1M-Matematica-Semana-26

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COLEGIO SAINT MAURICE’S 
Cerrillos 
Av. El Mirador #1543 – Fono 22 533 19 32 
Departamento de Matemática 
 
Profesora Paula Astorga Gálvez 
Nivel educativo 
 
1º medio 
 
1° medio – Matemática 
Enseñanza a distancia 26ª sesión 
Semana del 12 al 16 de octubre 
 
GUÍA: Productos notables – Cuadrado de binomio y cubo de binomio 
 
 
Objetivo: Desarrollar los productos notables de cuadrado de binomio y cubo de binomio de manera concreta, 
pictórica y simbólica. 
 
 
Indicaciones: 
 
- En esta guía comenzaremos a ver algunos productos notables ocupados en matemática, principalmente en 
álgebra. Empezaremos haciendo un repaso de contenidos importantes vistos en años anteriores y luego 
se desarrollarán los productos notables de cuadrado de binomio y cubo de binomio. Finalmente, realiza los 
ejercicios de la sección “Ahora tú”. 
 
- Trata de usar tu calculadora solo para comprobar o hacer cálculos complejos. 
 
- Consultas, dudas y resolución de los ejercicios para su revisión deben ser enviadas al correo 
profe.pastorga.sm@gmail.com hasta el martes 20 de octubre. 
 
- La resolución puede ser mandada como fotos o escaneo de hojas de cuaderno o de la guía impresa, como 
archivo Word o PDF, etc. En el asunto del correo, pon tu nombre, curso y asignatura. 
 
- El horario de atención de consultas y dudas es de lunes a viernes, de 8:30 a 16:30 hrs. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
mailto:profe.pastorga.sm@gmail.com
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Productos notables 
 
Los productos notables son multiplicaciones comunes ocupadas frecuentemente en matemática que cumplen 
con ciertas reglas y que tienen como resultado una estructura especial que no necesita ser verificada una vez 
que se desarrolla. Generalmente se usan en álgebra. 
 
Hay varios productos notables. En 8° básico se estudiaron algunos, que este año recordaremos y 
complementaremos con más contenidos. 
 
Antes de avanzar es importante repasar algunos aspectos importantes del álgebra que nos permitirán entender 
mejor los productos notables. 
 
 
• Término algebraico 
 
Un término algebraico se compone por un coeficiente numérico (un número) y un factor literal (una incógnita, 
generalmente representada por letras). 
 
Ejemplo 1: 
2
7
𝑚 
 
Coeficiente numérico: 2/7 
Factor literal: m 
Ejemplo 2: 
 
–8xy 
 
Coeficiente numérico: –8 
Factor literal: xy 
Ejemplo 3: 
 
–PQR3 
 
Coeficiente numérico: –1 
Factor literal: PQR3 
 
 
Importante: cuando un término algebraico no presenta un coeficiente numérico visible, este en realidad 
corresponde a un 1. 
 
 
 
• Expresión algebraica 
 
Cuando tenemos varios térmicos algebraicos unidos por sumas o restas, se forma una expresión algebraica. 
Dependiendo la cantidad de términos que tenga la expresión, se llaman de distintas maneras: 
 
 
Cantidad de términos Nombre de la expresión Ejemplo 
Un término Monomio 80pq 
Dos términos Binomio 80pq + 3d 
Tres términos Trinomio 80pq + 3p – 14n 
Tres o más términos Polinomio 80pq + 3p – 14n + kv 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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• Reducción de términos semejantes 
 
Para poder reducir una expresión algebraica, debemos sumar (o restar) los términos que tengan el mismo factor 
literal (exactamente las mismas letras). 
 
Ejemplos: reduce las siguientes expresiones algebraicas. 
 
1. 8m + 7q – 13m + 2q + 3mq 
 
 
8m – 13m + 7q + 2q + 3mq 
 
 
–5m + 9q + 3mq 
 
 
En este caso podemos identificar tres factores literales distintos: m, q 
y mq. Podemos reordenar nuestra expresión juntando las mismas 
letras (incluyendo sus coeficientes numéricos) y proceder a hacer las 
sumas o restas. 
 
 
Esta expresión es la final, pues esos términos no se pueden sumar ni 
restar entre ellos. 
 
2. –3a –12b + 20c –b + 5a 
 
–3a + 5a –12b –b + 20c 
 
–2a –13b + 20c 
 
 
 
• Multiplicación de términos algebraicos 
 
Para multiplicar términos algebraicos no es necesario que los factores literales sean iguales, basta con 
multiplicar los coeficientes numéricos entre sí y los factores literales entre ellos. 
 
Ejemplos: multiplica los términos algebraicos. 
 
1. 6 𝑚3 𝑥2 ∙ 3 𝑚4 
 
 
(6 ∙ 3) 𝑚3 𝑥2 𝑚4 
 
 
18 𝑚3 𝑥2 𝑚4 
 
 
18 ∙ 𝑚3 ∙ 𝑥2 ∙ 𝑚4 
 
 
 
𝟏𝟖 ∙ 𝒎𝟕 ∙ 𝒙𝟐 
En este caso, tenemos que multiplicar los coeficientes numéricos (6 y 3) y los 
factores literales. 
 
 
 
 
Importante: si entre las letras y los números no hay ningún signo de operatoria, 
corresponde a una multiplicación. Así, esta expresión se puede escribir como sigue: 
 
 
Podemos observar que los factores literales 𝑚3 y 𝑚4 tienen la misma base, por lo 
que podemos sumar sus exponentes gracias a las propiedades de las potencias, 
quedando como: 
 
 
Que sería el resultado final. 
 
 
2. −9 𝑥 𝑦5 ∙ 4 𝑥6 𝑦3 
 
(−9 ∙ 4) 𝑥 𝑦5 𝑥6 𝑦3 
 
−36 𝑥 𝑥6 𝑦5 𝑦3 
 
−𝟑𝟔 𝒙𝟕 𝒚𝟖 
 
 
3. 2𝑐 (5𝑑 − 8𝑐4) 
 
 
2𝑐 ∙ 5𝑑 + 2𝑐 ∙ −8𝑐4 
 
(2 ∙ 5)𝑐 𝑑 + (2 ∙ −8) 𝑐 𝑐4 
 
10 𝑐 𝑑 + −16 𝑐5 
 
𝟏𝟎𝒄𝒅 − 𝟏𝟔𝒄𝟓 
En este caso, aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación para resolver. 
El término 2𝑐 debe multiplicar a 5𝑑 y luego a −8𝑐4, como se muestra a continuación: 
 
 
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Producto notable: Cuadrado de binomio 
 
El área de un cuadrado de lado “𝑎” se puede expresar como “𝑎2”. Por ejemplo, un cuadrado de lado 3 tiene un 
área de 32, es decir, 9. 
 
Ahora bien, ¿qué ocurre si el lado del cuadrado mide (𝑎 + 𝑏)? Un cuadrado de estas características podría 
dibujarse como sigue: 
 
 
 
 
Fíjate que cada lado se puede escribir como (𝑎 + 𝑏). 
 
Dentro del cuadrado se forman dos más (naranjo y 
burdeo), cuyas áreas son 𝑎2 y 𝑏2. 
 
Además, se forman dos rectángulos (verde y celeste) de 
áreas 𝑏 ∙ 𝑎 y 𝑎 ∙ 𝑏. 
 
Si determinamos el área de este cuadrado de lado (𝑎 + 𝑏), obtendríamos lo siguiente: 
 
 
(𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 + 𝑏) 
= 𝑎 ∙ (𝑎 + 𝑏) + 𝑏 ∙ (𝑎 + 𝑏) 
= 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑎 + 𝑏2 
= 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏2 
= 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 
Se aplica la propiedad distributiva. 
Multiplicamos. 
Reordenamos los términos con la propiedad conmutativa. 
Reducimos términos semejantes. 
 
La expresión anterior corresponde al área del cuadrado, que coincide con los términos expresados en el dibujo, 
y que además es el producto notable llamado cuadrado de binomio. 
 
 
El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término, más (o menos si el binomio es 
una diferencia) el doble del producto del primer por el segundo término, más el cuadrado del 
segundo término: 
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
 
 
Ejemplo: obtén la expresión extendida de (4𝑚 − 3𝑝)2. 
 
Como se trata de un cuadrado de binomio, podemos aplicar el producto notable anterior siguiendo su estructura: 
 
(4𝑚 − 3𝑝)2 = (4𝑚)2 − 2 ∙ (4𝑚) ∙ (3𝑝) + (3𝑝)2 
= 16𝑚2 − 2 ∙ (4𝑚) ∙ (3𝑝) + 9𝑝2 
= 16𝑚2 − (2 ∙ 4 ∙ 3)𝑚 𝑝 + 9𝑝2 
= 16𝑚2 − 24𝑚𝑝 + 9𝑝2 
Aplicamos el producto notable. 
Desarrolla las potencias. 
Resuelve la parte central. 
 
Finalmente, tenemos que (4𝑚 − 3𝑝)2 = 16𝑚2 − 24𝑚𝑝 + 9𝑝2. 
 
 
 
 
 
 
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Producto notable: Cubo de binomio 
 
Si tenemos un cubo de lado “𝑎”, su volumen se puede expresar como “𝑎3”. Por ejemplo, un cubo de lado 4 tiene 
un volumen de 43, es decir, 64. 
 
Entonces, si tenemos un cubo de lado (𝑎 + 𝑏), su volumen será (𝑎 + 𝑏)3 que, si desarrollamos, queda como 
sigue: 
 
 
(𝑎 + 𝑏)3 = (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 + 𝑏) 
= (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2) 
= 𝑎 ∙ 𝑎2 + 𝑎 ∙ 2𝑎𝑏 + 𝑎 ∙ 𝑏2 + 𝑏 ∙ 𝑎2 + 𝑏 ∙ 2𝑎𝑏 + 𝑏 ∙ 𝑏2 
= 𝑎3 + 2𝑎2𝑏 + 𝑎𝑏2 + 𝑎2𝑏 + 2𝑎𝑏2 + 𝑏3 
= 𝑎3 + 2𝑎2𝑏 + 𝑎2𝑏 + 𝑎𝑏2 + 2𝑎𝑏2 + 𝑏3 
= 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 
Aplica el cuadrado de binomio. 
Aplica prop. Distributiva. 
Multiplica. 
Agrupa los términos semejantes. 
Reduce los términos semejantes. 
 
La expresión anterior representa el volumen de un cubo, y es el producto notable llamado cubo de binomio. 
 
 
El cubo de un binomio corresponde a la multiplicación de un binomio porsí mismo tres veces, y se 
representa como: (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 + 𝑏) = (𝑎 + 𝑏)3. Se tienen los siguientes casos: 
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 (𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3 
 
 
Se puede representar gráficamente el 
volumen de un cubo como sigue: 
 
 
Al descomponerlo en cubos y prismas más pequeños, se 
obtienen los siguientes cuerpos con sus respectivos volúmenes: 
 
 
 
Al sumar los volúmenes de cada cuerpo se obtiene el volumen del cubo original: 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3. 
 
 
Ejemplo: desarrolla la expresión (2𝑘 − 6)3. 
 
(2𝑘 − 6)3 = (2𝑘)3 − 3 ∙ (2𝑘)2 ∙ 6 + 3 ∙ (2𝑘) ∙ 62 − 63 
= 8𝑘3 − 3 ∙ 4𝑘2 ∙ 6 + 3 ∙ (2𝑘) ∙ 36 − 216 
= 8𝑘3 − (3 ∙ 4 ∙ 6) ∙ 𝑘2 + (3 ∙ 2 ∙ 36) ∙ 𝑘 − 216 
= 8𝑘3 − 72𝑘2 + 216𝑘 − 216 
Aplicamos el producto notable. 
Desarrolla las potencias. 
Resuelve las multiplicaciones. 
 
Como respuesta, tenemos que (2𝑘 − 6)3 = 8𝑘3 − 72𝑘2 + 216𝑘 − 216. 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
Ahora tú 
 
Resuelve los siguientes ejercicios aplicando los productos notables estudiados. 
 
 
1. Completa la siguiente tabla. 
 
𝒂 𝒃 (𝑎 + 𝑏)2 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 (𝑎 + 𝑏)3 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 
3 2 
1 5 
 
 
2. Calcula el cuadrado o cubo de binomio. 
Ejercicios obtenidos del libro de matemática, ítem 2, pág. 76. 
 
a) 
(4 + 1)2 
 
b) 
(2 − 𝑦)2 
 
c) 
(3𝑥 + 2𝑦2)3 
 
d) 
(4𝑧2 − 5𝑤3)3 
 
 
3. Completa cada recuadro. 
Ejercicios obtenidos del libro de matemática, ítem 3, pág. 76. 
 
a) 
( +3)2 = 𝑎2 + 6𝑎 + 
 
 
b) 
(3𝑎2 − 2𝑏)2 = −12𝑎2𝑏 + 
 
 
c) 
(2𝑎 + )3 = 8𝑎3 + +54𝑎𝑏2 + 
 
 
d) 
(5𝑥2 − 2𝑦3)3 = 125𝑥6 − +60𝑥2𝑦6 + 
 
 
 
4. Calcula el área del cuadrado y el volumen del cubo. 
Ejercicios obtenidos del libro de matemática, ítem 6, pág. 77. 
 
a) 
 
 
 
(
3
5
𝑥 + 2,1𝑦) 𝑐𝑚 
 
 
b) 
 
 
 
(2,5𝑎 + 0,2𝑏) 𝑚 
 
 
 
 
5. Resuelve el siguiente problema. 
Ejercicio obtenido del libro de matemática, ítem 8.a, pág. 77. 
 
Calcula el valor de 𝑎 + 𝑏, teniendo en cuenta que 𝑎2 + 𝑏2 = 58 y 𝑎 ∙ 𝑏 = 21.