Mate2 (Algebra2)_6aEd_09

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Un conocimiento profundo de las cosas no la obtendremos ni ahora ni nunca, en tanto que no las 
contemplemos en su crecer desde el principio.
 Aristóteles
Unidad 9
Desigualdades en una variable 
 Parte I
 Objetivos:
 notación de conjuntos o notación de intervalos.
ÁLGEBRA
311
Introducción
R ecordemos las relaciones de orden entre los números reales; un número a es mayor que un número b, o que un número b es menor que un número a, si a – b > 0. Sin embargo, en ocasiones nos interesa determinar cuáles son los números que son mayores o menores 
que uno dado, por ejemplo: ¿cuáles son los números menores que 5?, o ¿cuáles son los números 
que al multiplicarlos por 7 y sumarles 1 son mayores que 38? o ¿cuáles son los números cuyo 
cuadrado es menor que 675? Todas estas preguntas al expresarse algebraicamente dan lugar a lo 
que conocemos como desigualdades en una variable.
En esta unidad estudiaremos cómo resolver este tipo de desigualdades, pero para poder 
hacerlo es necesario aclarar algunos conceptos básicos.
9.1. Intervalos y su notación 
Empezaremos por recordar el significado de los símbolos de las relaciones de orden.
Si a y b son números reales, entonces:
a b significa que a es mayor o igual que b.
a b significa que a es menor o igual que b.
a b significa que a es mayor que b, pero no igual.
a b significa que a es menor que b, pero no igual.
Veamos algunos ejemplos.
Ejemplos:
1. ¿Cuáles son los elementos del conjunto A= { x :x es un entero positivo y x < 7} ?
A= { 1, 2, 3, 4, 5, 6}
2. ¿Cuáles son los elementos del conjunto B= { x:x es un número par y x } ?
B= { 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42,...}
3. ¿Cuáles son los elementos del conjunto C= { x:x es un entero primo y x } ?
C= { 2, 3, 5, 7, 11, 13}
4. ¿Cuáles son los elementos del conjunto D= { x:x es un entero y 5 < x } ?
D= { 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17}
Pero qué pasa si consideramos conjuntos como A= { x:x es un número real y 5 < x 17} , 
ó B= { x:x es un número real y 6 x < 37} , ó C= { x:x es un número real y –3 x 1} , ó 
Unidad 9
312
D= {x : x es un número real y 25 < x } , ó E= { x : x es un número real y x > 7} , ó F= { x : x es 
un número real y x –9} , ó G= { x : x es un número real y x – 341 } , ó H = { x : x es un número 
real y x < } .
Sabemos cuáles son sus elementos, pero no podemos expresarlos en forma de extensión porque 
no es posible escribirlos uno a uno bajo ninguna secuencia. Sin embargo, existe un tipo de notación 
que nos ayudará a representar de una manera más corta este tipo de conjuntos. La notación a la que 
nos referimos es la de intervalo . Existen varias clases de intervalos, una para cada uno de los tipos de 
conjuntos que mencionamos arriba. A continuación, damos la definición de cada una de ellas. 
Un intervalo cerrado es un conjunto de números reales de la forma A= { x : a x b} , en 
donde a b. Simbólicamente el conjunto A se representa por [a, b] .
a y b se llaman extremos del intervalo.
Un intervalo cerrado incluye entre sus elementos a los dos extremos.
 
Ejemplo:
5. M = { x : –2 x 5}
–2 M y 5 M. El conjunto M es el intervalo cerrado [–2, 5] .
Un intervalo abierto es un conjunto de números reales de la forma A= { x : a x b} , en 
donde a < b. Simbólicamente el conjunto A se representa por (a, b).
a y b se llaman extremos del intervalo .
Un intervalo abierto no incluye entre sus elementos a ninguno de sus extremos.
 Ejemplo: 
 6. M = { x : 12 x 25}
 12 M y 25 M. El conjunto M es el intervalo abierto (12, 25).
Un intervalo semiabierto o semicerrado es un conjunto de números reales de la forma 
A= { x : a x b} , ó B= { x : a x b} ,
en donde a < b. 
Simbólicamente los conjuntos A y B se representan por a, b)(semiabierto por la derecha) y 
(a, b (semiabierto por la izquierda) respectivamente.
a y b se llaman extremos del intervalo.
Un intervalo semiabierto o semicerrado incluye entre sus elementos a uno y sólo uno de 
sus extremos.
ÁLGEBRA
313
Ejemplos:
7. M = { x : –6 x 15}
–6 M y 15 M. El conjunto M es el intervalo semiabierto o semicerrado [–6, 15).
8. M = { x : 8 x 12}
8 M y 12 M. El conjunto M es el intervalo semiabierto o semicerrado (8, 12] .
N otas: 
1. A partir de este momento a los intervalos de la forma (a, b] ó [a, b), en donde a a < b los 
llamaremos intervalos semiabiertos.
2. En esta unidad, y a menos que se indique lo contrario, si en un conjunto no se especifica 
el tipo de sus elementos, se sobreentenderá que éstos son números reales.
I ntervalos especiales abiertos o semiabiertos
Recuerda que el símbolo significa "infinito". Si este símbolo va precedido de un signo más 
(+ ) indica que los valores de la variable son positivos y crecen indefinidamente. Si el símbolo 
 va precedido por un signo menos (– ), indica que los valores de la variable son negativos y 
decrecen indefinidamente. Siguiendo estas ideas tenemos los siguientes intervalos especiales:
i. El conjunto A= { x : x < a} se representa por el intervalo (– , a).
ii. El conjunto A= { x : x a} se representa por el intervalo (– , a] .
iii. El conjunto A= { x : x > a} se representa por el intervalo (a, + ).
iv. El conjunto A= { x : x a} se representa por el intervalo [a, + ).
 
Ejercicio 1
1. Escribe el intervalo que representa al conjunto A = { x : –3 x < 5}
2. Escribe el intervalo que representa al conjunto A = { x : 4 < x 12}
3. Escribe el intervalo que representa al conjunto A = { x : x 5}
4. Escribe el conjunto que representa al intervalo [–3, 4]
Unidad 9
314
5. Escribe el conjunto que representa al intervalo ( 1
2
, ).
6. Escribe el conjunto que representa al intervalo (16, 18].
 
9.1.1. Representación de intervalos en la recta numérica
La representación de un intervalo en la recta numérica tiene las siguientes "reglas":
Sean a y b números reales tales que a < b.
La representación gráfica del intervalo cerrado [a, b] es un segmento de recta con sus 
extremos rellenos. Ver figura 1.
Figura 1
La representación gráfica del intervalo abierto (a, b) es un segmento de recta con sus extremos 
sin rellenar. Ver figura 2.
Figura 2
La representación gráfica del intervalo semiabierto (a, b] es un segmento de recta con su 
extremo izquierdo sin rellenar y su extremo derecho relleno. Ver figura 3.
Figura 3
a b
a b
a b
ÁLGEBRA
315
La representación gráfica del intervalo semiabierto [a, b) es un segmento de recta con su 
extremo izquierdo relleno y su extremo derecho sin rellenar. Ver figura 4.
Figura 4
La representación gráfica del intervalo (– , a) es un rayo que inicia en el punto a y apunta 
hacia la izquierda de la recta numérica, con su punto de inicio sin rellenar. Ver figura 5.
Figura 5
La representación gráfica del intervalo (– , a] es un rayo que inicia en el punto a y apunta 
hacia la izquierda de la recta numérica, con su punto de inicio relleno. Ver figura 6.
Figura 6
La representación gráfica del intervalo (a, + ) es un rayo que inicia en el punto a y apunta 
hacia la derecha de la recta numérica, con su punto de inicio sin rellenar. Ver figura 7.
Figura 7
La representación gráfica del intervalo [a, + ) es un rayo que inicia en el punto a y que 
apunta hacia la derecha de la recta numérica, con su punto de inicio relleno. Ver figura 8.
 
Figura 8
a b
a
a
a
a
Unidad 9
316
Ejemplos:
9. Grafica el intervalo cerrado [–2, 5] .
Figura 9
10. Grafica el intervalo semiabierto (2, 9] .
Figura 10
11. Grafica el intervalo ( 14
3
, + ).
 
Figura 11
12. Grafica el intervalo (– ,
5
7
] .
 
 
Figura 12
Ejercicio 2
Grafica los siguientes intervalos:
1. [–13, –2)
2. (0, 12)
–2 5
2 9
14
3
5
7
ÁLGEBRA
317
3. (– , –18]
4. (
3
4
, )
5. [
1
2
5, ]
9.2. Propiedades de las desigualdades
9.2.1. Propiedad de suma y resta
Consideremos la desigualdad 4 < 7. ¿Qué sucedería si sumamos el mismo número en ambos 
lados de la desigualdad? ¿Qué sucedería si restamosel mismo número en ambos lados de la desigualdad? 
¿Qué sucedería si realizamos esa suma y esa resta pero en una desigualdad como 7 > 4?
La respuesta en todos los casos es la misma: la desigualdad se sigue conservando, es decir, como 
4 < 7, entonces 4 + 3 < 7 + 3; 4 – 3 < 7 –3. Como 7 > 4, entonces 7 + 8 > 4 + 8; 7 – 8 > 4–8. 
¿Coincidencia? No. Ésta es la propiedad de suma y resta de las desigualdades:
Propiedad de suma y resta. 
Sean a, b y c números reales.
i. Si a< b, entonces a + c < b + c y si a> b, entonces a + c > b + c.
ii. Si a< b, entonces a – c < b – c y si a> b, entonces a – c > b – c. (9.1)
Si el símbolo < se reemplaza por y el símbolo > se reemplaza por la propiedad de suma 
y resta sigue siendo válida.
Ejemplos:
13. –6 > –9. Si sumamos 10 en ambos lados de la desigualdad obtenemos: –6 + 10 = 4 y 
– 9 + 10 = 1 , es decir: 4 > 1.
14. –3 < 7. Si restamos 6 en ambos lados de la desigualdad obtenemos: –3 – 6 = –9 y 
7 – 6 = 1, es decir: –9 < 1. La desigualdad se conserva.
Unidad 9
318
15. 18 < 
71
3
. Si sumamos 
5
6
 en ambos lados de la desigualdad obtenemos: 
18
5
6
113
6
71
3
5
6
147
6
 y , es decir: 
113
6
147
6
113
6
49
2
La desigualdad se conserva.
16. 
2
3
21
2
. Si restamos 3
4
 en ambos lados de la desigualdad, obtenemos:
2
3
3
4
8
12
9
12
17
12
21
2
3
4
45
4
135
12
 y , es decir: 
17
12
135
12
17
12
45
4
La desigualdad se conserva.
Ejercicio 3
1. Comprueba la propiedad de suma y resta al sumar 9 en ambos lados de la desigualdad –5 < –2. 
2. Comprueba la propiedad de suma y resta al restar 7 en ambos lados de la desigualdad –15 < 3. 
3. Comprueba la propiedad de suma y resta al sumar 2 en ambos lados de la desigualdad 
3
4
< 8. 
4. Comprueba la propiedad de suma y resta al restar 3
5
 en ambos lados de la desigualdad 
2
3
3
10
. 
5. Comprueba la propiedad de suma y resta al sumar 3
5
 en ambos lados de la desigualdad 
2
3
3
10
.
9.2.2. Propiedad de multiplicación y división
Consideremos la desigualdad 6 > 1. ¿Qué sucedería si multiplicamos por el mismo número 
en ambos lados de la desigualdad?, ¿qué sucedería si dividimos por el mismo número en ambos 
ÁLGEBRA
319
lados de la desigualdad?, ¿qué sucedería si realizamos esa multiplicación o esa división en una 
desigualdad como 1 < 6?
La respuesta no es tan sencilla como en el caso de la suma y de la resta. Veamos por qué:
Caso 1. M ultiplicación y división de una desigualda d por números positivos
Ejemplos:
17. Consideremos la desigualdad 10 > 3 y multipliquemos por 2 ambos lados; obtenemos: 
(10)(2)= 20 y (3)(2)= 6, es decir: 20 > 6.
La desigualdad se conserva.
18. Consideremos la desigualdad –2 < 7 y multipliquemos por 3
4
 ambos lados; obtenemos:
2
3
4
6
4
7
3
4
21
4
 y , es decir: 
6
4
21
4
.
La desigualdad se conserva.
19. Consideremos la desigualdad 
3
19
2
7
 y multipliquemos por 
5
2
 ambos lados; obtenemos:
3
19
5
2
15
38
2
7
5
2
10
14
20
 y 
228
, es decir: 
15
38
20
28
.
La desigualdad se preserva.
 
Si recordáramos que dividir una cantidad por un número a es equivalente a multiplicarla por 
el recíproco de a, podríamos evitarnos los ejemplos para el caso de la división de una desigualdad 
por un número positivo; sin embargo, te mostraremos algunos ejercicios de este tipo para enfatizar 
algunas ideas.
Ejemplos:
20. Consideremos la desigualdad 15 > 8 y dividamos por 3 ambos lados; obtenemos:
15 3
15
3
8 3
8
3
 y , es decir: 
15
3
8
3
. La desigualdad se preserva.
21. Consideremos la desigualdad –12 < 3 y dividamos entre 3
7
 ambos lados; obtenemos:
Unidad 9
320
12
3
7
12
3
7
12 7
3
28 3
3
7
3
3
 y 
77
3 7
3
7; es decir, –28 < 7.
La desigualdad se conserva.
22. Consideremos la desigualdad 
3
8
4
5
 y dividamos entre 
4
7
 ambos lados; obtenemos:
3
8
4
7
3
8
4
7
3 7
8 4
21
32
1105
160
 y
4
5
4
7
4
5
4
7
4 7
5 4
7
5
2244
160
,
 
es decir:
 
105
160
224
160
La desigualdad se conserva.
De la misma manera que en el caso de la propiedad de suma y resta, estos ejemplos nos 
muestran la siguiente propiedad:
Propiedad de multiplicación y división 
Caso 1. Por y entre números positivos
Sean a y b números reales arbitrarios y c un número real positivo. 
i. Si a < b, entonces ac < bc y si a > b, entonces ac > bc.
ii. Si a < b, entonces 
a
c
b
c
 y si a > b, entonces 
a
c
b
c
. (9.2)
Si el símbolo < se reemplaza por , y el símbolo > se reemplaza por , la propiedad de 
multiplicación y división para el caso 1 sigue siendo válida.
Ejercicio 4
1. Comprueba la propiedad de multiplicación y división para el caso 1, multiplicando por 7 ambos 
lados de la desigualdad –13 < –5.
2. Comprueba la propiedad de multiplicación y división para el caso 1, multiplicando por 
2
3
 ambos 
lados de la desigualdad 5
2
 > –7.
ÁLGEBRA
321
3. Comprueba la propiedad de multiplicación y división para el caso 1, dividiendo entre 8 ambos 
lados de la desigualdad –184 > –203.
4. Comprueba la propiedad de multiplicación y división para el caso 1, dividiendo entre 2
9
 ambos 
lados de la desigualdad –14 < 8.
5. Comprueba la propiedad de multiplicación y división para el caso 1, dividiendo entre 3
11
 ambos 
lados de la desigualdad 
6
5
32
3
.
Caso 2. M ultiplicación y división de una desigualda d por números negativos
Ejemplos:
23. Consideremos la desigualdad 11 > 5 y multipliquemos por –4 ambos lados; obtenemos:
(11)(–4)= –44 y (5)(–4) = –20, pero –44 < –20.
Observamos, que el sentido de la desigualdad se invierte.
24. Consideremos la desigualdad –6 < 3 y multipliquemos por 
2
3
 ambos lados; obtenemos:
 6
2
3
12
3
4 3
2
3
6
3
2 y , pero 4 > –2.
Observamos que el sentido de la desigualdad se invierte.
25. Consideremos la desigualdad 
3
19
2
7
 y multipliquemos por 
5
2
 ambos lados; 
obtenemos:
3
19
5
2
15
38
2
7
5
2
10
14
20
2
 y 
88
, pero 
15
38
20
28
.
Observamos que el sentido de la desigualdad se invierte.
 
Veamos ahora algunos ejemplos con división.
Unidad 9
322
26. Consideremos la desigualdad 22 > 17 y dividamos entre –4 ambos lados; obtenemos:
22 4
22
4
11
2
17 4
17
4
 y , pero 
22
4
17
4
.
Observamos que el sentido de la desigualdad se invierte.
27. Consideremos la desigualdad –6 < 11 y dividamos entre 
5
3
 ambos lados; obtenemos:
6
5
3
6
5
3
6 3
5
18
5
11
5
3
 y 
11
5
3
11 3
5
33
5
pero 
18
5
33
5
.
Observamos que el sentido de la desigualdad se invierte.
28. Consideremos la desigualdad 3
8
4
5
 y dividamos entre 
4
7
 ambos lados; obtenemos:
 
3
8
4
7
3
8
4
7
3 7
8 4
21
32
1005
160
4
5
4
7
4
5
4
7
4 7
 y 
55 4
7
5
224
160
pero 
105
160
224
160
.
Observamos que el sentido de la desigualdad se invierte.
De la misma manera que en los casos anteriores, estos ejemplos nos muestran la siguiente 
propiedad:
Propiedad de multiplicación y división
Caso 2. Por y entre números negativos
Sean a y b números reales arbitrarios y c un número real negativo. 
i. Si a < b, entonces ac > bc y si a > b, entonces ac < bc.
ii. Si a < b, entonces 
a
c
b
c
 y si a > b, entonces 
a
c
b
c
. (9.3)
Si el símbolo < se reemplaza por , y el símbolo > se reemplaza por , la propiedad de 
multiplicación y división para el caso 2 sigue siendo válida.
 
Ejercicio 5
1. Comprueba la propiedad de multiplicación y división para el caso 2, multiplicando por –4 ambos 
lados de la desigualdad –12 < –5.
ÁLGEBRA
323
2. Comprueba la propiedad de multiplicación y división para el caso 2, multiplicando por 3
2
 
ambos lados de la desigualdad 
9
4
6.
3. Comprueba la propiedad de multiplicación y división para el caso 2, dividiendo entre –5 ambos 
lados de la desigualdad –185 < –42.
4. Comprueba la propiedad de multiplicación y división para el caso 2, dividiendo entre 
2
9
 ambos 
lados de la desigualdad–14 < 8.
5. Comprueba la propiedad de multiplicación y división para el caso 2, dividiendo entre 
2
13
 ambos 
lados de la desigualdad 
5
6
22
3
.
9.2.3. Propiedad transitiva
Terminaremos esta sección con una propiedad sencilla, pero sumamente útil:
Propiedad transitiva 
Sean a, b y c números reales arbitrarios. 
i. Si a < b y b < c, entonces a < c. 
ii. Si a > b y b > c, entonces a > c. (9.4)
Si el símbolo < se reemplaza por , y el símbolo > se reemplaza por , la propiedad de 
transitividad sigue siendo válida.
Ejemplos:
29. 3 < 12 y 12 < 27 implican que 3 < 27.
30. –5 < 3 y 3 < 7 implican que –5 < 7.
31. –4 > –6 y –4 < 17 implican que –6 < 17.
Unidad 9
324
Cuando en un par de desigualdades se tiene la combinación < con ó > 
con , si es posible aplicar la propiedad transitiva, entonces la desigualdad 
que se mantiene es la estricta. Es decir, < con implica una desigualdad 
con < ; y > con implica una desigualdad con > .
Ejemplos:
32. –12 < –7 y –25 –12 implican que –25 < –7.
33. 
12
5
1
3
1
3
4
7
 y implican que: 
12
5
4
7
.
34. 
7
4
31
2
7
4
1
5
 y implican que: 
31
2
1
5
.
35. 
9
5
13
4
9
5
3
4
 y implican que: 
3
4
13
4
.
36. Aplica la propiedad 9.4 a las desigualdades 
3
5
6
5
17
2
6
5
 y .
Multiplicando por –1 la desigualdad 
17
2
6
5
, obtenemos: 
17
2
6
5
 (9.3)
 6
5
17
2
Considerando la desigualdad 
3
5
6
5
, obtenemos: 
3
5
6
5
6
5
17
2
 y 
Aplicando la propiedad 9.4: 
3
5
17
2
Si aplicamos la propiedad 9.2 la desigualdad resulta más clara.
Multiplicando por 10 ambos lados de la desigualdad 
3
5
17
2
3
5
10
17
2
10: (9.2)
 6 < 85
37. ¿Es posible aplicar la propiedad de transitividad a las desigualdades 
4
5
1
3
5
7
9
7
 y ?
Observa que en ambas desigualdades aparece un 5 y un 3. Trataremos de formar con ellos 
el término en común.
Consideremos la desigualdad 
4
5
1
3
.
Multiplicando por –5 ambos lados, obtenemos: 
4
5
5
1
3
5( ) ( ) (9.3)
 
 4
5
3
¿Es posible 
aplicar la 
propiedad 
transi t iva 
cuando 
las dos 
desigualdades 
no son 
estr ictas?
Cambia el sentido 
de la desigualdad
ÁLGEBRA
325
Multiplicando por 3 ambos lados, obtenemos: 4 3
5
3
3 (9.2)
 12 > 5
Dividiendo por 7 ambos lados, obtenemos: 
12
7
5
7
 (9.2) 
Considerando la desigualdad 
5
7
9
7
 obtenemos: 
5
7
9
7
12
7
5
7
 y 
 
12
7
5
7
5
7
9
7
 y 
A pesar de que hemos obtenido un término común no es posible 
aplicar la propiedad de transitividad debido a que los sentidos de las 
desigualdades son opuestos. Sin embargo, esto no significa que no 
exista alguna forma de aplicar la propiedad, por ejemplo: considera la 
desigualdad 
4
5
1
3
 y aplica las propiedades hasta obtener 
5
7
 en el 
lado izquierdo. Una de las implicaciones a las que puedes llegar es la 
desigualdad 
5
28
9
7
5
7
9.
Ejercicio 6
Aplica la propiedad de transitividad a cada uno de los siguientes pares de desigualdades:
1. 5 < 8 y 8
35
2
 
2. 2
3
4
3
4
5 y 
3. 
1
2
10
7
10
7
4
 y 
4. 
3
5
11
2
11
25
2
3
 y 
5. 
9
2
27
4
45
2
6 y 
Dadas dos 
desigualdades, 
¿siempre es 
posible aplicar 
la propiedad de 
transi t ividad?
Unidad 9
326
9.3. Solución de desigualdades lineales en una 
variable
En las unidades 3 y 4 estudiamos cuáles eran y cómo se resolvían las ecuaciones lineales con 
una variable. Recuerda que una ecuación de este tipo es una igualdad de la forma ax = b, en donde 
a y b son números reales. Una desigualdad lineal con una variable es una expresión muy parecida a 
una ecuación lineal de primer grado, sólo que en lugar del signo "igual" tiene uno de los símbolos 
de relación de orden: < , > , , .
Una desigualdad lineal en una variable es una expresión que tiene una de las siguientes 
formas:
i. ax < b, a y b números reales. 
ii. ax > b, a y b números reales.
iii. ax b, a y b números reales.
iv. ax b, a y b números reales.
Ejemplos:
38. –5x > 8 es una desigualdad lineal con una variable.
39. 
6
11
x –3 es una desigualdad lineal con una variable.
40. –6 –7x es una desigualdad lineal con una variable.
41. 2x2 > 9 no es una desigualdad lineal con una variable porque el exponente de la variable es 2.
42. –15x 13y no es una desigualdad lineal con una variable porque tiene dos variables.
Resolver una desigualdad significa encontrar todos los números que la 
satisfacen. 
Al conjunto que contiene todos los valores que satisfacen una desigualdad se le llama 
conjunto solución .
El conjunto solución de una desigualdad lineal en una variable puede darse como un conjunto, 
como un intervalo o gráficamente. Veamos algunos ejemplos.
43. Resuelve x + 6 < 8.
Aplicaremos las propiedades para "despejar" la variable.
Restando 6 en ambos lados de la desigualdad, obtenemos: x + 6 – 6 < 8 – 6
resolver una 
desigualdad?
ÁLGEBRA
327
Efectuando las operaciones: x < 2
Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad x + 6 < 8 es: S = { x: x < 2} . Con 
notación de intervalo tenemos que el conjunto solución es (– , 2) y gráficamente:
Figura 13
44. Resuelve: 2x – 7 5 + x.
Sumando 7 en ambos lados de la desigualdad, obtenemos: 2x – 7 + 7 5 + x + 7
Efectuando las operaciones: 2x 12 + x
Restando x en ambos lados de la desigualdad: 2x – x 12 + x – x
Efectuando operaciones: x 12 
Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad 2x – 7 5 + x es: S = { x : x 12} . Con 
notación de intervalo tenemos que el conjunto solución es: (– , 12] ; gráficamente:
Figura 14
45. Resuelve: –5(x – 11) + x > 7 (1 – 2x).
Efectuando operaciones: –5x + 55 + x > 7 – 14x
 –4x + 55 > 7 – 14x
Restando 55 en ambos lados de la desigualdad, obtenemos: –4x + 55 – 55 > 7 – 14x – 55
Efectuando las operaciones: –4x > – 14x – 48
Sumando 14x en ambos lados de la desigualdad: –4x + 14x > –14x – 48 + 14x
Efectuando operaciones: 10x > –48 
Dividiendo entre 10 ambos lados de la desigualdad: 
10
10
48
10
x 
Simplificando: x
24
5
 
Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad –5(x – 11) + x > 7(1 – 2x) es: S = { x : x > 
24
5
} . Con notación de intervalo tenemos que el conjunto solución es:
24
5
, y gráficamente:
2
x
 12
x
Unidad 9
328
 
Figura 15
46. Resuelve: 
5
18
1
2
2x x .
Multiplicando ambos lados de la desigualdad por el MCM (2, 18) = 18, obtenemos: 
5
18
1
2
18 2 18x x
Efectuando operaciones: 
5
18
18
1
2
18 2 18x x
 5x – 9x –36
 – 4x –36
Dividiendo entre –4 ambos lados de la desigualdad: 
4
4
36
4
x 
Simplificando: x 9 
Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad 
5
18
1
2
2x x es: S = { x : x 9} . Con 
notación de intervalo tenemos que el conjunto solución es 9, + ) y gráficamente: 
Figura 16
47. Resuelve: 
5 1
2
6 2 1
5
3
2
x x
Multiplicando ambos lados de la desigualdad por el MCM(2,5)= 10, obtenemos:
5 1
2
6 2 1
5
10
3
2
10
x x
Efectuando operaciones: 
5 1
2
10
6 2 1
5
10
3
2
10
x x
 25(x – 1) –12(2x – 1) –15
 25x – 25 – 24x + 12 –15
 x – 13 –15
x
24
5
9
x
ÁLGEBRA
329
Sumando 13 en ambos lados de la desigualdad, obtenemos: x – 13 + 13 –15 + 13
Efectuando operaciones: x –2
Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad 
5 1
2
6 2 1
5
3
2
x x
 es: 
S = { x : x –2} . Con notación de intervalo tenemos que el conjunto solución es: (– –2 ; 
gráficamente:
Figura 17
Ejercicio 7
En cada uno de los siguientes ejercicios encuentra la solución en notación de conjuntos, en notación 
de intervalo y gráficamente.
1. 5
4
3
7
4
2
9
x x
2. 3(2x – 7) – 11(2 + 5x) < –2(x – 3)
3. 
3 4
2
5
3
4
x x
4. 2(2x – 1)–4(1 + x)2 < –(3 – 2x)2 
5. (3x – 5)(2x + 1) – (2 – 6x)(9 – x) 
7 3 4
5
x
–2
x
Unidad 9
330
Ejercicios resueltos
1. 
a) Escribe el intervalo que representa al conjunto A = { x : x 5} .
Solución. [5, + )
b) Escribe el intervalo que representa al conjunto A = { x : –3 x < 12} .
Solución. [–3, 12)
c) Escribe el conjunto que representa al intervalo [–2, 5).
Solución. A = { x : –2 x < 5}
d) Escribe el conjunto que representa al intervalo (–12, + ). 
Solución. A = { x : x –12}
2. 
a) Grafica el intervalo [5, + ).
Figura 18
b) Grafica el intervalo [–3, 12). 
 
Figura 19
c) Grafica el intervalo 
1
2
7
4
, .
 
Figura 20
–1
 2
7
4
5
–3 12
ÁLGEBRA
331
d) Grafica el intervalo ,
5
2
.
Figura 21
3.
a) Comprueba la propiedad de suma y resta sumando 6 en ambos lados de la desigualdad –7 < –6 
–7 + 6 = –1 y –6 + 6 = 0, por lo tanto, es cierto que: –7 + 6 < –6 + 6.
b) Comprueba la propiedad de suma y resta restando 2
3
 en ambos lados de la desigualdad –5 
6
7
 
5
2
3
15
3
2
3
17
3
6
7
2
3
18
21
14
21
4
21
 y 
Por lo tanto es cierto que: 5
2
3
6
7
2
3
.
4.
a) Comprueba la propiedad de multiplicación y división multiplicando por 
3
5
 la desigualdad 5 > –
2
3
5
3
5
3
2
3
3
5
2
5
 y .
Por lo tanto, es cierto que: 3
2
5
.
b) Comprueba la propiedad de multiplicación y división multiplicando por 
2
7
 la desigualdad
8
3
5
2
 
 
8
3
2
7
16
21
5
2
2
7
5
7
 y .
Por lo tanto, es cierto que: 
16
21
5
7
.
c) Comprueba la propiedad de multiplicación y división dividiendo entre 
5
2
 la desigualdad 
2
7
15
2
 
2
7
5
2
2
7
5
2
2 2
7 5
4
35
 y 
15
2
5
2
15
2
5
2
15 2
2 55
3.
5
2
Cambia el sentido 
de la desigualdad
Unidad 9
332
Por lo tanto, es cierto que: 
4
35
3 .
5. 
a) Determina si –3 es elemento del conjunto solución de la desigualdad 
11
5
1
10
8
5
5
2
x x .
Sustituyendo x por –3 en la desigualdad, obtenemos: 
11
5
3
1
10
8
5
3
5
2
.
Efectuando operaciones: 
33
11
1
10
24
5
5
2
 
 
330 11
110
48 25
10 
 
319
110
73
10
Multiplicando por 110 ambos lados de la desigualdad, obtenemos:
 
319
110
110
73
10
110
Efectuando operaciones: –319 > –803
Como la desigualdad se satisface, –3 es elemento del conjunto solución de la desigualdad
11
5
1
10
8
5
5
2
x x
 
b) Determina si 2 es elemento del conjunto solución de la desigualdad (4x – 1)2 > (5x – 1)2 – (3x – 2)2
Sustituyendo x por 2 en la desigualdad, obtenemos: (4(2) – 1)2 > (5(2) – 1)2 – (3(2) – 2)2
Efectuando operaciones: 72 > 92 – 42
 49 > 81 – 16
Sumando 16 en ambos lados de la desigualdad, obtenemos: 49 + 16 > 81 – 16 + 16.
Efectuando operaciones: 65 > 81. Falso.
Como no se satisface la desigualdad concluimos que 2 no es elemento del conjunto solución 
de la desigualdad (4x – 1)2 > (5x – 1)2 – (3x – 2)2.
 
6. Resuelve: 
3
7
2 2
4 36
9
x
x
.
Cambia el sentido 
de la desigualdad
ÁLGEBRA
333
Multiplicando por el MCM (7, 9) = 63, obtenemos: 
3
7
2 63 2
4 36
9
63x
x
Efectuando operaciones: 27x – 126 126 + 7(4x – 36)
 27x – 126 126 + 28x – 252
 27x – 126 28x – 126
Sumando 126 en ambos lados de la desigualdad: 27x – 126 28x – 126 + 126
Efectuando operaciones: 27x 28x 
Restando 28x en ambos lados de la desigualdad: 27x – 28x 28x – 28x
Efectuando operaciones: –1x 0
Dividiendo entre –1 ambos lados: 
1
1
0
1
x
Simplificando: x 0
Por lo tanto, el intervalo de solución de la desigualdad 
3
7
2 2
4 36
9
x
x
 es: (– .
7. Resuelve: 2 6
4 2 4
3
x
x
.
Multiplicando por 3 ambos lados de la desigualdad, obtenemos:
 
 
2 6 3
4 2 4
3
3x
x
Efectuando operaciones: 6 – 3x – 18 4 + 8 – 2x
 –3x – 12 12 – 2x
Sumando 12 en ambos lados de la desigualdad: –3x – 12 + 12 12 – 2x + 12
Efectuando operaciones: –3x 24 – 2x
Sumando 2x en ambos lados de la desigualdad: –3x + 2x 24 – 2x + 2x
Efectuando operaciones: –x 24
Multiplicando por –1 ambos lados de la desigualdad: x –24
Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad 2 6
4 2 4
3
x
x
 es:
 A = { x : x –24}
8. Resuelve: 3 1
2
3
3 9 2 0x x x x .
Multiplicando por 3 ambos lados de la desigualdad: 
 
3 1
2
3
3 9 2 3 0 3x x x x
Unidad 9
334
 Efectuando operaciones: 3 1
2
3
3 3 9 2 3 0x x x x
 3 1 3 2 3 9 2 3 0x x x x
 9 3 2 9 18 27 54 0
2 2x x x x x
 42 56 0x
 Sumando 56 en ambos lados de la desigualdad: 42 56 56 0 56x 
 Efectuando operaciones: 42x < 56
 Dividiendo por 42 ambos lados de la desigualdad: 
42
42
56
42
x
 Simplificando: x
4
3
 
 Por lo tanto, la gráfica del conjunto solución de la desigualdad
 3 1
2
3
3 9 2 0x x x x es:
Figura 22
9. Resuelve: (2 – x)2 – (3 + x)2 – 3x > 2(x – 1).
Efectuando operaciones: 4 – 4x + x2 – 9 – 6x – x2 – 3x > 2x – 2
 – 13x – 5 > 2x – 2
Sumando 5 en ambos lados de la desigualdad: – 13x – 5 + 5 > 2x – 2 + 5
Efectuando operaciones: – 13x > 2x + 3
Restando 2x en ambos lados de la desigualdad: – 13x – 2x > 2x + 3 –2x
Efectuando operaciones: – 15x > 3
Dividiendo entre –15 ambos lados de la desigualdad: 
15
15
3
15
x
Efectuando operaciones: x
1
5
Por lo tanto, el intervalo solución de la desigualdad (2 – x)2 – (3 + x)2 – 3x > 2(x – 1) es:
,
1
5
4
3
x
ÁLGEBRA
335
10. Resuelve: 
3 15 6 38
6
7
7
2
2 3
x
x .
Multiplicando por el MCM (6, 2) = 6, obtenemos:
3 15 6 38
6
7 6
7
2
2 3 6
x
x
Efectuando operaciones: 3(15x + 6)+ 38 + 42 21 + 12x + 36
 45x + 98 12x + 57 
Restando 98 en ambos lados de la desigualdad: 45x + 98 – 98 12x + 57 – 98
Efectuando operaciones: 45x 12x – 41
Restando 12x en ambos lados de la desigualdad: 45x – 12x 12x – 41 – 12x
Efectuando operaciones: 33x –41
Dividiendo entre 33 ambos lados de la desigualdad: 
33
33
41
33
x 
Simplificando: x
41
33
 
Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad 
3 15 6 38
6
7
7
2
2 3
x
x es:
A = x x:
41
33
Unidad 9
336
Ejercicios propuestos
1. 
a) Escribe el intervalo que representa al conjunto A = { x : x –15} .
b) Expresa con notación de intervalo la gráfica:
 
Figura 23
c) Expresa con notación de conjuntos la gráfica:
Figura 24
2. Grafica el intervalo (– , 25] .
3. Comprueba la propiedad de suma y resta, restando 
5
3
 en ambos lados de la desigualdad 
3
4
6
7
.
. 
4. Comprueba la propiedad de multiplicación y división, dividiendo entre 3
2
3 la desigualdad 
2
5
15
7
.
5. Determina si –2 es elemento del conjunto solución de la desigualdad 
1
3
2
7
8
7
5
3
x x .
6. Resuelve: 
7
3
2
5
2
3 35
9
x
x
7. Resuelve: 2
6
4
4 2 4
3
7
12
x x
–3
 4
1
3
7
4
ÁLGEBRA
337
Autoevaluación
1. Aplica la propiedad de transitividad a las desigualdades 
3
4
7
15
1
3
4
5
 y .
a) 
4
5
9
7
b) No es posible.
c) 
5
28
7
15
 
d) 
3
4
7
36
 
e) 
4
15
5
18
2. 5x – (3 – 2x) + 1 –2(x – 1) + 4
a) A = x x:
3
8
 
b) A = x x:
8
9
 
c) A = x x:
8
9
 
d) A = x x:
3
8
 
e) A = x x:
9
8
3. 
3 2
4
5
2
1
7
3
3
4
x
x
x
a) 
31
17
, 
b) 3
17
, 
c) 
31
17
, 
d) 
3
17
, 
e) ,
31
17
Unidad 9
338
4. 
5 8
4
3
2
6 3
7
1
28
x x x
a) A = x x:
109
73
 
b) A = x x:
109
73
 
c) A = x x:
109
73
d) A = x x:
19
28
 
e) A = x x:
19
28
5. 
5 2 3
2
4
3
2 7 5
3
2
x x x x x
a) ,
20
37
 
b) 
20
37
, 
c) ,
0
37
d) 
2
37
, 
e) 
20
37
,
ÁLGEBRA
339
Respuestas a los ejercicios
1. [–3, 5) 
2. (4, 12] 
3. (– , 5) 
4. A = { x : –3 x 4} 
5. A = { x : x 
1
2
} 
6. A = { x : 16 x 18}
1. 2. 
3. 4.
5.
1. 4 < 7 
2. –22 < –4 
3. 
11
4
10 
4. 
19
15
3
10
5. 
19
15
3
10
Ej. 1
Ej. 2
Ej. 3
–13 –2
–18
512
 0 12
3
4
Unidad 9
340
1. –91 < –35 
2. 
5
3
14
3
3. 23
203
8
 
4. –63 < 36 
5. 
22
5
352
9
198
45
1760
45
1. 48 > 20 
2. 
27
8
9
3. 37
42
5
4. 63 > –36 
5. 
65
12
143
3
1. 5
35
2
 (la respuesta no es única)
2. –2 < 5 (la respuesta no es única)
3. 
1
2
1
4
 (la respuesta no es única)
4. 
3
5
25
3
 (la respuesta no es única)
5. 
27
4
6
5
 (la respuesta no es única)
Ej. 4
Ej. 5
Ej. 6
ÁLGEBRA
341
Ej. 7
Ejercicios propuestos
1. A = x x: ; ,
172
15
172
15
2. A = x x: ; ,
49
47
49
47
3. A = x x: ; ,
2
11
2
11
4. A = x x: ; ,
3
16
3
16
5. A = x x: ; ,
143
266
143
266
1. 
a) (– , –15) 
b) 
3
4
,
c) A = { x : 
1
3
< x < 
7
4
}
2.
 
3. 
29
12
17
21
609 204
4.
 
6
55
45
77
462 2 475
5. Sí.
172
 15
x
x
49
47
x
2
11
 3
16
x
143
266
x
 25
Unidad 9
342
6. A = { x : x 
67
90
}
7. ,
49
5
1. a) 
2. b) 
3. a) 
4. b) 
5. c) 
Autoevaluación