Aplicación de las Ecuaciones Diferenciales - Básico

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Aplicaciones de las 
ecuaciones diferenciales 
Enfoque práctico 
Lic Dylana Freer Paniagua. MBA 
 
Índice 
 Propósitos y motivación. 
 Ecuación diferencial. Conceptos básicos. 
 Áreas de aplicación: 
• Enfriamiento y calentamiento de cuerpos. 
• Circuitos eléctricos. 
• Ecuación logística. 
• Deflexión de una viga 
 Reflexiones finales. 
 
 
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Propósitos del Webinar 
Los participantes podrán: 
 Conocer algunos tipos de ecuaciones 
diferenciales. 
 
 Conocer aplicaciones de las ecuaciones 
diferenciales en física e ingeniería. 
 
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Agenda 
 Motivación 
 Definiciones básicas sobre ecuaciones 
diferenciales 
 Áreas de aplicación 
 Ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales 
 Cierre 
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Motivación 
 ¿Para qué sirve la matemática? 
 
 ¿Por qué debemos llevar este curso? 
 
 “La matemática es el alfabeto con el que Dios 
ha escrito el Universo” Galileo Galilei 
 (Novixar, 2009) 
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Ecuación diferencial 
 Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación 
que contiene las derivadas de una o más 
función(es) dependiente(s) de una o más 
variables independientes. (Zill & Wright, 2012) 
 Ejemplos 
 
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Condiciones iniciales 
 Cuando una ecuación diferencial tiene infinitas 
soluciones, se puede especificar una solución 
concreta imponiendo una condición inicial. Esto 
es, que la solución cumpla una condición y(x0)=y0 
para ciertos valores específicos x0 y y0. (Rogawski, 
2012) 
 
 
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Ecuación lineal 
 Una ecuación diferencial lineal es la que se 
puede expresar de tal forma que la función y(x) y 
sus derivadas aparezcan de grado 1 y los 
coeficientes de estos términos sean función 
solamente de x. (Simmons & Krantz, 2007) 
 Una ecuación diferencial lineal de orden n se 
expresa de la forma: 
 
 
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Áreas de aplicación de las 
ecuaciones diferenciales 
 Fenómenos físicos: enfriamiento-calentamiento 
de cuerpos, caída libre de objetos. 
 Crecimiento poblacional. 
 Análisis de circuitos. 
 Soluciones químicas. 
 Vibraciones y oscilaciones. 
 Pandeo de vigas. 
 Deflexión de columnas. 
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Ejemplos concretos 
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Enfriamiento y calentamiento 
de cuerpos 
 Ley de Newton 
La velocidad con que la temperatura de un 
cuerpo cambia es proporcional a la diferencia 
que hay entre la temperatura del cuerpo y la del 
medio que lo rodea. (Zill & Wright, 2012) 
T: temperatura del cuerpo 
Tm: temperatura del medio 
t: tiempo 
k: constante de proporcionalidad 
 
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Solución de la ecuación 
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Los valores de c y k se pueden hallar a 
partir de las condiciones iniciales del 
problema que se va a resolver. 
Aplicaciones de esta ley 
 Tratamientos térmicos en metales y otros 
materiales 
 Modelos climáticos 
 Diseño de electrodomésticos y máquinas 
 Diseño de aislantes térmicos 
 
 
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Circuitos eléctricos 
Elementos que conforman un 
circuito 
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Leyes de Kirchhorff 
 El voltaje E(t) que se genera en un lazo cerrado 
debe ser igual a la suma de las caídas de voltaje 
en el lazo. 
 
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Aplicaciones de las ecuaciones 
en circuitos 
 Determinar la corriente en un circuito. 
 Determinar, a nivel industrial, el consumo de las 
máquinas. 
 Seleccionar equipos de protección eléctrica 
(breaker). 
 Determinar el diámetro ideal de los conductores 
de corriente. 
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Ejemplo particular 
 Encontrar una ecuación de la corriente en función del 
tiempo si la corriente inicial está representada por I0 y 
se aplica un fem constante E0. Considere un circuito 
solamente con resistor e inductor. 
 Solución: 
Ecuación: 
Condiciones iniciales: i(0)= I0 
Solución de la ecuación lineal: 
 
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La ecuación logística 
 Utilizada para poblaciones que crecen 
exponencialmente bajo ciertas condiciones 
ambientales. 
 
 
 k >0 es la constante de crecimiento y A>0 es constante 
de capacidad de carga. 
La solución de dicha ecuación se puede expresar de la 
forma: (Rogawski, 2012) 
 
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Ejemplo Propagación de 
un rumor 
 Considere una escuela con 1000 estudiantes. Sea y(t) la 
fracción de la población estudiantil que ha escuchado un 
rumor en el tiempo t. 
 Suponga que la tasa a la cual se extiende el rumor es 
proporcional al producto de la fracción y de la población que 
conoce el rumor por la fracción que todavía no lo ha 
escuchado. Si a las 8:00 am, 80 estudiantes conocen el rumor y 
al mediodía la mitad de la escuela ya lo sabe. 
 Determine cuándo el 90% de los estudiantes ya conocerá el 
rumor. 
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Solución 
 La ecuación que modela la propagación del rumor es 
 
 Las condiciones iniciales son y= 0,08 para t=0. Además, y= 0,5 si 
t=4. 
 De ahí, que al resolver la ecuación, se obtiene 
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 Aplicando las condiciones iniciales y despejando para t se 
obtiene: 
 
 
 Siendo y se obtiene que el tiempo es 
aproximadamente 8 horas. 
 Así que a eso de las 4 de la tarde se conocerá el rumor por 
parte del 90% de los estudiantes. 
 
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Aplicación de la ecuación 
logística 
 Biología 
 Propagación de un rumor 
 Propagación de una enfermedad 
 Crecimiento poblacional 
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Deflexión de una viga 
Una viga es un elemento estructural que soporta 
cargas aplicadas en varios puntos a lo largo del 
elemento. (Beer, Johnston, DeWolf, & Mazurek, 
2013) 
 
 
 
 (Moaveni, 2008) 
 
 
 
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(Moaveni, 2008) 
Ecuación diferencial 
 La deflexión se rige por una ecuación diferencial 
de cuarto orden: 
 
 Donde E es el módulo de Young de elasticidad 
de la viga. 
 I es el momento de inercia de un corte 
transversal de la viga. 
 
 (Zill & Wright, 2012) 
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Ejemplo 
 Considerando una viga embebida en ambos 
extremos y que se le distribuye una carga 
constante de manera uniforme a todo lo largo 
de la viga. La curva de deflexión se deduce a 
partir de 
 
 Integrando la ecuación se obtiene 
 
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Continuación 
 Aplicando las condiciones iniciales 
 
 
 
 Se despejan las constantes ci , obteniéndose finalmente 
 
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Representación 
 Si se define por ejemplo que la viga sea de 1m de 
longitud y , una representación gráfica de la 
deflexión de la viga es 
 
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Usos 
 Cálculo de punto máximo de deflexión 
 Aplicación en diseño de estructuras 
 Ubicación de puntos estratégicos donde colocar 
aros 
 Optimización de materiales 
 
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Reflexiones finales 
 La matemática se utiliza en gran cantidad de modelos. 
 En lo cotidiano se presenta con frecuencia. 
 Las aplicaciones motivan el aprendizaje de las 
matemáticas. 
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Bibliografía 
 Beer, F., Johnston, R., DeWolf, J., & Mazurek, D. (2013). Mecánica de 
Materiales (Sexta edición ed.). México: McGraw-Hill Education. 
 Moaveni, S. (2008). Finite Element Analysis. Theory and application with 
ANSYS (Third edition ed.). Makato: Pearson Education. 
 Novixar. (2009, 6 1). Proverbia. Retrieved Noviembre 12, 2013, from 
http://www.proverbia.net/citasautores.asp 
 Rogawski, J. (2012). Cálculo: una variable (Segunda edición ed.). España: 
Reverté. 
 Simmons, G., & Krantz, S. (2007). Ecuaciones diferenciales. Teoría, técnica 
y práctica. México: McGraw-Hill Education. 
 Zill, D., & Wright, W. (2012). Matemáticas Avanzadas para Ingeniería 
(Cuarta edición ed.). México, Distrito Federal: McGraw-Hill. 
 
 
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Información de contacto 
Dylana Freer Paniagua 
Profesora y coordinadora en la Universidad Latina, 
Heredia. 
 Correo electrónico 
dylana.freer@ulatina.cr 
dylanafreerpaniagua@gmail.com 
 
¡Muchas gracias! 
31 
mailto:dylana.freer@ulatina.cr
mailto:dylanafreerpaniagua@gmail.com