Serie Universitaria - Álgebra Lineal

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Florencio Guzmán Aguilar
 
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ÁLGEBRA LINEAL
ÁLGEBRA LINEAL
Florencio Guzmán Aguilar
PRIMERA EDICIÓN EBOOK
MÉXICO, 2014
GRUPO EDITORIAL PATRIA
Dirección editorial: Javier Enrique Callejas
Coordinadora editorial: Estela Delfín Ramírez
Supervisor de prepensa: Gerardo Briones González
Diseño de interiores: Juan Bernardo Rosado Solís
Diseño de portada: Juan Bernardo Rosado Solís
Ilustraciones: Adrian Zamorategui Berber
Fotografías: © Thinkstockphoto
Revisión técnica: Alex Polo Velázquez
Álgebra lineal
Derechos reservados:
© 2014, Florencio Guzmán Aguilar
© 2014, GRUPO EDITORIAL PATRIA, S.A. DE C.V.
Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca,
Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana
Registro núm. 43
ISBN ebook: 978-607-438-891-6
Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente 
obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y 
por escrito del editor.
Impreso en México
Printed in Mexico
Primera edición ebook: 2014
v
PRÓLOGO
La ciencia y la tecnología han desempeñado, a lo largo de la historia, y desempeñan, en la actualidad, un papel 
fundamental en el desarrollo de la humanidad. La manera en la cual han contribuido éstas, ha sido modelando y 
describiendo los fenómenos propios de la naturaleza y los generados por la misma sociedad, a través de leyes, 
teorías, reglas, etcétera. Todas estas formas de interpretar y resolver la infinitud de problemas que se presentan 
en la vida cotidiana, en todas las áreas de las ciencias, tienen lugar mediante el uso de ecuaciones.
El término ecuación proviene del vocablo en latín aequatio, que significa igualdad. Por tanto, una ecuación 
representa o expresa, en su concepción más fundamental, la idea de un equilibrio perfecto. Las ecuaciones son, 
en principio, expresiones abstractas o representaciones simbólicas que se han consolidado como la herramienta 
matemática fundamental de la ciencia y la tecnología, porque con ellas los hombres han planteado y resuelto 
sus problemas a situaciones concretas, en todos los ámbitos de su quehacer cotidiano.
Una infinidad de estos problemas se modelan y resuelven utilizando ecuaciones lineales. Las ecuaciones 
lineales son de las más antiguas y de las más sencillas, matemáticamente hablando, pero esto no limita su apli-
cación a una inmensa variedad de problemas. Su uso se ha hecho común en situaciones tan amplias y variadas, 
que van desde el cálculo de cosechas en determinada área de terreno, hasta el cálculo de la trayectoria de 
un planeta o un satélite, el cálculo del crecimiento de una población, el cálculo de una reacción química o del 
presupuesto de un país, el análisis de señales o de la estabilidad de una estructura, etcétera.
Los babilonios y los egipcios fueron los primeros en plantear las ecuaciones lineales, entre los años 2000 y 
1500 a. C. Mientras que los chinos ya utilizaban sistemas de ecuaciones lineales hacia el año 400 a. C., y resol-
vían dichos sistemas utilizando una regla que, en la práctica, es el conocido método de eliminación de Gauss 
o de variables. Es precisamente C. F. Gauss quien primero tuvo conocimiento de estos escritos y, al describir 
el movimiento del asteroide Pallas, obtuvo un sistema de seis ecuaciones lineales con seis incógnitas. Cabe 
mencionar que los griegos no se interesaron a fondo en este tipo de problemas lineales, aunque sus desarrollos 
geométricos, claramente tienen un pensamiento lineal.
Los sistemas de ecuaciones lineales dieron origen a dos importantes conceptos matemáticos: los vectores 
y los espacios vectoriales, los cuales fueron desarrollados por J. R. D’Alambert, L. Euler, J. L. Lagrange y W. R. 
Hamilton, entre otros reconocidos matemáticos. Posteriormente, J. J. Silvestre definió el concepto de matriz y 
junto con A. Cayley desarrollaron el álgebra matricial, donde incluyen las transformaciones lineales y las formas 
cuadráticas, como casos particulares de esta teoría matricial. Por último, el matemático C. Jordan introdujo su 
forma canónica de Jordan.
La noción del determinante aparece con G. Leibniz, quien obtuvo un resultado que se conoce como la regla 
de Cramer. Otras contribuciones a este nuevo desarrollo matemático se deben a C. MacLaurin, G. Cramer, P. S. 
Laplace, Gauss, C. G. J. Jacobi, entre otros. Por su parte, A. L. Cauchy introdujo el concepto de determinante en 
el sentido que hoy conocemos y utilizamos, al igual que el término de ecuación característica y de valor propio 
asociado con una matriz cuadrada.
Todos los conceptos antes mencionados y todos aquellos desarrollados posteriormente están englobados 
y forman parte de un área de las matemáticas llamada: álgebra lineal. Como hemos visto, estas ideas han sido 
decisivas en muchas áreas del conocimiento del desarrollo humano.
El presente texto de Álgebra lineal aborda los principales temas de esta rama de las matemáticas, que ha 
enriquecido y se ha enriquecido de otras áreas, tanto al interior de las matemáticas como fuera de ellas. Diver-
sas áreas de las matemáticas, la física, la biología, la química, las ciencias sociales, etcétera, son el interés del 
álgebra lineal. Más recientemente, con la aparición de la computación y la informática, la tecnología también 
se ha visto beneficiada con los desarrollos de estos adelantos tecnológicos, en diversas áreas, como el diseño 
de estructuras, la robótica y el control, los códigos y la criptografía, entre otras. Por tanto, sobra mencionar la 
importancia de aprender y comprender la teoría del álgebra lineal.
Esta obra tiene como fundamento los cursos de álgebra lineal que se imparten a nivel superior en el área de 
ingeniería. A diferencia de otras obras, que contienen demasiado material extra (que en algunos casos no es 
necesario, o bien, no es posible tratarlo en los cursos por cuestiones de tiempo), este libro presenta los temas 
esenciales y necesarios para comprender, de una manera general, sin tantos tecnicismos teóricos, el álgebra 
lineal y poder aplicar estos conocimientos en la resolución de los problemas de la ingeniería.
vi
Contenido
En Álgebra lineal, la presentación de los temas se hace de una manera clara y práctica, mostrando los princi-
pales resultados del álgebra lineal de una forma natural, conforme se va desarrollando la teoría. El contenido se 
presenta en un lenguaje sencillo y comprensible, tal como el que emplea el profesor frente al grupo. La solución 
de los problemas resueltos que contiene el texto es totalmente explícita al mostrarse todos los pasos necesa-
rios para el proceso de solución del problema. En tanto, los problemas para resolver son representativos de los 
diversos temas que se abordan en el texto, y cuya solución implica el perfecto entendimiento y comprensión 
de la teoría.
El contenido está distribuido como se relaciona a continuación. En la unidad 1 se describe la estructura gene-
ral de una ecuación lineal y de un sistema de ecuaciones lineales, además de que se analizan los métodos para 
resolverlas, los tipos de solución que pueden presentar y la relación de éstas con la geometría. En la unidad 2 
se define el concepto de matriz y se desarrolla el álgebra matricial; se presenta el concepto del determinante 
como parte fundamental para resolver sistemas de ecuaciones lineales, con la regla de Cramer o con la matriz 
inversa. La estructura y propiedades de los espacios vectoriales se presentan en la unidad 3, donde la idea más 
importante son las bases de los espacios vectoriales,sus características y su construcción. En la unidad 4 se 
estudian las propiedades y características de las transformaciones lineales, cómo determinar la inversa de una 
transformación lineal y su representación matricial, también se detallan en esta unidad. Finalmente, en la unidad 
5, se describe el problema de los valores y los vectores propios o característicos, el proceso de diagonalizar 
matrices y, en particular, el uso de éstos en las formas cuadráticas y las secciones cónicas; por último, en esta 
unidad también se tratan las formas canónicas de Jordan y el teorema de Cayley-Hamilton.
vii
Grupo Editorial Patria©
AGRADECIMIENTOS
Al Instituto Politécnico Nacional (IPN) por proporcionarme las 
herramientas y la experiencia para poder realizar este trabajo; a la 
COFAA y al programa de EDD del mismo instituto.
Florencio Guzmán Aguilar.
México D. F., 2011.
viii
Contenido
Unidad 1 Sistemas de ecuaciones lineales 1
1.1 Introducción 2
1.2 Ecuación lineal 2
1.3 Sistemas de ecuaciones lineales 4
1.4 Aplicaciones de los sistemas de 
ecuaciones lineales 12
1.5 Aspectos geométricos de los sistemas de 
ecuaciones lineales 18
Problemas para resolver 23
Unidad 2 Matrices y determinantes 29
2.1 Introducción 30
2.2 Definición de matriz 30
2.3 Álgebra matricial 32
2.4 Representación matricial de un sistema de 
ecuaciones lineales 34
2.5 El determinante 38
2.6 Menores y cofactores 42
2.7 Propiedades de los determinantes 44
2.8 Regla de Cramer 48
2.9 Matriz inversa 51
2.10 Matriz transpuesta 54
2.11 Matriz adjunta 55
2.12 Método alterno para encontrar la matriz inversa 57
Problemas para resolver 60
CONTENIDO
ix
Grupo Editorial Patria©
Unidad 3 Espacios vectoriales 65
3.1 Espacios vectoriales 66
3.2 Subespacios vectoriales 67
3.3 Combinación lineal de vectores 69
3.4 Bases de espacios vectoriales 74
3.5 Matriz de cambio de base o de transición 78
3.6 Bases ortonormales 84
Problemas para resolver 91
Unidad 4 Transformaciones lineales 95
4.1 Transformaciones lineales 96
4.2 Núcleo o kernel de una transformación lineal 104
4.3 Imagen de transformaciones lineales 106
4.4 Representación matricial de una 
transformación lineal 110
Problemas para resolver 122
Unidad 5 Valores y vectores característicos 127
5.1 Valores y vectores característicos 128
5.2 Polinomio característico y ecuación característica 131
5.3 Diagonalización de matrices 134
5.4 Diagonalización de matrices simétricas 138
5.5 Formas cuadráticas y secciones cónicas 146
5.6 Forma canónica de Jordan 150
Problemas para resolver 154
UNIDAD 1
Sistemas de 
ecuaciones lineales
¿QUÉ SABES?
 ¿Cuáles son las ecuaciones más comunes para resolver problemas?
 ¿Qué posible solución puede tener una ecuación lineal?
 ¿Cuál es la relación de rectas y planos con las ecuaciones lineales?
 ¿Cuáles son las múltiples aplicaciones que tienen las ecuaciones lineales para resolver 
diversos problemas?
OBJETIVOS
 Determinar los tipos de solución que puede presentar una ecuación lineal.
 Comprender la estructura general de un sistema de ecuaciones lineales.
 Resolver los sistemas de ecuaciones lineales y analizar sus soluciones.
 Analizar las propiedades de los sistemas de ecuaciones lineales homogéneos.
 Plantear sistemas de ecuaciones lineales para resolver problemas cotidianos.
 Entender el significado geométrico en la solución de los sistemas de ecuaciones lineales.
2
UNIDAD Sistemas de ecuaciones lineales1
1.1 Introducción
La linealidad es un término que utilizamos de manera frecuente en casi todos los ámbitos de nuestras activi-
dades, debido a que, muchas veces, de manera inconsciente, lo usamos para describir situaciones sencillas 
o prácticas, o para simplificar un problema determinado. En efecto, el concepto lineal o de linealidad refleja 
uno de los comportamientos, en cualquier área del conocimiento, más simples y sencillos de estudiar, mode-
lar y resolver. Ya sea en ingeniería, biología, matemáticas, química, economía, física, etcétera, siempre surgen 
fenómenos o problemas que tienen un carácter o comportamiento lineal.
Todas estas situaciones de tipo lineal pueden ser representadas mediante ecuaciones lineales o sistemas 
de ecuaciones lineales de diversos tipos y características, lo que significa que, como se dijo antes, no por el 
hecho de describir problemas no muy complejos o complicados, sean de poco interés. Por el contrario, los 
resultados que se derivan de resolver ecuaciones o sistemas de ecuaciones lineales, tienen gran repercusión 
tanto en la parte algebraica como en la parte geométrica, desde su planteamiento, hasta su solución.
Para ejemplificar esta situación, supongamos que vamos a viajar a determinado 
estado del país; si consultamos un mapa de carreteras, podremos encontrar la dis-
tancia en kilómetros del punto de partida del viaje al punto destino. Dicha distancia 
constituye los kilómetros que tenemos que recorrer siguiendo la carretera, la cual tiene 
curvas, pendientes, desviaciones, etcétera. Pero, con toda seguridad, la distancia en 
línea recta del origen al destino del viaje es una cantidad menor que la que aparece 
en el mapa de carreteras. Con esta trayectoria recta, que es la más simple y sencilla de 
todas las posibles, estamos simplificando un recorrido real de viaje.
Ahora, supongamos que nuestro automóvil tiene un consumo promedio de 10 
kilómetros por litro de gasolina; esta relación entre la gasolina consumida por el 
automóvil y los kilómetros recorridos es lineal. Esto facilita determinar, entre otras 
cosas, cuántos kilómetros puede recorrer el automóvil con determinada cantidad de litros de gasolina; 
por ejemplo, con 10 litros de gasolina el auto puede recorrer 100 kilómetros de distancia. Si grafica-
mos ambos parámetros en un plano, donde uno de los ejes corresponda a los litros de gasolina y el otro 
a los kilómetros, el resultado será una línea recta. Sin embargo, la realidad es muy distinta, ya que el 
consumo de gasolina por kilómetros recorridos es una relación mucho más compleja, la cua depende de 
muchos otros factores.
Este tipo de relaciones lineales, aunque simples, se utilizan para modelar y resolver una infinidad de 
problemas y fenómenos en distintas áreas del conocimiento, por ejemplo, podemos aplicarlos en modelos 
de crecimiento poblacional, teoría de grafos, modelos de insumo-producto, circuitos eléctricos, reacciones 
químicas, ajustes de curvas, programación lineal, etcétera.
En esta primera unidad, se analizan la estructura general de una ecuación lineal y de un sistema de ecua-
ciones lineales, y con base en ésta se plantea su posible o posibles soluciones. Asimismo, se estudian las 
múltiples aplicaciones de estas ecuaciones lineales, al plantear y resolver problemas de diversos tipos. Por 
último, se relacionan las ecuaciones lineales con la geometría, ya que esta última disciplina nos permite vi-
sualizar gráficamente lo que algebraicamente estamos haciendo con las ecuaciones; además de que facilitan, 
la mayoría de las veces, la solución de éstas.
1.2 Ecuación lineal
Cuando se requiere resolver un problema, ya sea de tipo científico o de alguna aplicación tecnológica, en 
cualquier área de la ciencia, en algún momento, por lo general siempre está involucrada una ecuación lineal 
o un sistema de ecuaciones lineales. De allí la importancia de saber cómo plantear y resolver este tipo de 
ecuaciones, así como de entender sus soluciones.
Una ecuación es lineal si las variables que aparecen en ésta sólo son de primer orden o grado, si en ella 
no aparecen productos entre estas variables y si tampoco aparecen funciones o recíprocos de las variables. 
La forma más general de escribir una ecuación lineal con n variables es:
a1x1 1 a2x2 1 a3x3 1 … 1 anxn 5 b
donde las xi son las variables o incógnitas del sistema, las ai son números reales que llamaremos coeficientes 
asociados a las variables y el término b, llamado coeficiente o término independiente, también es un número 
real, en todos los casos i 5 1, 2, …, n. Engeneral, a los números reales se les llama escalares.
Una solución de una ecuación lineal es un conjunto de n números reales i, con i 5 1, 2, …, n, tales que 
satisfacen la siguiente igualdad:
a a a a bn n1 1 2 2 3 3 …
Alerta
El álgebra lineal se puede 
utilizar en la solución de 
problemas tan amplios 
como la distribución de las 
líneas de producción de una 
maquiladora, el presupuesto 
de un país, el cálculo de 
la órbita de un satélite 
artificial y el cálculo de la 
estabilidad estructural de un 
puente colgante en ingeniera 
civil, entre muchos otros 
casos del área de ingeniería.
Figura 1.1
Los ingenieros civiles utilizan 
las ecuaciones lineales al 
realizar los cálculos de los 
proyectos de construcción.
3
Grupo Editorial Patria©
Encontrar la solución para cada una de las siguientes ecuaciones lineales:
a) 4x 2 1 5 x 1 6,
b) 2x 2 5 2 x 5 x 1 3,
c) 4 + x 2 3 5 2x 1 1 2 x,
A continuación analizaremos las posibles soluciones que puede presentar una ecuación lineal, dependiendo 
del número de variables que contenga y del valor de sus coeficientes, las cuales, en general, presentan tres 
posibilidades cuando se resuelven. Comencemos por la ecuación lineal más sencilla.
Caso 1��
Ecuación lineal con una variable o incógnita ax 5 b.
Solución:
a) Si a fi 0 y b � R (b puede tomar cualquier valor real), entonces la solución es x b
a
= , se dice que el sistema 
tiene solución única.
b) Si a 5 0 y b fi 0, entonces obtenemos la ecuación 0 ∙ x 5 b, la cual no tiene solución, (no existe número 
real x, tal que multiplicado por cero resulte diferente de cero).
c) Si a 5 0 y b 5 0, entonces obtenemos la ecuación 0 ∙ x 5 0, que tiene una infinidad de soluciones (cual-
quier número real x satisface la igualdad).
Problema resuelto
a) Reescribimos la ecuación de la forma 3x 5 7, cuya solución es x =
7
3
.
 Por tanto, la ecuación tiene solución única.
b) Reescribimos la ecuación de la forma 0 ∙ x 5 8.
 Por tanto, la ecuación no tiene solución.
c) Reescribimos la ecuación de la forma 0 ∙ x 5 0.
 Cualquier número real es solución; por tanto, la ecuación tiene un número infinito de soluciones.
Caso 2��
Ecuación lineal con dos variables o incógnitas a1x1 1 a2x2 5 b
Solución:
Escribimos una de las variables de la ecuación en términos de la otra (no importa cuál de las dos, el resultado 
no se altera).
Pongamos a x1 en términos o en función de x2, esto es,
a x a x b a x b a x x
b
a
a
a
x a1 1 2 2 1 1 2 2 1
1
2
1
2 1+ = ⇒ = − ⇒ = −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
≠, 00,
a x2 se le llama parámetro libre, por lo cual puede tomar cualquier valor real, es decir,
x R2
así, x1 depende del parámetro libre y se obtiene sustituyendo el valor de x2, esto es,
x
b
a
a
a
b a
a1 1
2
1
2
1
Por tanto, la ecuación tiene un número infinito de soluciones, las cuales dependen del valor que tome el 
parámetro libre.
Solución
4
UNIDAD Sistemas de ecuaciones lineales1
Resolver la siguiente ecuación lineal: 3 12 6x y− = − .
Escribimos la variable x en términos de la variable y, esto es: 
3x ] 12y 5 ]6 � 3x 5 ]6 1 12y � x 5 ] 2 1 4y
Entonces, y es el parámetro libre y puede tomar cualquier valor
y 5 � R,
de manera que la variable x se escribe en términos de este parámetro como
y 5 ]2 1 4
Por tanto, la ecuación tiene un número infinito de soluciones generadas por los valores que le asignemos a . 
Para obtener soluciones particulares a la ecuación lineal sólo le damos valores al parámetro libre ; es decir,
 si 5 3 � y 5 3 y x 5 ]2 1 (4)(3) 5 10,
 si 5 ]1 � y 5 ]1 y x 5 ]2 1 (4)(]1) 5 ]6,
 si 5 0 � y 5 0 y x 5 ]2 1 (4)(0) 5 ]2.
Caso 3��
Ecuación lineal con tres variables o incógnitas a x a x a x b1 1 2 2 3 3+ + =
Solución: 
Escribimos una de las variables de la ecuación en términos de las dos restantes. Esto es:
a1x1 1 a2x2 1 a3x3 5 b � a1x1 5 b ] a2x2 1 a3x3 � 
2= −x
b
a
a
a1 1 1
 x2 
a
a
3
1
 x3, a1 fi 0
x2 y x3 son ahora los parámetros libres, que pueden tomar cualquier valor real. Esto es:
x R
x R
2
3
,
,
entonces, escribimos la variable x1 como función de estos parámetros libres
2x
b
a
a
a
a
a1 1 1
3
1
Por tanto, la ecuación tiene un número infinito de soluciones.
1.3 Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto finito de ecuaciones lineales, las cuales contienen a las mis-
mas variables o incógnitas, y la solución para las variables de una de las ecuaciones debe ser la misma para 
las restantes ecuaciones del conjunto. Es decir, la solución debe ser simultánea para todas las ecuaciones.
Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas o variables se representa de forma general como:
 
 
a x a x a x a x b
a x a x a x a
n n11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3
+ + + =
+ + +
…
… 22 2
31 1 32 2 33 3 3 3
1 1 2 2
n n
n n
m m
x b
a x a x a x a x b
a x a x
=
+ + + =
+
…
…
++ + =a x a x bm mn n m3 3…
 
en las que las xj son las variables o incógnitas del sistema, las aij son los coeficientes asociados a las variables y 
las bi son los coeficientes independientes. Donde i 5 1, 2, …, m indica el número de ecuaciones del sistema 
y j 5 1, 2, …, n proporciona el número de variables del sistema.
Una solución del sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de n números reales i, con i 5 1, 2, …, n, 
tales que satisfacen simultáneamente todas las ecuaciones del sistema. Al igual que para una sola ecuación 
Problema resuelto
Solución
Alerta
Cuando se resuelve una 
ecuación lineal:
1. Podemos considerar 
a cualquiera de las 
variables de la ecuación 
lineal como parámetros 
libres; esto no afectará la 
solución de la ecuación 
lineal.
2. Para obtener soluciones 
particulares de la 
ecuación lineal, sólo le 
damos valores específicos 
a los parámetros libres.
3. Las ecuaciones lineales 
de más de una variable 
siempre tendrán un 
número infinito de 
soluciones debido a los 
parámetros libres.
5
Grupo Editorial Patria©
lineal, un sistema de ecuaciones lineales, en general, puede tener solución única, un número infinito de so-
luciones o puede que no tenga solución.
Analicemos la manera de resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que corresponde al 
caso más sencillo de un sistema de ecuaciones lineales.
Caso 4��
Sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables o incógnitas
 a x a x b11 1 12 2 1+ = (1)
 a x a x b21 1 22 2 2+ = (2)
Solución:
a) Método de sustitución
Escribimos una de las variables, de cualquier ecuación, en términos de la otra y la sustituimos en la ecuación 
restante, con esto obtenemos una ecuación lineal de una sola variable. La elección de la ecuación y de la 
variable o incógnita es totalmente arbitraria.
De la ecuación (1) tenemos:
1 2a x a x b x
b
a
a
a
x11 1 12 2
1
12
11
12
1,
entonces, sustituimos x2 en la ecuación (2), de forma que:
a x a
b
a
a
a
x b a
a a
21 1 22
1
12
11
12
1 2 21
22 11
aa
x
a b
a
b
a a a a
a
12
1
22 1
12
2
21 12 11 22
12
x b
a b
a
b a a b
a
x
b a
1 2
22 1
12
2 12 22 1
12
1
2 12 a b
a a a a
22 1
21 12 11 22
Ahora, sustituyendo x1 en x2, tenemos:
x
b
a
a
a
b a a b
a a a a2
1
12
11
12
2 12 22 1
21 12 11 22
x
a
b
b a a b a a
a a a a2 12
1
2 11 12 1 11 22
21 12 11 2
1
22
2
12
1 21 12 1 11 22 2 11 121x
a
b a a b a a b a a b11 11 22
21 12 11 22 12
1 21 12 21a a
a a a a a
b a a b aa a
a a a a
x
a
a b a b
11 12
21 12 11 22
2
12
12 1 211 22 11
21 12 11 22
2
1 21 2 11
2
a
a a a a
x
b a b a
a 11 12 11 22a a a
b) Método de eliminación de variables
Otra manera de resolver el sistema de ecuaciones lineales es la siguiente:
Eliminamos cualquiera de las dos variables del sistema mediante operaciones; por ejemplo, multiplicar las 
ecuaciones por un escalar y sumar o restar ecuaciones.
Así, multiplicamos la ecuación (1) por a21 y la ecuación (2) por a11, para obtener:
 a a x a a x a b21 11 1 21 12 2 21 1+ = (3)
 a a x a a x a b11 21 1 11 22 2 11 2+ = (4)
Ahora, restamos la ecuación (4) de la ecuación (3), y la ecuación resultante la sustituimos por cualquiera de 
las dos anteriores, esto es:
 a a x a a xa b21 11 1 21 12 2 21 1+ = (5)
 a a a a x a b a b21 12 11 22 2 21 1 11 2−( ) = − (6)
donde la ecuación (6) sólo tiene una variable, de la cual podemos determinar su solución de forma directa. 
Así que:
x
a b a b
a a a a2
21 1 11 2
21 12 11 22
=
−
−
6
UNIDAD Sistemas de ecuaciones lineales1
De la misma forma, ahora multiplicamos la ecuación (1) por a22 y la ecuación (2) por a12,
 a a x a a x a b22 11 1 22 12 2 22 1+ = (7)
 a a x a a x a b12 21 1 12 22 2 12 2+ = (8)
Ahora restamos la ecuación (8) de la ecuación (7), y la ecuación resultante la sustituimos por cualquiera de 
las dos anteriores, esto es
 a a x a a x a b22 11 1 22 12 2 22 1+ = (9)
 a a a a x a b a b22 11 12 21 1 22 1 12 2−( ) = − (10)
de la ecuación (10) podemos encontrar el valor de la segunda variable:
x
a b a b
a a a a1
22 1 12 2
22 11 12 21
=
−
−
Las transformaciones u operaciones que se pueden aplicar a un sistema de ecuaciones lineales para obtener 
un sistema equivalente, es decir, que tenga el mismo conjunto solución, son:
a) Cambiar el orden de las ecuaciones lineales dentro del sistema.
b) Multiplicar una o varias ecuaciones por un escalar, distinto de cero.
c) Sumar o restar ecuaciones.
Método de Gauss o de eliminación de variables
Consiste en un algoritmo o procedimiento para obtener la solución de un sistema de ecuaciones lineales; en 
general, durante este proceso se eliminan variables de las ecuaciones que conforman el sistema. De manera 
que, al finalizar el procedimiento, en cada ecuación queda una sola variable, con su valor correspondiente, 
el cual nos dará la solución del sistema.
Apliquemos el método al siguiente sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas: 
a x a x a x a x b
a x a x a x
n n11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23
+ + + =
+ +
…
33 2 2
31 1 32 2 33 3 3 3
1
…
…
…
+ =
+ + + =
a x b
a x a x a x a x b
a
n n
n n
m xx a x a x a x bm m mn n m1 2 2 3 3+ + + =…
1. Se eliminaron todos los términos que contienen a los coeficientes ai1 con i 5 2, 3,…, m, utilizando el co-
eficiente a11 y las operaciones para obtener ecuaciones equivalentes.
2. En seguida, se eliminan los términos que contienen los coeficientes ai2 con i 5 3, 4,…, m, usando el coefi-
ciente a22 y aplicando las operaciones que sirven para obtener ecuaciones equivalentes.
3. Este procedimiento se repite hasta terminar con la ecuación que contiene al término con el coeficien-
te amm; entonces, resolvemos esa ecuación lineal para la o las variables correspondientes, xm o am1k con 
k 5 1, 2, 3,…, l, si el sistema tiene m ecuaciones con n 5 m 1 l, variables o incógnitas.
4. Una vez resuelta la última ecuación, hacemos una sustitución hacia atrás para obtener el valor de las va-
riables restantes.
La forma final del sistema de ecuaciones lineales, equivalente al sistema de ecuaciones lineales original, que 
se obtiene mediante este proceso, se conoce como forma escalonada, ya que todos los coeficientes aij 5 0 
para i . j, para el caso de un sistema con más variables que ecuaciones,
a x a x a x a x b
a x a x a
n n11 1 12 2 13 3 1 1
22 2 23 3
+ + + + =
+ + +
…
… 22 2
33 3 3 3
1 1
n n
n n
mn m m m
x b
a x a x b
a x a x a
=
+ + =
+ + ++ +
…
…
… mmn n mx b=
Si el sistema de ecuaciones lineales tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas o variables, 
m 5 n, entonces la última ecuación del sistema, después del proceso será:
a x bmn n m=
Alerta
Cuando resolvemos un 
sistema de ecuaciones 
lineales usando eliminación 
de variables:
1. Aplicamos las 
operaciones que se 
obtienen de sistemas 
de ecuaciones lineales 
equivalentes.
2. Los sistemas de 
ecuaciones lineales que 
se obtienen mediante 
las transformaciones 
son equivalentes, en el 
sentido de que todos ellos 
tienen el mismo conjunto 
solución.
3. Se requiere verificar que 
la solución es válida 
para todos los sistemas 
de ecuaciones lineales 
equivalentes.
7
Grupo Editorial Patria©
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
 x 1 2y 1 z 5 3 R1
 2x 1 5y ] z 5 ]4 R2
 3x ] 2y ] z 5 5 R3
Problema resuelto
Forma escalonada x 1 2y 1 z 5 3 x 1 2y 1 z 5 3
R2](2)R1 � R2 y ] 3z 5 ]10 y ] 3z 5 ]10
R3](3)R1 � R3 ]8y ] 4z 5 ]4 R31(8)R2 � R3 ]28z 5 ]84
R3 � z =
−
−
=84
28
3
R2 � y 5 ]10 1 3z 5 ]10 1 3(3) 5 ]1 � Solución única
R1 � x 5 3 ] 2y ] z 5 3 ] 2(]1) 5 2
Solución
Problema resuelto
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
 x1 1 x2 ] 2x3 1 4x4 5 5 R1
 2x1 1 2x2 ] 3x3 1 x4 5 3 R2
 3x1 1 3x2 ] 4x3 ] 2x4 5 1 R3
 x1 1 x2 ] 2x3 1 4x4 5 5
R2](2)R1 � R2 x3 ] 7x4 5 ]7
R3](3)R1 � R3 2x3 ] 14x4 5 ]14
 x1 1 x2 ] 2x3 1 4x4 5 5 � x1 1 x2 ] 2x3 1 4x4 5 5
 x3 ] 7x4 5 ]7 � x3 ] 7x4 5 ]7
R3](2)R2 � R3 0 5 0
 Forma escalonada
R2 � x3 5 ]7 1 7x4 � x R4 es un parámetro libre
 � x3 7 7
R1 � x1 5 5 ] x2 1 2x3 ] 4x4 � x R2 es un parámetro libre
 � x1 5 2 7 7 4( ) � x1 9 10 
 Soluciones infinitas
Solución
En caso de que alguno o algunos de los coeficientes aii, que son utilizados para eliminar los demás coeficien-
tes, sean iguales a cero, entonces podemos intercambiar filas para seguir con el proceso, o en su caso dejar 
la ecuación correspondiente como tal.
Para ilustrar el procedimiento del método de eliminación gaussiana o, simplemente, método de elimi-
nación de variables, resolveremos algunos ejemplos. En éstos se analizan los diversos casos que se pueden 
presentar, dependiendo del número de ecuaciones y de variables del sistema.
En adelante etiquetaremos a las ecuaciones como R1, R2, R3, etcétera, de manera que, (]1)R2 6 (5)R4 � 
R2, significa que estamos multiplicando a la ecuación dos por menos uno y le estamos sumando/restando 
cinco veces la ecuación cuatro, y la ecuación resultante de esta operación la sustituimos por la ecuación dos 
del sistema.
8
UNIDAD Sistemas de ecuaciones lineales1
Método de eliminación de Gauss-Jordan
El procedimiento de eliminación de variables se aplica como en el método anterior, pero en éste se elimi-
nan todos los coeficientes aij 5 0 para i fi j, si es posible. De manera que el sistema de ecuaciones lineales 
equivalente que se obtiene al final del proceso sólo contiene una variable por ecuación, excepto en la última 
ecuación del sistema, la cual puede contener más de una variable.
En el siguiente caso, aplicamos el algoritmo de Gauss-Jordan para resolver el siguiente sistema de m 
ecuaciones lineales con n incógnitas, 
a x a x a x a x b
a x a x a x
n n11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23
+ + + =
+ +
…
33 2 2
31 1 32 2 33 3 3 3
1
…
…
…
+ =
+ + + =
a x b
a x a x a x a x b
a
n n
n n
m xx a x a x a x bm m mn n m1 2 2 3 3+ + + =…
1. El coeficiente del primer término de la primera ecuación debe ser igual a uno, es decir, a11 5 1. Con éste 
y con las operaciones para obtener ecuaciones equivalentes, eliminamos todos los términos que contienen 
a los coeficientes ai1 con i 5 2, 3,…, m.
2. Ahora, el coeficiente del segundo término de la segunda ecuación debe ser igual a uno, esto es: a22 5 1; 
con este coeficiente y con las operaciones para obtener ecuaciones equivalentes, ahora eliminamos los tér-
minos que contienen los coeficientes ai2 con i fi 2.
3. Este procedimiento se repite en las ecuaciones restantes, de manera que se obtenga un sistema de ecua-
ciones lineales equivalente donde:
a
i j
i jij
0
1
si
si 
si esto es posible.
4. Una vez que se obtiene la forma final del sistema equivalente, con base en el punto anterior, podemos 
obtener la solución del sistema de ecuaciones lineales.
Al final de este procedimiento, se obtiene un sistema de ecuaciones lineales equivalente de la forma si-
guiente,
x c
x c
x c
x d x d x cm mk k mn n m
1 1
2 2
3 3
=
=
=
+ + + =
Apliquemos el método de eliminación de Gauss-Jordan para resolver los siguientes ejemplos.
Alerta
Tanto para el Método de 
eliminación de variables 
como para el de Gauss-
Jordan: 
1. La forma final del sistema 
equivalente depende del 
número de ecuaciones y 
del número de incógnitas 
o variables.
2. La forma final del sistema 
equivalente depende del 
tipo de soluciónque tenga 
el sistema. 
Problema resuelto
R1
R2 x 1 2y ] 4z 5 ]4 x 1 2y ] 4z 5 ]4
 5x 1 11y ] 21z 5 ]22 R2](5)R1 � R2 0 ] y 1 z 5 2
 3x ] 2y 1 3z 5 11 R3](3)R1 � R3 0 ] 8y 1 15z 5 ]23
R11(2)R2 � R1 x 1 0 ] 2z 5 0 x 1 0 ] 2z 5 0
 0 ] y 1 z 5 2 (]1)R2 � R2 0 1 y ] z 5 ]2
R31(8)R2 � R3 0 1 0 ] 7z 5 ]7 R3/7 � R3 0 1 0 1 z 5 1
R11(2)R3 � R1 x 1 0 1 0 5 2 x 5 2
R21R3 � R2 0 1 y 1 0 5 ]1 � y 5 ]1 Solución única
 0 1 0 1 z 5 1 z 5 1
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
 5x 1 11y ] 21z 5 ]22 R1
 x 1 2y ] 4z 5 ]4 R2
 3x ] 2y 1 3z 5 11 R3
Solución
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Grupo Editorial Patria©
Problema resuelto
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
 x 1 2y ] 3z 5 1 R1
 2x 1 5y ] 8z 5 4 R2
 3x 1 8y ] 13z 5 7 R3
Problema resuelto
R1/2 � R1 a 1 4b 1 3c 5 10 a 1 4b 1 3c 5 10
R2/2 � R2 2a 1 b ] c 5 ]1 R2](2)R1 � R2 0 ] 7b ] 7c 5 ]21
 3a ] b 1 c 5 11 R3](3)R1 � R3 0 ] 13b ] 8c 5 ]19
 R1](4)R2 � R1 a 1 0 ] c 5 ]2
 a 1 4b 1 3c 5 10 0 1 b 1 c 5 3
R2/(]7)R1 � R2 0 1 b 1 c 5 3 R31(13)R2 � R3 0 1 0 ] 5c 5 20
 a 1 0 ] c 5 ]2 R11R3 � R1 a 1 0 ] 0 5 2
 0 1 b 1 c 5 3 R2]R3 � R2 0 1 b 1 0 5 ]1
R3/(5) � R3 0 1 0 1 c 5 4 0 1 0 ] c 5 4
 a 5 2
 b 5 ]1 Solución única
 c 5 4
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
 2a 1 8b 1 6c 5 20 R1
 4a 1 2b ] 2c 5 ]2 R2
 3a ] b 1 c 5 11 R3
Solución
Problema resuelto
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
 x 1 2y ] 3z 1 4t 5 2 R1
 2x 1 5y ] 2z 1 t 5 1 R2
 5x ] 12y ] 7z 1 6t 5 7 R3
 x 1 2y ] 3z 5 1 x 1 2y ] 3z 5 1
R2](2)R1 � R2 0 1 y ] 2z 5 2 0 1 y ] 2z 5 2
R3](3)R1 � R3 0 1 2y ] 4z 5 4 R3](2)R2 � R3 0 1 0 1 0 5 0
R2 � y 5 2 1 2z 
R1 � x 5 1 ] 2y 1 3z � z 5 es un parámetro libre,
z R z 5 ]1
y = +2 2α Soluciones y 5 2 1 2(]1) 5 0 Solución
x 1 2 2 2 3( ) infinitas particular
 3 x 5 ]3 ] (]1) 5 ]2
Solución
10
UNIDAD Sistemas de ecuaciones lineales1
Problema resuelto
Problema resuelto
R11R4 � R1 2x 1 6y 1 8z 5 2 R1/(2) � R1 x 1 3y 1 4z 5 1
 3x ] 2y ] z 5 5 3x ] 2y ] z 5 5
 3a ] b 1 c 5 11 2x ] 5y 1 3z 5 ]4
 x ] 3y 1 4z 5 1 (11)R11(3)R2 � R1
R2](3)R1 � R2 0 ] 11y ] 13z 5 2 11x 1 0 1 5z 5 17
R3](2)R1 � R3 0 ] 11y ] 5z 5 ]6
 0 ] 11y ] 13z 5 2
 R3]R2 � R3 0 1 0 ] 8z 5 8
 11x 1 0 1 5z 5 17 R11(5)R3 � R1 11x 1 0 1 0 5 22
 0 1 11y 1 13z 5 2 R2](13)R3 � R2 
R3/(8) � R3 0 1 0 ] z 5 1 0 1 11y 1 0 5 ]11
 0 1 0 ] z 5 1
R1/(11) � R1 x 1 0 1 0 5 2 x 5 2
R2/(11) � R2 0 ] y 1 0 5 ]1 y 5 1 Solución única
 � z 5 ]1
 0 1 0 ] z 5 1
 x 1 2y ] 3z 1 4t 5 2 R1](2)R2 � R1
 
R2](2)R1 � R2 0 1 y 1 4z ] 7t 5 ]3 x ] 0 ] 11z 1 18t 5 8
R3](5)R1 � R3
0 1 2y 1 8z ] 14t 5 ]3 0 1 y 1 4z ] 7t 5 ]3
 R3](2)R2 � R3 0 1 0 1 0 1 0 5 3
R3 � El sistema no tiene solución.
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
 x 1 2y 1 2z 5 2 R1
 3x ] 2y ] z 5 5 R2
 2x ] 5y 1 3z 5 ]4 R3
 x 1 4y 1 6z 5 0 R4
Para el siguiente sistema de ecuaciones determinar las condiciones en a, b, c, donde a, b, c e R para obtener:
a) Solución única.
b) Sin solución.
c) Soluciones infinitas. 
 x 1 2y ] 3z 5 a R1
 2x 1 6y ] 11z 5 b R2
 x ] 2y 1 7z 5 c R3
Solución
Solución
Otro tipo de problemas que resulta interesante resolver, por sus diversas aplicaciones, por ejemplo donde se 
involucran multiplicadores de Lagrange, son aquéllos donde uno impone las condiciones necesarias al siste-
ma para que tenga determinado tipo de solución, estas condiciones se introducen en ciertos parámetros, de 
los cuales depende el sistema de ecuaciones lineales.
11
Grupo Editorial Patria©
 x 1 2y ] 3z 5 a x 1 2y ] 3z 5 a
R2](2)R1 � R2 0 1 2y ] 5z 5 b ] 2a
0 1 2y ] 5z 5 b ] 2a R31(2)R2 � R3 0 1 0 1 0 5 c 1 2b ] 5a
R3]R1 � R3
0 1 4y ] 10z 5 c ] a
 
R3 � 0 5 c 1 2b ] 5a No puede tener solución única.
 No tiene solución si: 5a ] 2b ] c fi 0
 Tiene un número infinito de soluciones
 si: 5a ] 2b ] c 5 0
Solución
Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos
Cierto tipo de ecuaciones lineales o de sistemas de ecuaciones, aquéllas donde la ecuación o todas las ecua-
ciones se igualan con cero, se conocen como homogéneas. Éstas tienen la característica de que, sin importar 
el valor de los coeficientes o el número de variables, siempre tienen solución, ya sea solución única (todas 
las variables iguales a cero) o bien un número infinito de soluciones.
Pero lo más importante de esta propiedad es su gran utilidad en muchos otros conceptos y aplicaciones, 
por ejemplo para mostrar si un conjunto de vectores es linealmente independiente o dependiente (unidad 
3), para determinar el núcleo o kernel de una transformación lineal (unidad 4), para encontrar los vectores 
propios o característicos asociados a una matriz (unidad 5), etcétera. 
A continuación, analizamos la estructura y las propiedades de los sistemas de ecuaciones lineales homo-
géneos y estudiamos las posibles soluciones de éstos, en términos del número de ecuaciones y de variables 
del sistema.
Un sistema de m ecuaciones lineales homogéneas y n variables es aquel para el cual todos los coeficientes 
independientes son iguales con cero; esto es, bi 5 0 para todo i. Entonces,
a x a x a x a x
a x a x a x
n n11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3
0+ + + =
+ +
…
……
…
…
+ =
+ + + =
+
a x
a x a x a x a x
a x
n n
n n
m
2
31 1 32 2 33 3 3
1 1
0
0
aa x a x a xm m mn n2 2 3 3 0+ + =…
Todo sistema de ecuaciones lineales homogéneo siempre tiene solución. Una de éstas puede ser la solución 
trivial, esto es:
x1 5 x1 5 … 5 xn 5 0, o bien xi 5 0 para toda i
o bien, el sistema homogéneo puede tener un número infinito de soluciones, las cuales están dadas en tér-
minos de los parámetros libres. 
Problema resuelto
 x 1 y ] z 5 0 x 1 y ] z 5 0
R2](2)R1 � R2 0 1 2y 1 z 5 0 R2 
 R3 0 ] y 1 5z 5 0
R3](3)R1 � R3 0 ] y 1 5z 5 0 0 1 2y 1 z 5 0
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones homógeno:
 x 1 y ] z 5 0 R1
 2x 1 4y ] z 5 0 R2
 3x ] 2y 1 2z 5 0 R3
Solución
Alerta
1. Si la solución del sistema 
homogéneo es única, 
entonces la solución es la 
trivial. 
2. Si un sistema homogéneo 
tiene más incógnitas que 
ecuaciones, entonces 
tiene un número infinito 
de soluciones, incluyendo 
a la solución trivial.
12
UNIDAD Sistemas de ecuaciones lineales1
Problema resuelto
 x 1 y ] z 5 0 x 1 y ] z 5 0
R2](2)R1 � R2 0 ] 5y 1 3z 5 0 0 ] 5y 1 3z 5 0
R3]R1 � R3 0 ] 5y 1 3z 5 0 R3]R2 � R3 0 1 0 1 0 5 0
 � x 1 y ] z 5 0 (3)R11R2 � R1 3x ] 2y 1 0 5 0
 0 ] 5 y 1 3z 5 0 0 ] 5y 1 3z 5 0
R1 � x y=
2
3
R2 � y z=
3
5 z es un parámetro libre �
 
z R
y
x
3
5
2
3
3
5
2
5
 Número infinito de soluciones.
Determinar la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:
 x 1 y ] z 5 0 R1
 2x 1 3y 1 z 5 0 R2
 x ] 4y 1 2z 5 0 R3
Solución
1.4 Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales
En esta sección analizamos algunos problemas cuya solución se obtiene a través del planteamiento y la re-
solución de sistemas de ecuaciones lineales, los cuales, como veremos, pueden aparecer en cualquier área 
del conocimiento.
R11R2 � R1 x 1 0 1 4z 5 0 x 1 0 1 4z 5 0
 0 ] y 1 5z 5 0 0 ] y 1 5z 5 0
R31(2)R2 � R3 0 1 0 ] 11z 5 0 R3/(11) � R3 0 1 0 1 z 5 0
R1](4)R3 � R1 x 1 0 1 0 5 0 x 5 0
R2](5)R3 � R2 0 ] y 1 0 5 0 � y 5 0 Solución única.
 0 1 0 1 z 5 0 z 5 0
Problema resuelto
Cuatro socios de una empresa desean repartirse las ganancias, cuyo valor asciende a $4 680 000.00, de la 
siguiente manera: las 2
3
 de las ganancias se dividirán en partes iguales entre los cuatro. De la otra tercera par-
te, cada uno recibirá $60 000.00 cada año hasta que cumplan 20 años en la empresa. Si entre cada socio se 
llevan 3 años de diferencia dentro de la empresa, determinar: ¿cuánto dinero recibirá cada uno de los socios?, 
y ¿cuántos años tiene cada uno de ellos en la empresa?
13
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Problema resuelto
El nivel de contaminación ambiental, medido durante un día determinado, para las tres principales 
ciudades de la República Mexicana: Ciudad de México, Monterrey y Guadalajara, fue de 18 puntos IMECA, 
en promedio. Para ese día en particular, se cuenta con lossiguientes datos en las lecturas: en la Ciudad de 
México la contaminación estuvo 4 puntos por encima del promedio de las otras dos ciudades y en Monterrey 
la medición indicó 3 puntos menos que el promedio de las otras dos ciudades. ¿Cuál fue el índice de 
contaminación en cada ciudad ese día? 
Consideremos a las siguientes variables x, y y z, como los puntos o niveles de contaminación en cada una de 
las tres ciudades, Ciudad de México, Monterrey y Guadalajara, respectivamente. Si el promedio de las tres 
mediciones dio 18 puntos, entonces: 
x y z+ +
=
3
18.
Planteamos el problema como sigue, sea x1, x2, x3 y x4 el dinero que recibirá cada uno de los socios, de mayor 
a menor edad dentro de la empresa, respectivamente; correspondiente a la 1
3
 parte de las ganancias 
($1 560 000.00), entonces tenemos que x1 1 x2 1 x3 1 x4 51 560 000.
Por otro lado, como el socio menor recibirá 3 veces más la cantidad de $60 000.00 con respecto al socio que 
le sigue de edad, entonces tenemos que x4 ] x3 5 3 ∙ 60 000 5 180 000, lo mismo sucede con los demás, es 
decir, x3 ] x4 5 180 000 y x2 ] x1 5 180 000.
De esta forma encontramos el siguiente sistema de ecuaciones lineales,
 
x1 1 x2 1 x3 1 x4 51 560 000.
x4 ] x3 5 180 000
x3 ] x2 5 180 000
x2 ] x1 5 180 000
Al resolver tenemos la solución: x1 5 120 000, x2 5 300 000, x3 5 480 000 y x4 5 660 000.
Los 2
3
 de $4 680 000.00 equivalen a $3 120 000.00 que dividido entre cuatro son $780 000. Por lo cual cada 
socio recibirá en total,
 x1 5 $120 000.00 1 780 000.00 1 900 000.00
 x2 5 $300 000.00 1 780 000.00 1 1 080 000.00
 x3 5 $480 000.00 1 780 000.00 1 1 260 000.00
 x4 5 $660 000.00 1 780 000.00 1 1 440 000.00
Ahora, por ejemplo, el socio mayor recibirá x1 5 $120 000.00 cuando cumpla 20 años en la empresa, $60 000.00 
por año, entonces x1 5 120 000.00 5 2 ∙ 260 000.00, significa que le faltan 2 años para cumplir los 20 en la 
empresa, por tanto:
El socio 1 tiene 18 años en la empresa
El socio 2 tiene 15 años en la empresa
El socio 3 tiene 12 años en la empresa
El socio 4 tiene 9 años en la empresa
Solución
Solución
14
UNIDAD Sistemas de ecuaciones lineales1
Como en la Ciudad de México el nivel de contaminación fue mayor en 4 puntos respecto del promedio de 
las otras dos ciudades, entonces:
x
y z
=
+
=
2
4.
Finalmente, el nivel en Monterrey fue 3 puntos menos que el promedio de las otras dos ciudades, lo que 
quiere decir que:
y
x z
=
+
=
2
3.
Tenemos, entonces, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
x y z
x y z
x y z
+ + =
− − =
− + − = −
54
2 8
2 6
De donde obtenemos la siguiente solución:
x =
62
3
puntos de concentración en la ciudad deMéxicoo.
puntos de concentración en la ciudad deMony = 16 tterrey.
puntos de concentración en la ciudaz =
52
3
dd de Guadalajara.
Problema resuelto
Consideremos como x1, x2, y x3 el número de unidades que puede producir la armadora en un mes, cantidades 
que corresponden a los modelos sedán, camioneta y compacto, respectivamente. El número total de horas 
necesarias para construir determinado número de automóviles está dado por 10x1, 12x2, y 6x3; si se cuenta 
con 1 560 horas al mes para ensamblarlos, obtenemos la ecuación: 10x1 1 12x2 1 6x3 5 1 560.
Para las horas de prueba también tenemos que 2x1 1 2.5x2 1 1.5x3 5 340.
De la misma forma para los terminados encontramos que 2x1 1 2x2 1 1.5x3 5 320.
Por tanto, resolviendo el sistema de ecuaciones lineales:
 10x1 1 12x2 1 6x3 5 1 560
 2x1 1 2.5x2 1 1.5x3 5 340
 2x1 1 2x2 1 1.5x3 5 320
Determinamos el número de automóviles que puede producir la armadora, los cuales están dados por:
 tipo sedán x1 5 60
 tipo camioneta x2 5 40
 tipo compacto x3 5 80
Una armadora de automóviles fabrica tres modelos distintos: sedán, camioneta y compacto. Para armar un 
sedán se necesitan 10 horas, más otras 2 horas de prueba y 2 horas más para los acabados. La camioneta se 
lleva 12 horas de ensamblado, 2.5 horas de prueba y 2 horas más de detalles. Por último, el compacto utiliza 
6 horas en el armado, 1.5 para las pruebas y 1.5 horas para los terminados. Si la empresa armadora dispone 
de 1 560 horas para ensamblar los automóviles, 340 para probarlos y 320 para darles los acabados, ¿cuántos 
automóviles puede fabricar al mes?
Solución
15
Grupo Editorial Patria©
En cálculo, geometría, etcétera, es muy común que a partir de cierta información que se tiene de funciones 
o de objetos geométricos, se construya la ecuación que los describe, para poder resolver este tipo de pro-
blemas es necesario resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Problema resuelto
Problema resuelto
El polinomio lo podemos ver como una función y(x) 5 p(x) ; entonces, para cada par ordenado (x, y), tenemos 
un punto donde debemos evaluar la función x y un valor de la función y, esto es,
para el punto (1, 4) � a0 1 a1(1) 1 a2(1)
2
 5 4
 para el punto (2, 0) � a0 1 a1(2) 1 a2(2)
2
 5 0
 para el punto (3, 12) � a0 1 a1(3) 1 a2(3)
2
 5 12
de donde obtenemos el sistema de ecuaciones lineales,
 a0 1 a1 1 a2 5 4
 a0 1 2a1 1 4a2 5 0
 a0 1 3a1 1 9a2 5 12
que tiene por solución los valores, a0 5 24, a1 5 ]28, y a2 5 8.
Por tanto, el polinomio de segundo grado que pasa por los puntos (1, 4), (2, 0) y (3, 12), tiene la forma p(x) 5 
24 ] 28x 1 8x2.
La ecuación general de un plano está dada por ax 1 by 1 cz 1 d 5 0 y un punto (x, y, z) en el plano es aquel 
que satisface la igualdad. Entonces, evaluamos cada uno de los puntos en la ecuación, para determinar los 
coeficientes del plano, esto es, 
para el punto (1, 1, 2) � a 1 b 1 2c 1 d 5 0
para el punto (1, 2, 0) � a 1 2b 1 d 5 0
para el punto (2, 1, 5) � 2a 1 b 1 5c 1 d 5 0
Resolviendo el sistema para las constantes, tenemos que, c 5 ]d, b 5 ]2d y a 5 3d, esto es, un sistema con 
un número infinito de soluciones en términos de una variable, la cual podemos tomar como parámetro libre, 
es decir, d R.
Para una solución particular, d 5 1, c 5 ]1, b 5 ]2 y a 5 3.
Entonces, un plano que contiene a los tres puntos (1, 1, 2), (1, 2, 0) y (2, 1, 5) es paralelo al plano dado por la 
ecuación, 3x 1 2y ] z 1 1 5 0 o a cualquier otro paralelo a él, obtenido con algún valor de d = α.
Determinar el polinomio de segundo grado: p(x) 5 a0 1 a1x 1 a2x
2, cuya gráfica contiene a los puntos (1, 4), 
(2, 0) y (3, 12).
Gracias a la geometría sabemos que un plano está completamente definido si conocemos tres puntos que 
estén contenidos en él, siempre y cuando éstos no sean colineales. Determinar el plano que contiene a los 
siguientes puntos: (1, 1, 2), (1, 2, 0) y (2, 1, 5).
Solución
Solución
16
UNIDAD Sistemas de ecuaciones lineales1
Problema resuelto
Problema resuelto
Tenemos que hallar las constantes A, B y C, tales que la fracción pueda escribirse como una suma de fracciones 
parciales, esto es:
1 1
1
1 2 1 1 2 1
2
( )( )( ) ( ) ( ) ( )
(
x x x
A
x
B
x
C
x
A x
− + +
=
−
+
+
+
+
=
+ ))( ) ( )( ) ( )( )
( )( )(
x B x x C x x
x x x
+ + − + + − +
− +
1 1 2
1 2 ++
=
+ + + − + + −
− +
1
3 2 1 2
1 2
2 2 2
)
( ) ( ) ( )
( )( )
A x x B x C x x
x x (( )
( ) ( ) ( )
( )(
x
A B C x A C x A B C
x x
+
=
+ + + + + − −
− +
1
3 2 2
1 2
2
))( )x + 1
de donde se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales,
A B C
A C
A B C
+ + =
+ =
− − =
0
3 0
2 2 1
Cuya solución es, A B C= = =
1
6
1
3
1
2
, .y − Por tanto, la suma en fracciones parciales
se puede escribir como:
1
1 2 1
1
6 1
1
3 2
1
2 1( )( )( ) ( ) ( ) ( )x x x x x x− + +
=
−
+
+
+
+
Resolver el siguiente sistema de fracciones parciales:
1
1 2 1 1 2 1( )( )( ) ( ) ( ) ( )x x x
A
x
B
x
C
x− + +
=
−
+
+
+
+
Encontrar el valor de las corrientes eléctricas, que circulan por el circuito eléctrico siguiente:
Considere los siguientes valores, E 5 6 voltios, R1 5 2 ohms, R2 5 3 ohms, R3 5 4 ohms y R4 5 2 ohms.
Solución
Cuando analizamos circuitos eléctricos, cuyos componentes son resistencias y fuentes de alimentación o 
voltaje, debemos considerarlas corrientes que circulan por el circuito y el voltaje proporcionado por las 
fuentes. 
Para describir estas relaciones usamos la ley de Ohm (el voltaje es igual al producto de la corriente por 
la resistencia); además de las dos leyes de Kirchhoff, la ley de corriente o nodos (en cualquier nodo la suma 
de las corrientes que inciden es igual a la suma de las corrientes que salen de él), la ley del voltaje o mallas. 
La suma de todos los cambios de voltaje en un circuito cerrado es igual al voltaje proporcionado por la 
fuente.
17
Grupo Editorial Patria©
Para generar nuestras ecuaciones lineales, utilizamos las leyes de Ohm y de Kirchhoff, esto es:
 Para el nodo A tenemos, i1 ] i2 ] i3 5 0
 Para la malla 1 tenemos, 2i1 1 3i2 5 6
 Para la malla 2 tenemos, ]3i3 1 6i3 5 0
De esta manera, el sistema de ecuaciones lineales a resolver es:
 i1 ] i2 ] i3 5 0
 2i1 1 3i2 5 6
 ]3i2 1 6i3 5 0
La solución es, = =, ,i i i1 32
3
2
1
3
2
=y que corresponde a las corrientes que circulan por el circuito eléctrico, 
como se observa en la figura 1.2.
Solución
Cuando combinamos moléculas de cierto tipo, éstas se combinan y se obtienen nuevas moléculas; este 
proceso se conoce como reacción química. Lo importante de una reacción química es que el número de 
átomos de cada tipo, antes y después de la reacción, sea exactamente el mismo, a esto se llama balancear 
la ecuación química. Para llevar a cabo el balance de una reacción química es necesario resolver sistemas 
de ecuaciones lineales.
Problema resuelto
El número de átomos del mismo tipo debe ser el mismo en ambos lados de la reacción, es decir:
sean 1, 2, 3 y 4 números enteros tales que,
1 3 2 2 3 2 4 2NH O N H O
Balancear la siguiente ecuación química:
NH O N H O3 2 2 2
la cual está asociada a la combustión de amoníaco; con lo que se obtienen los siguientes productos: nitrógeno 
y agua.
Solución
R1 A
B
1 2 R2
R3
R4E1
i1
1
]
i2
i3
Figura 1.2
18
UNIDAD Sistemas de ecuaciones lineales1
Entonces, para balancear la ecuación se debe cumplir que
1 3
1 4
2 4
2
3 2
2
para el nitrógeno, el hidrógeno y el oxígeno, respectivamente.
Éste corresponde al siguiente sistema de ecuaciones lineales homogéneo:
1 3
1 4
2 4
2 0
3 2 0
2 0
el cual tiene la solución, 3 1= =, ,α β α β α β α β4 3
1
3
1
2
2
3
= = .y
Para obtener valores enteros en el balance, elegimos el mínimo común múltiplo de los denominadores 
de la solución; esto es, 6. Por tanto, tenemos que 4 3 3 16 2 3 4, , y , de manera que la ecua-
ción balanceada es,
4 3 2 63 2 2 2NH O N H O
1.5 Aspectos geométricos de los sistemas de ecuaciones lineales
A continuación mencionaremos algunos aspectos geométricos importantes que se relacionan con los siste-
mas de ecuaciones lineales. 
Algebraicamente, la ecuación lineal más sencilla que podemos construir es de la forma ax 5 b, la cual se 
estudió en la sección 1.1. Pero, cuando analizamos el problema lineal desde el punto de vista geométrico, el 
objeto más sencillo es una línea recta. A continuación, se estudia la relación entre las ecuaciones y los siste-
mas de ecuaciones lineales con objetos geométricos, como las rectas y plano, así como el hecho de cómo 
esto nos puede ayudar a resolver las ecuaciones y sistemas.
Restringiremos nuestro análisis al espacio tridimensional o de tres dimensiones, debido a que en éste 
podemos visualizar y representar gráficamente de manera adecuada, las rectas y los planos. Aunque los 
conceptos y los resultados, se pueden generalizar a espacios de mayor dimensión.
Cuando hablamos de lineal, lo primero que nos viene a la mente es el concepto de línea o recta, recorde-
mos que la ecuación general que representa a este ente geométrico en dos dimensiones es: 
ax 1 by 1 c 5 0 o ax 1 by 5 c 
(el signo de la constante c es irrelevante), la cual no es más que una ecuación lineal con dos incógnitas o 
variables, cuya solución son los pares ordenados (x, y), que corresponden a todos los puntos del plano xy 
que se encuentran en la recta.
Ahora, para una recta que pasa por dos puntos, (x1, y1) y (x2, y2), tenemos que su pendiente está dada por:
m
y y
x x
=
−
−
2 1
2 1
de esta forma podemos escribir la ecuación de una recta como:
y 5 mx 1 b
donde m es su pendiente y b es la ordenada al origen (donde la recta cruza al eje y).
Por otro lado, observamos que con respecto a la ecuación de la recta ax 1 by 5 c, tenemos que la pendiente 
se puede escribir como m
a
b
= − .
Consideremos los siguientes sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas o variables; estos sistemas, 
como lo mencionamos anteriormente, están representados geométricamente por dos rectas en el plano xy. 
19
Grupo Editorial Patria©
Alerta
Recuerda que:
1. Una recta es paralela al 
eje x si su pendiente es 
igual a cero.
2. Una recta es paralela 
al eje y si su pendiente 
tiene un valor infinito.
3. Dos rectas son paralelas 
si tienen la misma 
pendiente: m1 = m2.
4. Dos rectas son 
perpendiculares si sus 
pendientes cumplen la 
siguiente relación: 
 m1 = – .
1
m2
1. Solución única x ] 3y 5 ]3 (1)
 2x 1 y 5 8 (2)
Al resolver el sistema encontramos que la solución es: x 5 3 y y 5 2.
Ahora, grafiquemos las rectas que representan cada una de las ecuaciones lineales (1) y (2). El lugar geomé-
trico donde se intersecan las dos rectas corresponde a la solución del sistema (3, 2). En este caso, el sistema 
tiene solución única (figura 1.3).
Figura 1.3
2. Sin solución x ] 3y 5 ]3 (1)
 2x ] 6y 5 8 (2)
Al resolver el sistema encontramos que: 0 5 6, el sistema no tiene solución.
Grafiquemos las rectas que representan cada una de las ecuaciones lineales (1) y (2), las rectas son paralelas 
y cortan al eje y en distintos puntos, por lo cual no tienen ningún punto en común, así que el sistema no 
tiene solución (figura 1.4).
Figura 1.4
(2)
(2)
1
]3 3 4
(1)(3, 2)
x
y
8
]6 ]3
2
1
(2)
(1)
x
y
20
UNIDAD Sistemas de ecuaciones lineales1
3. Un número infinito de soluciones ]2x 1 y 5 ]2 (1)
 4x ] 2y 5 4 (2)
Al resolver el sistema encontramos que: 0x 1 0y 5 0. El sistema tiene un número infinito de soluciones (las 
cuales satisfacen x 5 
y
2
 1 1).
Tenemos que las rectas asociadas a las ecuaciones lineales (1) y (2) son paralelas y cortan al eje y en el 
mismo punto; esto es, representan al mismo lugar geométrico (la misma recta), por lo cual tienen en común 
un número infinito de puntos (figura 1.5).
Figura 1.5
Ahora, consideremos una ecuación con tres incógnitas o variables; en este caso, el lugar geométrico que 
representa una ecuación de este tipo es un plano, cuya ecuación general es de la forma:
ax 1 by 1 cz 5 d
Obviamente, la visualización de estos lugares geométricos es un poco más complicada, debido a que son 
superficies en el espacio tridimensional, pero en general se siguen cumpliendo las mismas reglas para el tipo 
de solución que presenten.
Por ejemplo, consideremos el siguiente sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas; escrito de 
la forma general:
a11x1 1 a12x2 1 a13x3 5 b1 (1)
a21x1 1 a22x2 1 a23x3 5 b2 (2)
a31x1 1 a32x2 1 a33x3 5 b3 (3)
donde cada una de estas ecuaciones lineales representa un plano en el espacio tridimensional. Analicemos 
las tres posibilidades para su solución:
a) Solución única. Tenemos una sola posibilidad.
 En este caso, solamente puede ocurrir la situación de que los tres planos se intersecan en un solo punto 
del espacio (x, y, z), que corresponde a la solución del sistema de ecuaciones lineales (figura 1.6).
]2
1
(2)(1)
x
y
21
Grupo Editorial Patria©
(2)
(1) (1),(2),(3)
(3)x
z
y
x
z
y
Figura 1.6
b) Número infinito de soluciones. Aquí, pueden ocurrir dos casos:
– Cuando el lugar geométrico de intersección de los tres planos corresponde a una recta, entonces la 
solución se escribe en términos de un parámetro libre (figura 1.7a).
– Cuando los tres planos son paralelos y corresponden al mismo lugar geométrico (son iguales); enton-
ces, la intersección corresponde a un plano, el cual se describe condos parámetros libres en la solución 
del sistema (figura 1.7b).
Figuras 1.7a y 1.7b
c) Sin solución. Existen tres posibilidades:
– Que los tres planos sean paralelos entre sí y que no tengan ningún punto en común (figura 1.8a).
– Dos planos paralelos entre sí, los cuales, a su vez, son intersecados por el tercero (figura 1.8b).
– Los tres planos se intersecan a pares, esto es, sólo dos a la vez pero sin intersección común a los tres 
(figura 1.8c).
(2) (3)
(1)
x
y
z
b)a)
22
UNIDAD Sistemas de ecuaciones lineales1
Figura 1.8
(2)
(1)
(3)
(2)
(3)
(1)
x
y
z
x
z
y
(2)
(1)
(3)
x
z
y
b)
c)
a)
23Problemas aplicados a la realidad
Problemas para resolver con tecnología
Problemas para resolver
1.1 Clasifica las siguientes ecuaciones como lineales y como no lineales:
a) 3x 1 2y 5 ]10 b) 3x 1 2y2 5 ]10 c) e
x ] 2y = 4
d) 
1
2
2x y z e) ]2 cos(2x) 1 5 sen(y) 5 0
1.2 Encuentra la solución general y una solución particular, para las si-
guientes ecuaciones lineales:
a) 2x1 1 6x2 1 x3 5 ]4 b) ]x1 ] 3x2 5 6
c) ]3x ] 3y 1 z 1 5w 5 ]1 d) ]2a ] b 1 2c ] 4d 5 8
e) 2 45x y cos 
1.3 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales y muestra 
que tienen solución única:
 
a) 
2x 1 y ] 2z 5 10 
]6x ] 4y ] 4z 5 ]2 
5x 1 4y ] 3z 5 4
 b) 
x1 1 x2 1 2x3 1 3x4 5 4 
2x1 1 3x2 1 3x3 ] x4 5 3 
5x1 1 7x2 1 4x3 1 x4 5 5
c) 
x 1 y ] 2z 1 4w 5 5 
2x 1 2y ] 3z3 1 w 5 3 
3x 1 3y ] 4z 5 1 
]2x ] 2y 1 4z ] 8w 5 ]10
 d) 
x1 1 2x2 ] 3x3 ] 2x4 1 4x5 5 1 
2x1 1 5x2 ] 8x3 ] x4 1 6x5 5 4 
x1 1 4x2 ] 7x3 ] 5x4 1 2x5 5 8
e) 
x 1 2y ] z 5 3 
x 1 3y 1 z 5 5 
3x 1 8y 1 4z 5 17
 f) 
2a 1 b 5 3 
4a 1 b 5 7 
2a 1 5b 5 ]1
g) 
]x1 1 x3 5 ]2 
2x1 ] x2 1 x3 5 1 
]3x1 1 2x2 ] 2x3 5 ]1 
x1 ] 2x2 1 3x3 5 ]2 
5x1 1 2x2 1 6x3 5 ]1
 e) 
x1 1 x3 1 x4 5 ]5 
x1 ] x3 1 x4 5 ]1 
x1 1 x2 1 x3 1 x4 5 ]3 
2x1 1 2x3 5 ]2
1.4 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales homogéneos y 
mostrar que tienen solución única:
a) 
x1 1 2x2 ] x3 1 4x4 5 0 
3x1 ] x3 1 5x4 5 0 
4x1 1 2x2 1 6x3 1 9x4 5 0 
x1 1 7x4 5 0
 b) 
2x 1 4y ] z 5 0 
x 1 y ] z 5 0 
3x 1 2y 1 2z 5 0
c) 
]x 1 6w 5 0 
2y ] z 1 13w 5 0 
2x ] z 1 11w 5 0 
2x 1 2y ] 2z 1 24w 5 0
 d) 
x1 1 2x2 ] 3x3 1 4x4 5 0 
2x1 1 5x2 ] 2x3 1 x4 5 0 
5x1 1 12x2 ] 7x3 1 6x4 5 0
e) x 1 y 1 z 5 0 
2x 1 3y 1 z 5 0
 f) 
x1 1 2x2 1 3x2 1 4x4 5 0 
2x1 1 2x2 1 3x3 1 4x4 5 0 
3x1 1 3x2 1 3x3 1 4x4 5 0 
4x1 1 4x2 1 4x3 1 4x4 5 0
g) 
2a ] 3b 1 c 5 0 
a 1 b ] c 5 0 
4a 1 2b 1 3c 5 0
 
1.5 Encuentra la solución no trivial para las siguientes ecuaciones lineales 
homogéneas:
a) ]2x ] 4y 5 0 b) ]x1 1 3x2 1 2x3 5 0
c) 3x ] y 1 2z ] 6w 5 0 d) (cos
2 )x ] (sen2 )y 5 0
e) a 1 b 1 c 1 d 1 e 5 0
1.6 Considera los siguientes sistemas de ecuaciones lineales. En cada 
caso, encuentra las siguientes condiciones que deben cumplir los pará-
metros para que el sistema:
i) tenga solución única, 
ii) no tenga solución, 
iii) tenga un número infinito de soluciones.
 kx 1 y 1 z 5 1 2x1 1 2x2 1 4x3 5 2k1 
a) x 1 kx 1 z 5 1 b) x1 1 x3 5 k2 
 x 1 y 1 kz 5 1 2x1 1 x2 1 3x3 5 k3
 x ] 2y 1 3z 5 11 
c) 2x ] y 1 3z 5 10 
 4x1 1 y 1 (m ] 1)z 5 4 1 n
1.7 Para el siguiente sistema de ecuaciones lineales homogéneo, qué 
valores debe tomar el parámetro a para que el sistema:
a) tenga solución única, 
b) tenga un número infinito de soluciones.
7x 1 (a ] 5)y 1 z 5 0 
6x ] 6y 1 (a 1 2)z 5 0 
(a 1 3)x ] y 1 z 5 0
1.8 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
a cos ( ) 1 a cos ( ) 5 b 
b cos ( ) 1 a cos ( ) 5 c 
c cos ( ) 1 b cos ( ) 5 a
1.9 Determina la forma del polinomio de grado tres, p(x) 5 ax3 1 bx2 
1 cx 1 d, que contiene a los puntos del plano: (0, 10), (1, 7), (3, ]11) y 
(4, ]14). 
Para qué valores de los parámetros a y b, el sistema:
a) tiene solución única, 
b) tiene solución en términos de un solo parámetro libre, 
c) tiene solución en términos de dos parámetros libres, 
d) no tiene solución.
1.10 Escribe un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, 
que tenga solución única.
1.11 Proporciona un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incóg-
nitas, que tenga un número infinito de soluciones.
1.12 Construye un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógni-
tas, que no tenga solución:
1.13 Halla la forma escalonada de los siguientes sistemas de ecuaciones 
lineales.
 ]x 1 3y 1 2z ] 4w 5 ]5 2x1 1 4x2 ] 5x3 1 3x4 5 0 
a) 3x ] 8y ] 3z 1 8w 5 18 b) 3x1 1 6x2 ] 7x3 1 4x4 5 0 
 2x ] 3y 1 5z ] 4w 5 19 5x1 1 10x2 ] 11x3 1 6x4 5 0
 3x1 1 11x2 ] 4x3 1 10x4 ] 9x5 5 0 x ] 2y 1 4z 5 2 
c) x1 1 3x2 ] 2x3 1 5x4 ] 3x5 5 0 d) 2x ] 3y 1 5z 5 3 
 2x1 1 7x2 ] 3x3 1 7x4 ] 5x5 5 0 3x ] 4y 1 6z 5 7
 a 1 2b 1 c 5 0 
e) a 1 c 5 2 
 b 1 2c 5 1
UNIDAD 1 Problemas para resolver
24 Problemas aplicados a la realidad
Problemas para resolver con tecnología
1.14 Muestra que los siguientes sistemas de ecuaciones lineales tienen 
un número infinito de soluciones y determina dichas soluciones.
a) 
x 1 y ] 2z 1 4w 5 5 
2x 1 2y ] 3z 1 w 5 3 
3x 1 3y ] 4z ] 2w 5 1 
]2x ] 2y 1 4z ] 8w 5 ]10
 b) 
x1 1 2x2 ] 3x2 ] 2x4 1 4x5 5 1 
2x1 1 5x2 ] 8x3 ] x4 1 6x5 5 4 
x1 1 4x2 ] 7x3 ] 5x4 1 2x5 5 8
c) 
2x ] y 1 3z 5 4 
3x 1 2y ] z 5 3 
x 1 3y ] 4z 5 ]1
 d) 
3x2 ] 6x3 ] 4x4 ] 3x5 5 ]5 
]x1 1 3x2 ] 10x3 ] 4x4 ] 4x5 5 ]2 
2x1 ] 6x2 1 20x3 1 2x4 1 8x5 5 ]8
e) 
]a 1 c 1 d ] e 5 ]1 
b ] d ] e 5 0 
b ] c ] d 1 e 5 ]6 
b 1 c ] d 5 3 
a ] b ] c 1 e 5 2
1.15 Muestra que los siguientes sistemas de ecuaciones lineales no tie-
nen solución.
a) 
x1 1 x2 ] 2x3 1 3x4 5 4 
2x1 1 3x2 1 3x3 ] x4 5 3 
5x1 1 7x2 1 4x3 1 x4 5 5
 b) 
4x ] 2y 5 ]2 
]6x 1 3y 5 1
c) 
3x ] 4y 1 6z 5 7 
x ] 2y 1 4z 5 2 
2x ] 3y 1 5z 5 3
 d) 
a 1 2c ] 2d 5 1 
]a 1 b 1 d 5 ]2 
b 1 2c ] d 5 1
 e) 
x1 ] x2 1 x3 1 2x4 5 0 
x1 1 x4 5 ]1 
x2 ] x3 ] x4 5 1 
x1 1 2x2 5 ]3
1.16 Para cada uno de los sistemas de ecuaciones lineales siguientes, 
determina su solución.
a) 
2x1 1 2x2 1 2x3 5 2 
]x1 ] x2 1 2x2 5 ]3 
2x1 1 x2 1 x3 5 2
 b) 
2a 1 b 1 c ] 2d 5 1 
5a ] b 1 2c ] 8d 5 3 
a 1 b ] c ] d 5 ]1 
6b 1 c ] 9d 5 ]2 
]3a 1 2b ] c 1 6d 5 2
c) 
x1 1 x2 1 2x3 1 3x4 5 13 
3x1 1 x2 1 x3 ] x4 5 1 
x1 ] 2x2 1 x3 1 x4 5 8
 d) 
2x 1 3y 1 z 1 2w 5 1 
2x ] y 1 3z 1 w 5 2 
]3x 1 2y ] 2z 1 3w 5 4 
2x 1 5y ] z 1 5w 5 1
e) 
a 1 b ] 3c ] 4d 5 ]1 
2a 1 2b ] c ] 2d 5 1 
a 1 b 1 2c 1 2d 5 5
 f) 
3x 1 2y ] 4z 5 1 
5x ] y ] 3z 5 ]7 
4x 1 3y 1 z 5 2
1.17 Muestra que los siguientes sistemas de ecuaciones lineales homo-
géneos tienen soluciones infinitas y determínalas.
a) 
]x 1 6w 5 0 
2y ] z 1 13w 5 0 
2x ] z 1 11w 5 0 
2x 1 2y ] 2z 1 24w 5 0
 b) 
x1 1 2x2 ] 3x3 1 4x4 5 0 
2x1 1 5x2 ] 2x3 1 x4 5 0 
5x1 1 12x2 ] 7x3 1 6x4 5 0
c) 
2x ] 3y 1 4z 5 0 
3x ] 2y 1 2z 5 0 
x ] 4y 1 6z 5 0
 d) 
x1 1 x2 1 x3 1 x4 5 0 
x1 1 x2 5 0 
x2 1 x3 5 0 
x3 1 x4 5 0 
x1 1 x4 5 0
e) 
x 1 2y ] 4z ] 4w 5 0 
2x 1 4y 5 0 
2x 1 3y 1 2z 1 w 5 0 
]x 1 y 1 3z 1 6w 5 0
1.18 Con qué valor del parámetro q, el siguiente sistema de ecuaciones 
lineales no tiene solución. Y con que valor del parámetro t, el sistema 
tiene una infinidad de soluciones.
x 1 4y ] 2z 5 1 
x 1 7y ] 6z 5 6 
3y 1 qz 5 t
1.19 Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
ax 1 bz 5 2 
ax 1 ay 1 4z 5 4 
ay 1 2z 5 b
Para qué valores de los parámetros a y b, el sistema, 
a) Tiene solución única. 
b) Tiene un número infinito de soluciones. 
d) No tiene solución.
1.20 Encuentra el valor adecuado para el parámetro k, de tal forma que 
el siguiente sistema de ecuaciones lineales, se pueda resolver utilizando 
la regla de Cramer.
]x1 ] x2 ] kx3 5 ]1 
kx1 1 x2 1 x3 5 1 
2x1 1 2kx2 1 2x3 5 2
1.21 Muestra que el siguiente sistema de ecuaciones lineales no puede 
resolverse utilizando el método de la matriz inversa, independientemente 
del valor que tomen los parámetros a, b y c. 
2x1 1 2x2 1 4x3 5 2a 
x1 1 x3 5 b 
2x1 1 x2 1 3x3 5 c
1.22 Determina los valores que no deben tomar los parámetros c1 y c2, 
para que el sistema de ecuaciones lineales se pueda resolver.
]2x 1 4y 1 6z 5 ]22 
8x ] 2y 1 2(c1 ] 1)z 5 8 1 2c1 
2x ] y 1 3z 5 10
1.23 Para el siguientesistema de ecuaciones lineales homogéneo, cuales 
son las condiciones sobre el parámetro k, para que el sistema se pueda 
resolver utilizando la matriz inversa.
7x 1 (5 ] k)y 1 z 5 0 
(k 1 3)x ] y 1 z 5 0 
6x 1 6y 1 (k 1 2)z 5 0
1.24 Determina que valores deben tomar los parámetros a y b, para que 
el sistema se pueda resolver.
x 1 4y ] 2z 5 1 
]x ] 7y 1 6z 5 ]6 
6y 1 2az 5 2b
1.25 Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales, y responde 
para qué valores de los parámetros y , la matriz asociada el sistema 
tiene inversa o es invertible.
x1 1 x3 5 2 
x1 1 x2 1 4x3 5 4 
x2 1 2x3 5 2b
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25Problemas aplicados a la realidad
Problemas para resolver con tecnología
1.26 Utiliza la regla de Cramer para resolver el siguiente sistema de ecua-
ciones lineales.
a cos ( ) 1 a cos ( ) 5 b 
b cos ( ) 1 a cos ( ) 5 c 
c cos ( ) 1 b cos ( ) 5 a
1.27 Explica porque una función de grado tres de la forma, p(x) 5 ax3 
1 bx3 1 cx 1 d, no puede contener a los puntos, (0, 10), (]1, 4), (2, ]8) 
y (0, 6).
1.28 Sin realizar ningún cálculo, sólo por inspección, da una solución 
inmediata para el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
5x ] 3y 1 4z 5 4 
]4x 1 5y ] 7z 5 ]7 
3x ] 3y 1 2z 5 2
1.29 Encuentra la descomposición en funciones parciales de la siguiente 
igualdad:
( )( )1 1
x
x x x
A
x
Bx C
x
Dx E
x
−
−( ) + + += +
+
+
+ +
+
1
4 1 1 42 2 2 2
1.30 Determina la forma del polinomio de segundo grado que contiene 
a los puntos (2, 5), (3, 2) y (4, 5).
1.31 Considera las siguientes tres ecuaciones lineales, las cuales repre-
sentan a tres hiperplanos en el espacio de cuatro dimensiones:
x1 1 x2 1 x3 1 x4 5 6 
x1 1 x2 1 x3 5 4 
x1 1 x4 5 2
a) Describe, geométricamente, la intersección de los hiperplanos.
b) Si consideramos un cuarto plano x1 5 ]1, ahora cuál es inter-
sección.
c) Escribe la ecuación de un cuarto hiperplano, para que no haya 
solución al sistema.
1.32 Considera una función polinomial de grado tres, cuyas tangentes 
en los puntos (1, ]2) y (]1, 2) son totalmente horizontales. Determina la 
forma del polinomio.
1.33 Se tienen tres semiconductores compuestos a base de las siguien-
tes mezclas:
-
nio y 40 miligramos de oro.
-
nio y 50 miligramos de oro.
-
nio y 90 miligramos de oro.
Se desea obtener un nuevo semiconductor con la siguiente mezcla: 34 
miligramos de silicio, 46 miligramos de germanio y 67 miligramos de oro.
¿Qué cantidad se debe tomar de cada semiconductor del tipo A, B y C?
1.34 Un distribuidor ofrece tres diferentes tipos de motores: M1, M2 y 
M3. Para fabricar cada uno de ellos se requiere de tres tipos diferentes de 
imanes: I1, I2 y I3. Para construir el motor M1se requiere de 1 imán tipo I1, 
3 imanes tipo I2 y 3 imanes tipo I3; para construir el motor M2 se requiere 
de 2 imanes tipo I1, 4 imanes tipo I2 y 6 imanes tipo I3, y para construir el 
motor M3 se requiere de 4 imanes tipo I1, 8 imanes tipo I2 y 6 imanes tipo 
I3. Si se han utilizado un total de 24 imanes tipo I1, 50 imanes tipo I2 y 48 
imanes tipo I3, ¿cuántos motores de cada tipo se han construido? 
1.35 Para fabricar un dispositivo electrónico se compran memorias, mi-
croprocesadores y tarjetas de red, por un costo total de 500 dólares. El 
costo de la tarjeta de red es 60 dólares menos que el de la memoria y el 
microprocesador juntos. Por cada componente se paga un impuesto de 
6, 12 y 30%, para la memoria, microprocesador y la tarjeta, respectiva-
mente. De esta forma, en total se factura una cantidad de 592.4 dólares. 
¿Cuántos dólares se invierte en cada dispositivo?
1.36 Para llenar un tanque de agua de 300 litros se emplea un único 
tubo de entrada, mientras que para la salida de agua existen dos tubos 
idénticos. Se requiere de 5 horas para llenar el tanque, cuando los dos 
tubos de salida están abiertos. Cuando uno de ellos se cierra, el tanque 
se llena en 3 horas. ¿Cuál es el flujo, en litros por hora, de entrada y de 
salida del tanque?
1.37 Determina las corrientes eléctricas para el siguiente circuito eléctri-
co; considera los siguientes valores: E1 5 10 voltios, E2 5 16 voltios, R1 5 
5 ohms, R2 5 10 ohms y R3 5 5 ohms.
Figura 1.9
1.38 Encuentra las soluciones de los siguientes sistemas de ecuaciones 
lineales.
a) 
2x ] y 1 z 5 9 
x ] y ] z 5 2 
3x ] 3y 1 2z 5 16
 b) 
x ] y 5 1 
y 1 z 5 1 
2x ] y 1 z 5 1
c) 
]x1 ] x2 1 2x3 1 x4 5 1 
]2x1 ] x2 1 3x3 1 2x4 5 3 
x1 ] x2 ] x4 5 ]3
R1 A
B
1 2
R2
R3E1
i1
1
1
]
]
i2 i3
E2
UNIDAD 1 Problemas para resolver
26 Problemas aplicados a la realidad
Problemas para resolver con tecnología
1.39 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales homogé-
neos.
a) 
a ] 3b ] 2c 5 0 
]2a 1 4b 1 2c 5 0 
2a 1 4b 1 6c 5 0
 b) 
3x1 ] 2x2 1 2x3 5 0 
2x1 ] 3x2 1 x3 5 0 
]x1 ] 3x2 1 2x3 5 0
c) 
5x 1 10y ] 11z 1 6w 5 0 
]4x ] 8y2 1 10z ] 6w 5 0 
3x ] 6y ] 7z 1 4w 5 0
1.40 Construye un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas 
o variables, cuya solución esté dada por: x 5 , y 5 3 ] 2 .
1.41 Determina el valor de las corrientes eléctricas para el siguiente cir-
cuito eléctrico, considera los siguientes valores E1 5 8 voltios, E2 5 16 
voltios, R1 5 2 ohms, R2 5 2 ohms, R3 5 1 ohms y R4 5 4 ohms.
1.45 Encuentra las coordenadas del punto, donde los tres planos siguien-
tes se intersectan, x 1 2y ] z 5 6, 2x ] y 1 3z 5 ]13 y 3x ] 2y 1 3z 5 ]16
1.46 Sesenta alpinistas quedan atrapados en una montaña nevada, con 
alimentos para treinta días, considerando que se reparten la misma ración 
entre ellos. Doce días después, 10 de ellos deciden ir por ayuda, llevando 
consigo alimentos para cuatro días de camino, manteniendo la ración 
original de comida. ¿Cuánto tiempo les durará el alimento a los que se 
quedaron en la montaña? 
1.47 Obtén la descomposición en funciones parciales de la siguiente 
igualdad.
4 13 9
2 3 3 1
2
3 2
x x
x x x
A
x
B
x
C
x
+ �
+ �
= +
+
+
�
1.48 Determina el valor de los ángulos de un paralelogramo, donde dos 
de sus ángulos consecutivos difieren en 20 grados.
1.49 Pedro y Arturo salieron de Toluca rumbo a Guadalajara, en sus 
respectivos automóviles. Pedro condujo a una velocidad constante de 
60 km/h. Si Arturo partió una hora después que Pedro, pero a una veloci-
dad constante de 90 km/h. A qué distancia de Toluca y en cuánto tiempo 
Arturo alcanzó a Pedro.
1.50 Considera la siguiente función como una solución general de una 
ecuación diferencial,
f t Ae Be Cet t t( ) = + +� 3
Determina el valor de las constantes, de tal forma que la función cumpla 
con:
f f f( ) , '( ) , ''( )0 0 0 1 0 2= = � = �
1.51 Para el siguiente sistema de ecuaciones lineales, determina el valor 
del parámetro k, de tal forma que el sistema no tenga solución.
x1 1 2y 1 kz 5 6 
3x 1 6y 1 8z 5 4
1.52 Una empresa fabrica tres modelos de computadoras: modelo A, 
modelo B y modelo C. Para armar una computadora modelo A necesita 
12 horas de ensamblado, 2.5 horas para probarla y 2 horas más para 
instalar sus programas. Para una B requiere 10 horas de ensamblado, 
2 horas para probarla y 2 horas para instalar programas. Y por último, 
para una C requiere 6 horas para ensamblado, 1.5 horas para probarla y 
1.5 horas para instalar programas. Si la fábrica dispone de 556 horas para 
ensamble, 120 para pruebas y 103 horas para instalación de programas, 
¿cuántas computadoras se pueden producir en un mes?
1.53 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
x x x x x x
x x x x x x
x
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
2 3 4 4
5 4 4 5 9
4
� + � + � =
� � � + + =
11 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1
3 2 8
2 3 2 5 2
� + � + � =
+ � + � + =
�
x x x x x
x x x x x x
x 33 2 2 9
2 3 2 7
2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
x x x x x
x x x x x x
+ � + � =
� + � + � + = �
Figura 1.10
1.42 Considera los siguientes sistemas de ecuaciones lineales. Verifica 
que son sistemas de ecuaciones lineales equivalentes. 
]x1 ] 4x2 ] 5x4 5 ]6 
2x1 1 8x2 ] x3 1 6x4 5 8 
]2x1 ] 8x2 1 3x3 1 2x4 1 x5 5 2
 
]x1 ] 4x2 ] 5x4 5 ]6 
5x1 1 20x2 1 x3 1 29x4 5 34 
4x1 1 16x2 1 x3 1 24x4 1 x5 5 30
1.43 Determinala ecuación del plano que contiene a los puntos de 
coordenadas P1 5 (1, 1, ]1), P2 5 (]2, ]2, 2) y P3 5 (1, ]1, 2).
1.44 Considera dos autos que parten de una ciudad, hacia el mismo 
destino, en horas diferentes y con la misma velocidad, de tal manera 
que la diferencia en distancia, entre ellos, es de 4 km. Media hora más 
tarde de haber salido el segundo auto, los dos autos ahora viajan con 
una velocidad que es 2/3 la velocidad inicial. Si el primer auto tarda en 
llegar 35 minutos y el segundo auto 45 minutos, cual es la distancia que 
recorrieron.
R1
R4
A B
1
2
R2
R3
E1
i1
1
1
]
]
i2
i3
E2
27Problemas aplicados a la realidad
Problemas para resolver con tecnología
Una importante empresa química produce diferentes productos químicos y uno de sus desechos es el 
SO2; el ingeniero responsable del área de calidad y cuidado ambiental debe balancear las siguientes re-
acciones químicas. Con el apoyo del álgebra lineal, determina las constantes que balancean las siguientes 
ecuaciones químicas.
a) FeS2 1 O2 � Fe2O3 1 SO2
b) C4H10 1 O2 � CO2 1 H2O
En un circuito eléctrico, si dos resistencias R1 y R2 están conectadas en paralelo, entonces la resistencia 
total RT se determina con la fórmula 
1 1 1
1 2R R RT
= + . Dadas tres resistencias A, B y C, y sabiendo que la 
resistencia total de A y B conectadas en paralelo es de 48 ohms, la de B y C es de 80 ohms y la de A y C es 
de 60 ohms, encuentra A, B y C. Las ecuaciones resultantes no son lineales, pero con el cambio de variable 
adecuado, se convierten en ecuaciones lineales.
U
S
a
e
a
b
E
to
re
d
a
Figura 1.11
1.54 Para el siguiente sistema de ecuaciones lineales, determina las con-
diciones que deben cumplir los parámetros a, b y c, para que el sistema:
i) Tenga solución única. 
ii) No tenga solución. 
iii) Tenga un número infinito de soluciones.
x 1 z 5 2 
x 1 y 5 2 
y 1 z 5 2 
ax 1 by 1 cz 5 0
1.55 Considera una red de cinco nodos, como se muestra en la figura, 
donde se indica la cantidad y dirección del flujo de la información en 
dicha red. Cuando la información sale de un nodo tiene signo positivo y 
signo negativo cuando entra. 
i) Determina la cantidad de información que sale y entra en cado uno de 
los nodos.
ii) Bajo qué condiciones no habrá flujo por x1 y x3
3
20
1
10 10
4 5
2
x2 x3
x1 x4
x5
1.56 Encuentra los valores del multiplicador de Lagrange, en el siguiente 
sistema de ecuaciones lineales, de tal forma que se obtengan los tres 
diferentes tipos de solución.
x ] 3z 5 ]3 
2x 1 y ] z 5 ]2 
x 1 2y 1 z 5 1
1.57 Una población estable de 35 000 aves vive en tres islas. Cada año, 
10% de la población de la isla A emigra a la isla B; 20% de la población 
de B emigra a la isla C, y 5% de la población de C emigra a A. Calcula el 
número de pájaros que vive en cada isla si la población de cada una no 
varía de un año a otro. 
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PROBLEMAS RETO
1
2
La materia y sus cambios UNIDAD
28
1
P
ro
b
lem
as p
ara reso
lver
Una mesa grande para una sala de conferencias debe tener la forma de un rectángulo con dos semicírculos 
en los extremos, como se muestra en la figura. Encuentra la longitud y el ancho de la parte rectangular, 
suponiendo que el perímetro de la mesa es de 30 metros y que el área de la parte rectangular debe ser el 
doble de la suma de las áreas de los dos extremos.
PROBLEMAS RETO
U
e
s
d
REFERENCIAS
Bru, Rafael, Joan-Josep Climent, Josep Mas y Ana Urbano (200 l). Álgebra lineal. Alfaomega.
Grossman, Stanley I. (2004). Álgebra lineal. México, McGraw-Hill (6ª edición). 
Harvey, Gerber (1992). Álgebra lineal. Grupo Editorial Iberoamérica. 
Howard, Anton (2001). Introducción al álgebra lineal. Limusa Wiley (2ª edición).
Kolman, Bernard y David Hill (2007). Álgebra lineal. México. Pearson Prentice Hall (8ª edición).
Krutitskaya, N. C. y Shishkin, A. A. (1985). Álgebra lineal, preguntas y problemas. Editorial Mir. 
Lang, S. (1971). Linear Algebra. Publishing Company (2ª edición). 
Larson, Ron y David C. Falvo (2010). Elementary Linear Algebra. Brooks/COLE Cengage 
Learning. 
Leon, S. J. (1990). Álgebra lineal con aplicaciones. Macmillan.
Lipschutz, Seymour (2008). Álgebra lineal, McGraw-Hill (2ª edición). 
Nakos, George y David Joyner (1999). Álgebra lineal con aplicaciones, Thomson.
Noble, B. y J. W. Daniel (1988). Álgebra lineal aplicada. Prentice Hall (3ª edición). 
Pole, David (2004). Álgebra lineal una introducción moderna. Thomson. 
Strang, Gilbert (2005). Álgebra lineal y sus aplicaciones. Thomson (4ª edición). 
DIRECCIONES ELECTRÓNICAS
Mathematica, Wolfram Research, http://www.wolfram.com.��
Maple, Maplesoft, http://www.maplesoft.com.��
3
x
y
Figura 1.12
http://www.wolfram.com.
http://www.maplesoft.com.
UNIDAD 2
Matrices y 
determinantes
¿QUÉ SABES?
 ¿Cuántos tipos de matrices conoces?
 ¿Sabes realizar operaciones entre matrices?
 ¿Puedes resolver un sistema de ecuaciones lineales usando una matriz?
 ¿Dónde podrías utilizar una matriz para resolver un problema?
OBJETIVOS
 Conocer la estructura de una matriz y los diferentes tipos que existen.
 Comprender las diferentes operaciones del álgebra entre matrices.
 Representar un sistema de ecuaciones lineales mediante una matriz y obtener la solución.
 Asociar el determinante con la solución de un sistema de ecuaciones lineales.
 Obtener el determinante de una matriz y analizar las propiedades de los determinantes.
 Resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando los determinantes.
 Utilizar las matrices y determinantes para resolver diversos problemas cotidianos. 
30
UNIDAD Matrices y determinantes2
2.1 Introducción
Un objeto importante dentro de las matemáticas, por sus usos y aplicaciones en todas las áreas del conoci-
miento, es la matriz. Muchos problemas que surgen al resolver problemas de la vida cotidiana, es más sen-
cillo entenderlos y resolverlos si los representamos mediante matrices. Las matrices se rigen por un álgebra, 
que nos ayuda a trabajar con ellas. Tienen una estructura bien definida, de la cual, una de las principales 
propiedades es que se puede obtener de ellas el determinante para matrices cuadradas.
Los determinantes son escalares (números reales) asociados a matrices cuadradas que nos dan mucha in-
formación sobre la matriz y, por tanto, sobre el problema particular que estemos resolviendo; también sirven 
para resolver sistemas de ecuaciones lineales, bajo ciertas condiciones.
Estas propiedades y características de las matrices y determinantes se estudian en esta segunda unidad; 
con especial énfasis en su relación con los sistemas de ecuaciones lineales y su solución.
2.2 Definición de matriz
Una matriz A de tamaño m 3 n es un arreglo rectangular de m ∙ n números reales, dispuestos en m filas y en 
n columnas. Esto es, una matriz en general, la cual tiene la siguiente forma:
A
a a a a
a a a a
a a a a
n
n
n=
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
a a a am m m mn1 2 3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
donde los elementos que la conforman son:
aij 5 coeficientes o elementos de la matriz (escalares o números reales).
 i 5 1, 2, 3, …, m indica el número de fila de la matriz.
 j 5 1, 2, 3, …, n indica el número de columna de la matriz.
El uso de las matrices es muy común en diversas áreas, como mecánica, biolo-
gía, economía, computación, etcétera. Con base en el problema que se quiera 
resolver, es posible definir diferentes tipos de matrices, que representan las 
propiedades y características del sistema a resolver.
A continuación se definen algunas matrices importantes y representativas, 
que se utilizan constantemente en el texto. Existen muchas más que definire-
mos conforme las utilicemos. Todas las matrices tienen coeficientes reales.
1. Si en una matriz A tenemos que m 5 n (el número de filas es igual el número de columnas), entonces A es 
una matriz cuadrada.
A
a a a a
a a a a
a a a a
n
n
n=
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
a a a an n n nn1 2 3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
2. Si en una matriz