidad de atender por sistema de "cápita" a una población de jubilados. 
Se trata de 9.900 personas de ambos sexos y con una edad promedio de 60 años. El sanatorio que los 
atiende actualmente realizó un relevamiento de todos ellos investigando Diabetes; encontraron 1980 
personas que cumplían con los criterios diagnóstico de Diabetes. El sanatorio referido ha solicitado un 
incremento en el monto de "cápita" por paciente en razón de que la diabetes aumenta los costos de 
atención. Argumentan que la prevalencia de Diabetes en ese grupo es "más" alta que en la población 
general que se toma como referencia para establecer el monto de la cápita. 
El diabetólogo de la clínica es convocado para asesorar al respecto. 
La Estadística Descriptiva utiliza la palabra Prevalencia para referirse a la proporción de una 
totalidad, los jubilados en este caso, que cumple los criterios particulares que interesan (variable 
cualitativa), en nuestro ejemplo, de Diabetes. 
Siguiendo los pasos necesarios para transformar variables cualitativas en números, se contó el total de 
personas (9.900) y se contó para conocer la frecuencia absoluta (1980) de diabéticos. 
La relación de esos números informa que del total de esos jubilados son Diabéticos 1980/9.900 (0,2) o 
en términos porcentuales para hacer proyecciones, que la Prevalencia es del 20%. 
Nótese que Prevalencia es una manera de referirse a una Frecuencia Relativa . 
El Diabetólogo informa que en la población general la Diabetes se presenta con una Prevalencia del 5%. 
Más aún, el diabetólogo informa que con la edad promedio de esa población de jubilados, se debe esperar 
que la aparición anual de nuevos casos de Diabetes, en el nuevo idioma, que la Incidencia de 
Diabetes, sea superior a la tasa de mortalidad y por lo tanto, con el transcurso del tiempo, la prevalencia 
aumentará. 
La relación de una prevalencia con alguna unidad de tiempo, anual en el ejemplo, es lo que la 
Estadística Descriptiva denomina Incidencia. 
Prevalencia e Incidencia son maneras matemáticas de presentar mediciones y relaciones
(Frecuencias). Son datos obtenidos con variables cualitativas y que la Estadística Descriptiva 
ofrece para hacer proyecciones y/o inferencias. 
 
Riesgo y Odds 
Si la variable cualitativa tiene connotación peligrosa o desagradable en algún sentido, su frecuencia 
relativa en los estudios puede incluir esa idea si se la expresa utilizando el término Riesgo, es una 
alternativa en reemplazo de Prevalencia. 
El servicio de ginecología del hospital regional ha realizado un estudio en el que observó una frecuencia 
relativa de 30% de Recién Nacidos de Bajo Peso (RNBP) en embarazos de mujeres menores de 18 años, 
mientras que en mayores de 18 años fue del 5%. 
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La comunicación de esos datos podría hacerse diciendo que la Prevalencia de RNBP en embarazos de 
menores de 18 años es del 30%, lo cual es mayor que la Prevalencia del grupo control que es del 5%. 
En el programa de prevención de embarazos no deseados el servicio optó por distribuir una circular que 
advierte que el Riesgo de RNBP en embarazos de adolescentes es del 30%, siendo el Riesgo habitual del 
5%. 
La misma idea de frecuencia relativa puede ser expresada matemáticamente con una diferencia, sutil con 
poblaciones grandes, relevante con poblaciones pequeñas o en proceso de cambio. Se trata de la relación 
"Odds". 
La Prevalencia es la relación entre el número obtenido de la variable y el total. En ese total están 
incluídos los "variable positivo" y los "variable negativo". En el ejemplo de los jubilados se relacionó los 
1980 diabéticos con los 9900 jubilados. En esos 9900 jubilados estaban incluídos los 1980 diabéticos. 
La relación Odds resulta de dividir el número de "variable positivo" con el número de "variable Negativo". 
En el ejemplo la Odds Ratio es 1980 /7920 (Diabetes+/Diabetes -). 
Esta palabra inglesa tiene muchas acepciones: "impar" (odd shoe), "extra" (odd player in a game), 
"chances" (… odds are against us), etc. 
La relación Odds, en inglés Odds Ratio (OR) , proponemos emplearla como Riesgo Agregado o Riesgo 
Extra o Probabilidad Adicional ya que relaciona "los que SÍ con los que NO", a "los que les pasó con 
los que no les pasó". 
OR simultáneamente informa el Riesgo de que SI con la Probabilidad de que NO. 
Si se analiza la evolución durante 10 años de observación de una afección con un determinado tratamiento 
y el evento a contabilizar es la muerte, puede expresarse la frecuencia relativa de la muerte (la 
mortalidad) con el criterio que vimos para Riesgo . 
En ese caso, el denominador será siempre el total de pacientes observados, son los que se van muriendo, 
van pasando del denominador al numerador pero no se los descuenta del denominador. Es como si los 
muertos siguiesen "votando", como si continuasen en el grupo, vigentes para nuevos eventos. 
Veámoslo con números: muestra original de 1000 pacientes. El primer año mueren 25 pacientes: 
mortalidad 25/1000 = 0.025 = 2.5%, a los 5 años han muerto 350 pacientes luego: mortalidad 350 / 
1000 = 0.35 = 35%. 
Si la relación se hiciese con OR, se informaría el primer año 25 / 975 = 0.0256 = 2.56%; pero a los 5 
años se informaría 350 / 650 = 0.538 =53.8% 
Ninguna de las dos relaciones es "mentirosa", pero: ¿Mortalidad 35% o 53.8% a 5 años? 
Han muerto el 35% de los que iniciaron; los vivos saben que la relación muertos / vivos actualmente es 
casi 54%. 
OR informa con más precisión la situaci ón al momento del análisis. 
OR es una manera de mantener actualizada la información. 
 
Números y localización 
Para expresar las direcciones de nuestras viviendas hemos elegido hacerlo con números que establecen 
nuestra localización relacionándola con una posición conocida. 
Referido al planeta deberemos citar Latitud y Longitud de un punto ubicado en nuestra vivienda. 
Lo común es fijar un punto cero en la localidad, al cual se lo denomina punto o Lugar o Centro de 
Referencia. Nótese que el Centro de Referencia,o Km 0 en el lenguaje ciudadano, habitualmente no se 
ubica en la vivienda de nadie, por cierto que siendo el punto una localización virtual, él mismo no es una 
vivienda real. 
Cualquier ubicación en una localidad está referida a ese Centro y se urbaniza con las calles 
perpendiculares cada 100 metros hacia los cuatro puntos cardinales. Si se dice que alguien reside en Calle 
12 Oeste 1464 Norte, queda claro que vive en un lugar al cual pertenece el punto donde se cruzan dos 
líneas perpendiculares imaginarias que distan del Centro de Referencia: la primera 1200 m al Oeste y la 
otra 1464 m al Norte. 
En Estadística Descriptiva las funciones (Parámetros y Estadígrafos) son utilizados como 
Referencia de localización de los valores de las variables. Como veremos poco más adelante es muy útil 
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saber la localización de un valor con respecto a otro utilizado como referencia. En lenguaje coloquial, es 
importante saber que tan lejos o cerca del centro de referencia está un determinado valor y cómo se 
agrupa el conjunto. 
En el lenguaje estadístico se denominan a estos números referenciales, calculados con las mediciones 
realizadas, Medidas de Referencia. 
 
Medidas de referencia 
Se utilizan dos tipos de medidas, las que identifican el Centro de Referencia de la Población o de la 
Muestra y las que expresan la distribución (Dispersión en la jerga Estadística) de los valores de esa 
población o de esa Muestra alrededor del centro. 
En el nuevo idioma que estamos aprendiendo se habla entonces de Medidas de Tendencia Central y de 
Medidas de Dispersión, respectivamente. 
En la traducción a nuestro lenguaje cotidiano, proponemos entenderlo como las referencias para localizar 
los valores individuales o reales de la variable en estudio. 
 
Medidas de tendencia central 
1. Media o Promedio: Se calcula dividiendo el valor resultante de sumar todos los valores obtenidos 
(Sumatoria) de la Variable (v) por el número de valores obtenidos (n). 
2. Mediana: Es un valor de la variable que separa al conjunto en igual número de valores mayores y 
menores que él mismo. Como se refiere a localización sería más apropiado decir igual número de valores a 
un lado y a otro, o por encima y por debajo. Por ejemplo, si los valores obtenidos fueron: -2, 0, +2, 
+4, +6, la mediana de esa serie es +2. Se la puede definir sólo con la jerga estadística, veamos dónde 
estamos con el idioma: "la mediana es el valor de la variable cuya frecuencia acumulada es mayor 
que la mitad de la frecuencia del valor total". ¿Todavía no lo manejamos? Quizá sea oportuno repasar 
el item Frecuencia: Mediciones y Relaciones. 
En series grandes y/o "pares" de valores existe una fórmula para calcular la mediana que utiliza la 
Distribución de frecuencias y el rango entre cada par de valores inmediatos. A ese rango se lo 
denomina: Intervalo de clase. 
3. Modo: Es el valor de la variable más frecuente. Por ejemplo, si los valores obtenidos fueron: 
2,2,2,3,5,7, el modo es 2. 
En series grandes y/o "empatadas" el modo se calcula también con fórmulas que utilizan la Distribución 
de frecuencias y el Intervalo de clase. 
 
Medidas de dispersión 
1. Rango: Es una manera de señalar los límites de las localizaciones posibles. Se expresa con dos 
valores, el valor más alto y el valor más bajo obtenidos de la variable. Por ejemplo: los valores obtenidos 
fueron: 2,3,3,4,5,6, el rango es 2 y 6 . 
2. Cuantilo: Es un valor de la variable que separa al conjunto dejando ubicados una parte, un 
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porcentaje o una proporción por encima y otra por debajo de ese valor. Por ejemplo, el Percentilo 25 
es el valor de la variable que deja por debajo al 25% de los valores obtenidos y por encima al 75% de 
esos valores. 
3. Desvío: El promedio o media o medio, se construye sumando los valores reales y dividiendo esa 
sumatoria por el número de valores reales que se sumaron. 
Por ejemplo: los valores obtenidos son 2, 2, 3, 3, 4, 4, 7, 7, 8, 10; la media es 5. 
En este caso el valor promedio no es uno de los valores reales obtenidos. 
No importa, aprendimos que al promedio lo necesitamos como una referencia para ubicar a los valores 
reales y relacionarlos al respecto entre ellos mismos. 
Esa es la idea del concepto Desvío en este nuevo idioma, expresa la localización de un valor real con 
respecto al centro de referencia. 
El Desvío se calcula restando el valor al promedio. En el ejemplo de marras los desvíos de los valores 
reales obtenidos son: -3, -3, -2, -2, -1, -1, +2, +2, +3 , +5. 
En el leguaje coloquial diríamos que hay valores que están más cerca y otros más lejos del promedio; con 
otras palabras, el desvío nos dice la ubicación relativa del valor respecto al promedio y por ende, también 
de los valores entre sí. 
Para que tenga sentido, entonces, el desvío se expresa conjuntamente con el promedio de 
referencia; para legos, es la "dirección" de un valor de la variable. 
Varianza y desvío standard o medio 
Si la intención es inferir como se distribuye la población, la totalidad, señalar cada desvío es engorroso y 
poco práctico, por lo tanto, para esa finalidad, si la distribución de los valores de la variable es más o 
menos simétrica tiene sentido calcular el Desvío Medio (Promedio de los Desv íos) o Desvío Standard 
( DS ) de los valores de la variable. 
Se calcula mediante la siguiente fórmula: 
La fórmula expresa que la sumatoria (?) de los desvíos al cuadrado (x – )2 debe dividirse por el número 
de valores obtenidos (n) ; eso ya lo conocemos, es calcular el promedio de los desvíos, lo novedoso es 
elevar los desvíos al cuadrado para luego extraer la raíz cuadrada (v) al promedio obtenido. Suele 
usarse ( n–1) en lugar de n, y en eses caso se habla de "grados de libertad". 
Para el lenguaje de nuestras conversaciones cotidianas es un galimatías. 
Los valores reales obtenidos de la variable son números mayores y menores que el promedio. Eso significa 
que habrá desvíos positivos y negativos, como ya vimos en los ejemplos previos. Hicimos la analogía 
de que el desvío es la "dirección" del valor. Imagine qué sentido podría tener dar su dirección o su teléfono 
con números negativos. 
Trabajar con "direcciones negativas" es todo un tema, más aún porque en realidad los desvíos son 
localizaciones reales, positivas en la jerga común, y no valores negativos en el sentido de tales 
números reales. 
Lo que interesa, más que una localización precisa de los valores, es inferir la dispersión promedio, la 
ubicación promedio, común, Standard, o si se prefiere, cómo se agrupan. 
Recordemos algunas cosas simples de matemática, nos enseñaron que números reales que se elevan al 
cuadrado dan como resultado un número real con signo positivo. 
Por ejemplo: (-2)2 = +4 ó (+2)2 = +4 ó 4 ya que la positividad está implícita por omisión. 
Elevar al cuadrado la sumatoria de los desvíos, antes de dividirlo por el número de datos, da como 
resultado que la dirección promedio de los desvíos es positiva. 
El Desvío promedio Positivo, en tanto cuadrático, se denomina Varianza. 
En las comparaciones de muestras, podremos estudiar no solamente las diferencias en las medidas de 
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tendencia central, promedios, medianas o modos; tenemos la posibilidad de comparar las dispersiones, en 
otros términos, de analizar la varianza de muestras. Se abre la posibilidad de apreciar que muestras 
que parecen similares, que parecen representar a la misma población por la similitud de sus medidas 
de tendencia central, en realidad al analizar la varianza exhiben una dispersión tan distinta que 
podrían representar a poblaciones diferentes. El conjunto se agrupa de manera diferente. 
La varianza es muy cómoda para trabajar matemáticamente, pero convengamos que como expresión de 
dispersión, de ubicaciones, de "direcciones", alrededor de una medidade tendencia central, al tener 
un solo signo se autolimita como idea de ubicación. 
Recordábamos que un número elevado al cuadrado da un resultado positivo, el procedimiento inverso, 
extraer la raíz cuadrada de un número, da un resultado que admite (tiene) los dos signos conocidos. 
Si la varianza es la expresión cuadrática de la dispersión promedio, parece más inteligible referirse, 
generalizando, a la ubicación de los valores de la variable por medio de su Raíz Cuadrada, ya que al 
tener los dos signos expresaremos mejor la idea que queremos transmitir, esto es, que "los valores de la 
variable están localizados más o menos tanto alrededor de …". 
A la Raíz cuadrada de la Varianza se la denomina Desvío Medio o Standard y se lo simboliza como DS.
Por supuesto, para que tenga sentido el DS debe expresarse conjuntamente con la medida de 
tendencia central de referencia; para legos, es la ubicación promedio (la dispersión) de los valores 
de la variable alrededor del "Km 0". 
Comparemos dos muestras, una caracterizada por 50 y DS ±1, otra por 50 DS ± 15. El DS expresa 
como se dispersan los valores en general. Si volvemos a nuestra analogía de ver al desvío como las 
"direcciones" de los valores, la primer muestra ( 50 ± 1), nos sugiere que los valores están ubicados muy 
próximos, si fuesen viviendas pensaríamos en un vecindario urbano, la segunda muestra ( 50 ± 15)
describiría una zona rural. 
Los datos de la Estadística Descriptiva son utilizados por la Estadística Inferencial. 
El problema es resolver si las dos muestras del ejemplo representan a una misma población. Piense la 
conclusión si compara solo los (50 y 50) , sin hacer ningún cálculo no parece la misma conclusión si 
compara ± DS ( 50 ± 1 y 50 ± 15) o si se concentra en analizar las varianzas (1 y 225). 1 y 225 
resultan de DS2 ya que DS =v v y por lo tanto v = DS2. 
Queda claro que para inferir comparando muestras, son importantes los valores, pero también las 
funciones, todas ellas, especialmente las que expresan la manera en que se "localizan", se distribuyen, 
se dispersan los valores de la variable. 
En biología es frecuente comparar muestras contra sí mismas; por ejemplo, antes y después de un 
determinado tratamiento. Si se comparan sólo los promedios puede pasar algo semejante a lo del ejemplo 
previo, no apreciar diferencias, a pesar de que el tratamiento realmente cambió las condiciones basales. 
En otros términos, que la muestra post tratamiento no representa a la misma población que la muestra 
pre tratamiento, pero eso, a veces, sólo se percibe con claridad analizando la varianza de las muestras. 
 
Distribución y localizaciones conflictivas 
Algunos valores reales de la variable pueden tener una localización tan distante de la medida de tendencia 
central que surjan dudas sobre su pertenencia a la población. La Estadística Descriptiva contempla estas 
situaciones analizando los posibles modos de distribución de los valores de la variable: Distribución 
Simétrica o Asimétrica. 
 
Distribución simétrica y marginalidad 
 
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Se la reconoce por la coincidencia del valor de media, mediana y modo. 
A un valor que impresiona fuera de contexto, que es difícil aceptarlo como perteneciente a la población 
muestreada, se lo denomina Marginal. 
Su equipo de trabajo exploró los valores de colesterol sanguíneo en 100 varones de 30 a 50 años 
asintomáticos y sin antecedentes personales ni familiares de factores de riesgo para aterosclerosis con 
examen físico normal. 
El 68% de los valores se encontraron en el rango 170 a 190 mg%; el 95% en el rango 160 a 200 mg% y 
el 99% en el rango 150 a 210 mg%. 
Un valor hallado, y corroborado que no se trataba de un error técnico, fue 450 mg%.La duda es 
considerarlo un valor normal casual y por lo tanto incluirlo para los cálculos o, una rara enfermedad 
genética con hipercolesterolemia sin impacto clínico temprano. 
Se trata claramente de un valor marginal. Su equipo decide comunicar su hallazgo y aclarar que no 
se lo incluyó en los cálculos hasta no completar estudios genéticos. 
 
Distribución asimétrica 
Se las reconoce por la falta de coincidencia entre media y mediana. 
Los valores de la variable tienden a agruparse (modo) hacia alguno de los extremos. 
El reconocimiento de la distribución es muy importante para el tratamiento estadístico. 
Aplicar fórmulas propias de una distribución simétrica a valores dispersos de manera asimétrica provoca 
errores con trascendencia en la proyección y en las inferencias. 
En dispersiones asimétricas se debe optar entre media y mediana como medida de Tendencia 
Central; hay que decidir y elegir la que se crea más útil como referencia para caracterizar la 
distribución de los valores de la variable. 
La media esta muy influenciada por los valores extremos, por marginales. 
Por ejemplo: los valores obtenidos son 2, 4, 6, 8, 40; la media es 15; la mediana es 6. 
El tratamiento matemático para proyectar e inferir conclusiones de las muestras a la población varía 
según el tipo y la distribuci ón de los valores obtenidos. 
 
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Publicación: Septiembre 2005 
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Clase Nº 3: Tablas y Gráficos 
Raul E. Ortego Carlos R. Secotaro 
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Es un acervo de los pedagogos que "una imagen expresa más que mil palabras". La Estadística incorpora 
esta idea a su modo de transmitir señales, datos, conclusiones. 
Tablas 
 
Es una manera de presentar datos agrupados para facilitar comparaciones. 
Se ordenan las Variables en Filas (Horizontales) y los Datos en columnas (Verticales). 
Los datos de las variables quedan ordenados en Tablas de "Contingencia" (lo que ha sucedido y lo que 
no ha sucedido). Veamos un ejemplo imaginario utilizando las Columnas para anotar pacientes con y sin 
Diabetes; las filas para anotar los pacientes con y sin Infarto de Miocardio (IAM). 
 
Coordenadas cartesianas 
 
Son dos líneas perpendiculares (Ejes) que se cruzan en un punto que funciona como el 0 (cero) para las 
cuatro semirrectas resultantes. Por convención hacia arriba y hacia la derecha son valores positivos. 
El Eje horizontal o Eje de las Abscisas o Eje de las X es el Eje de la Variable. 
El Eje Vertical o Eje de las Ordenadas o Eje de las Y es el Eje de la Frecuencia. 
 
Histograma 
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Curso: Bioestadística básica para médicos asistenciales 
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La frecuencia de la variable se expresa con un área determinada (vg: barras) 
 
Polígonos de Frecuencia 
 
Se unen los extremos de las barras y se puede comparar en un mismo gráfico distintas poblaciones o 
muestras. 
 
Polígonos de distribución acumulativa 
 
Son polígonos de frecuencia en los que se coloca en el eje de ordenadas la frecuencia acumulada. 
Permite observar y eventualmente comparar, la evolución temporal de la variable en una o más muestras 
simultáneamente. 
 
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Scatter 
 
Se representa cada valor de la variable con un punto en un gráfico de coordenadas cartesianas. Es la 
imagen de la dispersión de los valores de la variable, del modo de distribución (Simétrica o Asimétrica) y 
permite observar valores marginales en el contexto global. Trazar lineas de Correlación. 
 
Campana de Gauss 
 
Los fenómenos biológicos tienen habitualmente la Distribución de Frecuencia de los valores de la 
variable prácticamente simétrica. 
El Polígono de Frecuencia resultante adopta una forma particular denominada: " Campana de Gauss " 
 
Imágenes e ideas 
 
En nuestra idea de estudiar la Estadística como idioma, la "Bioestadística" sería un "dialecto" específico, 
por el que nos interesamos especialmente. 
No conviene avanzar en Bioestadística sin reflexionar sobre la "Campana de Gauss". 
Este simple Polígono de Frecuencia se convierte de un gráfico en una "piedra fundamental" de 
las ideas, en un cimiento del análisis de fenómenos biológicos. 
Para tenerla in mente simplificaremos la "campana" a su expresión basal: el par de coordenadas 
cartesianas tradicionales para Variable y Frecuencia (X e Y) con el agregado de señalar el valor 
Promedio o Medio o Media ( ) recordando que por ser simétrica la distribución, ese valor es el mismo de 
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la mediana y del modo. 
La línea de la campana proponemos imaginarla "punteada", siendo cada punto una localización, 
una ubicación, como veremos a continuación. 
En la imagen de la Distribución Simétrica que pretendemos instalar como idea, como base de 
pensamiento y de expresión, agregaremos dos líneas perpendiculares. 
Una contiene al punto del valor medio, la otra contiene al de mayor frecuencia. 
Se cortan, coinciden, en un punto cúspide de la campana. 
 
 
Valor y localización 
 
En una distribución de frecuencias simétrica, el valor real "x" de frecuencia de aparición "y" se ubica, 
se localiza, en el punto A ó "xy" de la curva. 
Para nuestro idioma asumamos que esa es una localización absoluta, "cruda", no referida a ningún 
otro valor de la variable. 
Cada punto de la línea de la "campana" es la localización de cada valor de la variable. 
La línea de puntos es la sucesión de localizaciones del conjunto de valores de la variable. 
La "campana" es un símbolo gráfico de cómo se distribuye, se dispersa o si se prefiere, cómo se 
agrupa, la población o muestra estudiada. 
Proponemos hablar y pensar de cada "campana" como si fuese el "mapa", la "localidad", de 
una población o de una muestra. 
 
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Pertenencia por localización 
 
En la analogía propuesta pensamos a la localización de un valor concreto como la "residencia" de ese 
valor de la variable identificado en el Eje de las X. 
La localización no es el valor de la variable (su identidad), la localización es dónde se ubica ese 
valor de la variable acorde al número de veces que se repite. 
Por la ubicación, por la dirección de una residencia, reconocemos a la localidad y dentro de ella al 
"barrio" (la localidad pequeña, íntima) a la que pertenece. 
Pensemos al punto A (xy desde ahora) desde la perspectiva de la línea punteada que es la "campana" 
dónde se localizan el conjunto de valores de la variable (la población). 
El punto xy pertenece a la localización en general del conjunto de valores de la variable que se está 
estudiando. 
El punto xy de una localidad puede pertenecer a más de una población. 
En realidad a cada localización es mejor aún que nos la imaginemos para nuestras conversaciones y 
pensamientos como una posada, un albergue, dónde conviven, cohabitan, muchas identidades, miembros 
de diferentes "comunidades", de diferentes conjuntos de valores de la variable, de diferentes 
poblaciones o muestras. 
Un estudio comparó el efecto de una gaseosa "light" sobre la glucemia en ayunas. Analizó una muestra de 
pacientes diabéticos y una más pequeña de pacientes NO diabéticos como control. En los resultados vieron
que un valor absoluto (x) de glucemia de 100 mg% se encontró en la muestra de glucemias de 
pacientes diabéticos pero también en la muestra de glucemias de pacientes NO diabéticos. 
Por el valor (x) no se reconoce a la muestra (ó población) de pertenencia. 
La localización xy "cruda","pura", "absoluta" pertenece a más de una muestra, por ende, tampoco la 
ubicación aislada indica muestra o población de pertenencia. 
Observe la localización xy y su relación espacial (distancia) a la vertical (en color rojo) que pasa por el 
valor medio de cada una de las campana a las que pertenece xy. 
Sin aplicar fórmulas, con su léxico cotidiano, observando esa relación, piense a cual de las dos muestras 
descriptas por cada campana (podrían ser poblaciones) tiene más probabilidad de pertenecer el valor 
x de localización xy. 
Por la localización relativa de un valor de la variable se puede establecer la probabilidad de pertenecer 
a determinada población o muestra según corresponda. 
 
Valores reales y virtuales 
 
Los valores reales se identifican (son), en el Eje de las X. 
Los valores reales "x" se localizan en un punto xy, se ubican, "existen", conforme a su frecuencia de 
aparición en la línea de la campana de su población. 
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Se localizan exactamente en el punto de intersección, entre la vertical que pasa por el Eje de las X 
(su identidad, el "valor") y la horizontal que pasa por el Eje de las Y (su frecuencia de aparición). 
La línea curva, la " campana ", en esta analogía de ubicaciones, es la línea que recorre las 
localizaciones de todos y cada uno de los valores reales de la variable. 
El valor medio, el promedio, la media, como medida de Tendencia Central que es, habíamos 
propuesto presentarla como el "Km 0", como el centro de referencia. 
La vertical que pasa por el valor medio es una línea de referencia para localizar con respecto a ella 
misma a cada uno y al conjunto de valores reales de la variable; esa línea es una referencia para ubicar 
el conjunto con sus relaciones intrínsecas. 
El promedio o valor medio o media ( ) es una idea, una construcción, un valor de referencia, un 
valor virtual, que a veces, puede ser el mismo que uno real; siempre es un valor virtual, puede 
coincidir con un valor real. 
Un valor real, aunque eventualmente coincida numéricamente, "no es" el promedio. 
Proponemos como ejercicio de abstracción abandonar la idea de que el promedio es el valor real 
más frecuente; resistirse a aceptar al promedio como que "vive", que "existe", que es "real" y 
que se "localiza" en el punto de mayor frecuencia. 
Es una trampa intelectual creer que al promedio se lo "encuentra" fabricándolo con los valores 
reales hallados; es una falacia común creer que el promedio es un valor real que existía y 
estaba "oculto", disimulado entre esos valores reales. 
Un simple ejemplo para luego continuar. Suponga una variable discreta con valores siempre PAR, por 
ejemplo, dados los valores 2, 4, 6, 8; el promedio es 20/4 = ¡¿ 5 ?! 
Los valores reales son siempre pares, el promedio es impar. NO hay problema, es un valor virtual 
alrededor del cual se distribuyen los valores reales. 
 
El promedio y el conjunto 
El valor del promedio y la línea vertical que lo contiene es una referencia común a diversas poblaciones o 
muestras. 
La coincidencia en el promedio es claramente insuficiente para identificar a un conjunto determinado, 
específico, de valores de una variable, es decir a una muestra o población. 
Sólo observar la figura basta como argumento probatorio de estas afirmaciones. 
 
El mensaje de la campana 
 
Los valores reales de la variable son insuficientes para identificar la muestra o población a la cual 
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pertenecen esos valores. 
Las localizaciones de los valores reales de la variable son insuficientes paraidentificar la muestra o 
población a la cual pertenecen esos valores. 
Poblaciones o muestras diferentes comparten valores reales, localizaciones de los mismos y 
pueden compartir también al valor virtual de referencia que se denomina promedio. 
La localización de un valor de la variable con respecto, referida, al promedio del conjunto de 
valores de la variable, permite calcular la p robabilidad de pertenencia de ese valor, a ese 
conjunto de valores de la variable (población o muestra). 
 
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Publicación: Septiembre 2005 
Tope 
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Clase Nº 4: Error Standard 
Raul E. Ortego, Carlos R. Secotaro 
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El Error Standard podríamos expresarlo conceptualmente como el error que se puede cometer al intentar 
conocer a una Población por una Mue s tra de sí misma. 
La frecuencia absoluta de aparición de rangos de glucemias en una Población (están todos, no es una 
muestra) de 4600 pacientes No diabéticos fue la siguiente: 
 
Tabla de Resultados 
 
Histograma de frecuencia y polígono de frecuencia 
 
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Curso: Bioestadística básica para médicos asistenciales 
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Conceptos y tipo de variable 
 
Para facilitar la comprensión del ejemplo hemos transformado una variable continua como es la Glucemia 
en una cardinal como es el "rango de glucemia". 
Lo hemos hecho para que la "localización" de los valores de la variable sea más simple. 
Los conceptos sobre las limitaciones (el Error ) de conocer a la población por una muestra se aplican en 
los estudios que utilizan variables cualitativas nominales o cardinales, que "cuentan" para obtener la 
frecuencia de aparición en cualquiera de sus modalidades. Por supuesto que ocurre lo mismo si se trabaja 
con relaciones de las frecuencias obtenidas, como son el "Riesgo o Prevalencia", el "Odds Ratio", etc. 
Es conveniente destacar que las "ideas fuerzas" que expondremos a continuación son las mismas 
cuando se trabaja con variables cuantitativas continuas o discontinuas. 
En la analogía propuesta en este ensayo, se trata del mismo idioma, el mismo lenguaje. 
 
Localización en la "Campana": 
 
Al histograma de frecuencia que se denomina "Campana", lo simplificaremos para trabajar, "colgando" en 
cada "localización" el número de "habitantes" de ese valor de la variable allí "alojados" o "ubicados" si se 
prefiere. 
 
La línea gruesa vertical que divide a esta "campana" con distribución simétrica en fracciones iguales, es la 
línea que ya estudiamos pasando simultánemente por el valor PROMEDIO , por el valor de la MEDIANA y 
por el valor del MODO. 
No está de más recordar que en cada "localización" se alojan habitantes que comparten la identidad en 
cuanto al valor de la variable en el Eje de las X, pero que pertenecen a otras comunidades (Poblaciones). 
En este caso, esos otros "ocupantes" en cada "rango", podrían pertenecer a poblaciones de pacientes 
Diabéticos y de diversos tipos de Diabetes. 
A esos valores de la variable ("individuos") "alojados" en la misma localización que los miembros de la 
población en estudio, pero que no pertenecen a ella, los ignoraremos, los discriminaremos, como si no 
"existiesen". 
 
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El Azar del Muestreo 
 
Si observa la campana de la población del ejemplo encontrará, a los 4600 "pobladores", la totalidad, 
"localizados" según cada valor de la variable de la población. 
Observe que los valores en este caso son 7 (siete) rangos, las localizaciones también son 7 (siete), los 
pobladores son 4600 distribuídos simétricamente. 
Una muestra es una fracción de una población que se obtiene tomando azarosamente a algunos 
miembros de la población "muestreada". 
Idealmente una muestra sería una "miniatura " de la población. La idea de muestra está concebida 
imaginando que la misma es una "copia a escala" de la población. 
En el imaginario, la muestra no sólo representa sino que reproduce (a escala) a la población con sus 
características de distribución. 
En nuestro ejemplo, no necesitamos hacer ningún "cálculo de probabilidades" para saber que una muestra 
del 10% de la población (460 pacientes) no será obtenida, si de verdad es por azar, tomando un 10% de 
cada "localización". El azar, que garantiza ecuanimidad en la representación; conspira contra la exactitud 
de la "copia a escala". 
Obtener tal tipo de copia sería "sacar la lotería", es posible pero muy poco probable. 
 
Cantidad y representación 
 
Si por el azar del muestreo la "extracción" no es proporcionalmente idéntica para cada "localización", no 
hacen falta fórmulas para intuir que las campanas de diversas muestras no serán iguales entre sí, ni 
tampoco una "miniatura" exacta de la población. 
Las campanas de las muestras no son un calco entre sí; tampoco la contracción (fracción 
proporcional exacta si se prefiere) de la campana de la población. 
 
La muestra "ideal", la "miniatura" o "copia" a escala, en color rojo en el gráfico, es muy útil para 
captar algunas ideas que luego se expresarán en el "lenguaje" estadístico. 
Las localizaciones con pocos "habitantes" tienen menos probabilidades de obtener representantes en el 
muestreo; sin hacer cálculos de probabilidades, sólo observe las flechas punteadas en color rojo 
"buscando" representantes y en color celeste la frecuencia de aparición de ese valor en la población y en 
la muestra. 
No sólo eso, mirando el gráfico, reflexione sobre las chances de lograr "copia exacta" en la 
representación si las posibilidades de simplemente "aparecer" ya son escasas. 
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Tampoco es necesario un cálculo matemático complejo para percibir que cuanto menor proporción de la 
población sea incluída en la muestra (más pequeña la muestra), mayor será el Error en la 
Representación de la Población. 
Error por muestreo 
Comprendida la idea de que la muestra no es una representación "exacta" de la población, debemos 
asumir un Error en la representación, un Error por muestreo, en las proyecciones y en las inferencias 
que inducimos desde una muestra a su población. 
Si la mala noticia es que las muestras tienen ERROR, la buena noticia es que ese error puede ser 
calculado con notable precisión. 
En los párrafos y gráficos anteriores se explicó la idea de que hay una relación inversa entre tamaño de 
la muestra y Error por muestreo. 
El concepto "cuanto menor la muestra, mayor el Error" tiene una expresión matemática que la 
Estadística incluye en los cálculos de proyección e inferencias. 
Error promedio o error standard 
 
En nuestro conocida campana, dejamos la muestra ideal (miniatura) en color negro e incorporamos al 
gráfico las imágenes de dos muestras de diferente tamaño. La muestra mayor en color celeste y la 
muestra menor en color rojo. 
En la población y en cada una de las muestras incluímos la línea vertical que divide en dos fracciones 
iguales a cada campana. 
Es la línea que contiene a la medida de tendencia central ; la línea que en nuestro intentode 
comprensión, asumíamos como referencia de localización o "Km 0". 
 
El gráfico no es "caprichoso" al dibujar cada línea de referencia de localización, la referencia obtenida con 
la muestra ideal "miniatura" es coincidente con la medida de tendencia central verdadera, es decir la de 
la población. No tiene Error de Muestreo. 
Conforme a las ideas que se discutieron previamente, las muestras reales no tendrán la medida de 
tendencia central igual a la de la población de origen. 
En la realidad hay Error de Muestreo. 
La diferencia de la medida de tendencia central de la muestra con la referencia verdadera de la población 
dependerá inversamente del tamaño de la muestra. 
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En el gráfico, la muestra celeste, más grande, tiene una referencia de localización más próxima a la 
verdadera, con menor Error, que la muestra roja, más pequeña. 
El Error de muestreo se expresa en el lenguaje estadístico agregando a la medida de tendencia central 
de la muestra un valor, calculado teniendo en cuenta el tamaño de la muestra, que informa cuan alejada 
está esa referencia de la real de la población. 
El valor del Error de la muestra se denomina Error Promedio o Error Standard. 
 
Cálculo del error standard 
 
Conocemos el número que figurará en el denominador de cualquier fórmula que calcule el Error Standard
(ES), será el número de casos analizados, será el tamaño de la muestra en relación inversa al ES. 
Nos falta colocar un número en el numerador de la Ecuación que calcule el Error. 
En el caso de variables cuantitativas continuas , se utiliza como numerador al Desvío Standard 
obtenido en el muestreo. 
El Desvío Standard la estudiamos como una medida de distribución; para nosotros, legos, una expresión 
de la dispersión de las localizaciones, de la manera en que se ubican con respecto a la línea de referencia 
los valores de la variable. En nuestras humildes analogías, entendíamos al Desvío como el "domicilio" del 
valor de la variable. En esa idea, el Desvío Standard (DS) o Desvío Promedio, como valor agregado a 
la medida de tendencia central (media y/o mediana) informa con la expresión ± DS si las 
localizaciones en general están más o menos alejadas de la línea de referencia, del "Km 0" para nuestra 
traducción al lenguaje cotidiano. 
Una muestra con gran DS, con mucha dispersión de las localizaciones, con amplia distribución si se 
prefiere, será más difícil asumirla como representación homogénea (sin error de representación) de una 
población, más aún si las inclusiones son azarosas. 
Se comprende que para calcular el Error Standard de muestreo, el DS es directamente proporcional al 
ES ; DS y ES tienen relación directa ( mayor DS , mayor ES ). 
Así se llega a la expresión matemática, en la que "n" es el tamaño de la muestra. 
 
 
Las razones matemáticas para utilizar como denominador la raíz cuadrada del tamaño de la muestra 
escapan a la finalidad de este ensayo, nos basta con entender que tal artilugio aritmético no cambia la 
esencia de las ideas que hemos discutido. 
Para trabajar matemáticamente con variables cualitativas, la estadística apela al recurso simple de 
contar las apariciones (frecuencia de aparición) de cada opción de la variable, ya que contamos 
cualidades y no valores cuantitativos. 
Obtenidas las frecuencias de aparición en la muestra, la Estadística relaciona estas frecuencias entre sí de 
diversas maneras para trabajar con ellas (Riesgo, Odds , etc.) 
Estas relaciones o proporciones resultan de referir un número a otro. Ese otro número es el utilizado como 
referencia. 
Si de Riesgo o Prevalencia se trata, la relación o proporción se construye colocando en el numerador el 
número de Eventos contados y en el denominador el número total de referencia, el tamaño de la 
muestra . De esta manera se expresa, por ejemplo, que el Riesgo de muerte durante la internación por 
Infarto de miocardio (IAM) es de 0.1 o lo que es lo mismo 10% ó 10 / 100 . Con ello se dice que de 
cada 100 pacientes internados por IAM se mueren 10 pacientes. En realidad la muestra de estudio fue de 
1040 pacientes y la cantidad de pacientes fallecidos fue de 104. El cálculo de 104/1040 arroja como 
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resultado 0.1 o sus expresiones porcentuales. 
En estos tratamientos matemáticos se capta rápidamente que cuanto mayor sea el tamaño de la 
muestra, cuanto más cercano el tamaño de la muestra al total de la población, mayor será la probabilidad
de que la relación hallada sea verdadera, se percibe que el Error de muestreo, el error por 
"reclutamiento" azaroso sea menor. 
Se ratifica la idea previa, a mayor tamaño de la muestra, menor error. 
Estas relaciones proporcionales o, simplemente proporciones, aritméticamente, se calculan utilizando al 
tamaño de la muestra como denominador, como referente; luego la proporción hallada tiene relación 
inversa con el tamaño de la muestra. En un sentido aritmético estricto, se podría decir que a mayor 
tamaño de muestra, menor proporción; "Riesgo" si fuese esa la proporción estudiada. Esto carece de 
sentido porque es evidente que a mayor tamaño de la muestra, mayor número de eventos, mayor 
numerador; el resultado neto es una proporción más cercana a la verdadera. 
En la expresión Riesgo, es mejor como idea interpretar que a mayor tamaño de muestra, menor 
Error en la estimación del Riesgo. 
Por la construcción matemática del Riesgo, surge que el Error del Riesgo está en relación directa al 
valor calculado . En realidad se sigue vinculando al Error con el tamaño de la muestra y de manera 
inversa; mayor tamaño de muestra, menor error. 
Si "P " es la proporción hallada en la muestra, la ecuación para calcular el Error Estándar (ES) que 
utilizan los expertos en Estadística es: 
 
 
Si repasamos lo expuesto previamente, caemos en la cuenta que el tamaño de la muestra ( n ) aparece 
explícito en el denominador y está implícito en el numerador. 
Quizás lo único que debamos recordar de esta ecuación para nuestras expresiones idiomáticas estadísticas 
es que, para calcular el ES en las relaciones obtenidas con variables cualitativas, el número "llave" es el 
tamaño de la muestra; ratificando la idea de que a mayor tamaño de muestra, menor error de 
muestreo, menor ES. 
 
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Clase Nº 5: Probabilidad de Pertenecer 
Raúl E. Ortego, Carlos R. Secotaro 
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En su hospital deciden probar un adminículo que determina la glucemia de manera incruenta en el lecho 
subungueal. El paciente sólo debe introducir en el mismo un dedo de la mano y en 3 segundos aparece en 
una pequeña pantalla el nivel de la glucemia en mg%. 
Se resuelve hacer un control con personas a los cuales se les determinará la glucemia por métodos 
tradicionales. Se planifica aparear para comparar, es decir cotejar el par de datos obtenidos en el 
mismo paciente, uno con el aparato de marras y otro suministrado por el laboratorio. En el laboratorio del 
hospital se realizan más de 300 glucemias