01 Trabajo Práctico Nro 1 (INCREMENTO Y DIFERENCIAL)

Vista previa del material en texto

1 
 
Matemática 
1er. cuatrimestre del año 2020 
Trabajo Práctico Nro. 1 
Taller de Resolución de Problemas 
Compendio de problemas con resolución 
(APLICACIONES DE LA DERIVADA: INCREMENTO Y DIFERENCIAL) 
 
 
Este es un documento realizado por lxs docentes Marcela Araujo (Jefa de Trabajos Prácticos) y 
Mariano Reynoso (Ayudante) para lxs alumnxs de las comisiones 4 y 5 de la materia Matemática 
de las carreras de Farmacia y Bioquímica de la Facultad de Farmacia y Bioquímica de la 
Universidad de Buenos Aires. 
2 
 
INCREMENTO Y DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN 
Vamos a recordar los siguientes conceptos que son sumamente importantes para entender otras 
aplicaciones que tiene la derivada de una función. Lo primero que debemos tener en mente es 
que vamos a tener una función 𝑓, posible de derivar y de construir, consecuentemente, la recta 
tangente 𝑦𝑡 en un determinado punto con abscisa, que en general llamamos 𝑥0 
Vamos a entender por variación de una función a ∆𝑓 (lo pueden leer como delta 𝑓 si quieren) y 
vamos a darle el siguiente significado: es el incremento que experimenta la imagen de la función 
𝒇 cuando pasa de tomar el valor de abscisa 𝑥0 a tomar el valor de abscisa 𝑥0 + ∆𝑥 entendiendo 
a ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥0 y la expresión que lo define es la siguiente: 
∆𝑓 = 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0) 
Ahora, vamos a introducir el concepto de diferencial de una función, que lo vamos a notar como 
𝑑𝑓 y lo vamos a entender como el incremento que experimenta la imagen de la recta tangente 
𝒚𝒕 cuando pasa de tomar el valor de abscisa 𝑥0 a tomar el valor de abscisa 𝑥0 + ∆𝑥 entendiendo 
a ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥0 y la expresión que lo define es la siguiente: 
𝑑𝑓 = 𝑓′(𝑥0)∆𝑥 
Que, teniendo en cuenta lo que significa ∆𝑥 podemos escribir: 
𝑑𝑓 = 𝑓′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) 
Ahora que tenemos a mano estos dos conceptos con sus expresiones asociadas, vamos a resolver 
parte de un ejercicio. 
Ejercicio 13 
𝑓(𝑥) = −
1
2
𝑥2 
para 𝑥0 = 2 y ∆𝑥 = 1 
Vamos a calcular primero el incremento de la función: 
∆𝑓 = 𝑓(2 + 1) − 𝑓(2) 
∆𝑓 = −
1
2
32 − (−
1
2
22) 
∆𝑓 = −4,5 + 2 
∆𝑓 = −2,5 
Y ahora calcularemos el diferencial de la función o el incremento de la recta tangente. 
𝑑𝑓 = 𝑓′(2) ∙ 1 
𝑓′(𝑥) = −
1
2
∙ 2𝑥 ⇒ 𝑓′(2) = −
1
2
∙ 2 ∙ 2 ⇒ 𝑓′(2) = −2 
3 
 
𝑑𝑓 = −2 ∙ 1 = −2 
Podemos observar que los valores del incremento de la función ∆𝑓 y del diferencial 𝑑𝑓 son 
próximos, por lo tanto podemos decir en términos generales que: 
∆𝑓 ≅ 𝑑𝑓 
Ahora veamos las representaciones gráficas para poder entenderlo un poco mejor: 
 
Vemos la parábola, que es la representación gráfica de 𝑓, la recta tangente 𝑦𝑡 (en rojo) que está 
ubicada en el punto (de tangencia) 𝐴 = (2 ; 𝑓(2)), vemos también que el valor absoluto del 
diferencial, es decir, |𝑑𝑓| = 2 es la medida del segmento 𝐵𝐷 (recuerden que es el incremento 
que experimenta la recta tangente cuando varía la variable independiente 𝑥), y vemos que |∆𝑓| =
2,5 es la medida del segmento 𝐵𝐶 
Podemos ver que, si realizamos la diferencia entre los valores absolutos del incremento y el 
diferencial, es posible ver que ésta resulta 0,5, es decir que la recta tangente bajo la misma 
variación de la variable independiente 𝑥 varía su imagen en magnitud muy próxima a lo que lo 
hace la función 𝑓, es por ello que anteriormente usábamos valores de la imagen de la recta 
tangente para aproximar valores de la imagen de la función ¿Vamos entendiendo? 
Ejercicio 15 
Nos piden calcular la variación de la función y el diferencial para la función de fórmula 𝑓(𝑥) =
𝑥2 − 1 para 𝑥0 = 2 y un ∆𝑥 cualquiera. 
Vamos a calcular primero el incremento de la función: 
4 
 
∆𝑓 = 𝑓(2 + ∆𝑥) − 𝑓(2) 
∆𝑓 = (2 + ∆𝑥)2 − 1 − (22 − 1) 
∆𝑓 = 4 + 4∆𝑥 + (∆𝑥)2 − 1 − 3 
∆𝑓 = 4∆𝑥 + (∆𝑥)2 
Y ahora calcularemos el diferencial de la función o el incremento de la recta tangente. 
𝑑𝑓 = 𝑓′(2)∆𝑥 
𝑓′(𝑥) = 2𝑥 ⇒ 𝑓′(2) = 2 ∙ 2 ⇒ 𝑓′(2) = 4 
𝑑𝑓 = 4∆𝑥 
Observemos que el diferencial es la parte lineal del incremento con respecto a ∆𝑥 
∆𝑓 = 4∆𝑥 + (∆𝑥)2 
∆𝑓 = 𝑑𝑓 + (∆𝑥)2 
∆𝑓 − 𝑑𝑓 = (∆𝑥)2 
Entonces, observemos que si ∆𝑥 es pequeño talque |∆𝑥| < 1, entonces (∆𝑥)2 es menor aún, 
por lo que resulta despreciable y ∆𝑓 ≅ 𝑑𝑓 
Podemos ensayar distintos valores de ∆𝑥 para, empíricamente, poder darnos una idea de las 
anteriores deducciones: 
Sí ∆𝑥 = 1 entonces ∆𝑓 − 𝑑𝑓 = 12 = 1 
Sí ∆𝑥 = 0,1 entonces ∆𝑓 − 𝑑𝑓 = (0,1)2 = 0,01 
Sí ∆𝑥 = 0,01 entonces ∆𝑓 − 𝑑𝑓 = (0,01)2 = 0,0001 
Vemos que cuando menor es el valor absoluto ∆𝑥, la diferencia entre la variación de la función y 
su diferencial es menor, lo que permite aproximar uno por el otro. 
Llegando a estas conclusiones vamos a resolver el siguiente ejercicio. 
Ejercicio 16 
En este ejercicio nos interesa aproximar el valor de una función usando el diferencial ¡HA POR 
ELLO! 
Supongamos que tenemos una función de fórmula 𝑓(𝑥) y un 𝑥0, y en ese 𝑥0 existe y es fácil 
calcular la función y su derivada. Si quiero calcular aproximadamente la función en un valor 
cercano a 𝑥0, es decir en un 𝑥0 + ∆𝑥, podemos utilizar el diferencial teniendo en cuenta la 
aproximación: 
∆𝑓 ≅ 𝑑𝑓 
5 
 
𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0) ≅ 𝑑𝑓 
𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) ≅ 𝑑𝑓 + 𝑓(𝑥0) 
𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) ≅ 𝑓
′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) + 𝑓(𝑥0) 
𝑓(𝑥0 + 𝑥 − 𝑥0) ≅ 𝑓
′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) + 𝑓(𝑥0) 
𝑓(𝑥) ≅ 𝑓′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) + 𝑓(𝑥0) 
Lo anterior indica que las imágenes de la función se pueden aproximar con las imágenes de la 
recta tangente bajo las condiciones determinadas anteriormente y que profundizaron o 
profundizarán en las Clases Teóricas-Prácticas. 
Si queremos hallar un valor aproximado de √124
3
 entonces elijo la función de fórmula 𝑓(𝑥) =
√𝑥
3 y 𝑥0 = 125. Vamos a calcular el diferencial 𝑑𝑓 = 𝑓
′(𝑥0)∆𝑥 
Nos peguntamos ¿cuál es el valor de ∆𝑥? 
Pensemos que 124 = 𝑥0 + ∆𝑥 entonces 124 = 125 + ∆𝑥, por lo que 124 − 125 = ∆𝑥 = −1 
𝑓′(𝑥) =
1
3
𝑥−
2
3 ⇒ 𝑓′(125) =
1
3
125−
2
3 ⇒ 𝑓′(125) =
1
75
 
𝑑𝑓 =
1
75
(−1) = −
1
75
 
𝑓(124) ≅ 𝑑𝑓 + 𝑓(125) 
𝑓(124) ≅ −
1
75
+ 5 
𝑓(124) ≅ 4,986̂ 
Ejercicio 17 
Nos piden identificar el diferencial como parte lineal del incremento de la función con respecto 
a ∆𝑥 
Esta afirmación la habíamos planteado en el ejercicio 15, ahora veremos el ítem b de este 
ejercicio. 
∆𝑓 = 3𝑥2∆𝑥 + 3𝑥(∆𝑥)2 + (∆𝑥)3 + 6𝑥∆𝑥 + 3(∆𝑥)2 
Vemos que tenemos dos términos donde ∆𝑥 está elevada a la primera (que sería la parte lineal), 
entonces juntamos esos dos términos sacando factor común: 
∆𝑓 = (3𝑥2 + 6𝑥)∆𝑥 + 3𝑥(∆𝑥)2 + (∆𝑥)3 + 3(∆𝑥)2 
El primer termino luego de la igualdad es el diferencial: 
𝑑𝑓 = (3𝑥2 + 6𝑥)∆𝑥 
Ejercicio 18 
6 
 
Tenemos un recipiente esférico de radio 𝑅, que por efecto de una variación de temperatura 
aumenta el volumen cuando su radio crece. Tenemos a la función volumen de fórmula: 
𝑉 =
4
3
𝜋𝑅3 
Y nos piden hallar el aumento de volumen: 
∆𝑉 = 𝑉(𝑅 + ∆𝑅) − 𝑉(𝑅) 
∆𝑉 =
4
3
𝜋(𝑅 + ∆𝑅)3 −
4
3
𝜋𝑅3 
∆𝑉 =
4
3
𝜋[𝑅3 + 3𝑅2∆𝑅 + 3𝑅(∆𝑅)2 + (∆𝑅)3] −
4
3
𝜋𝑅3 
∆𝑉 =
4
3
𝜋𝑅3 + 4𝜋𝑅2∆𝑅 + 4𝜋𝑅(∆𝑅)2 +
4
3
𝜋(∆𝑅)3 −
4
3
𝜋𝑅3 
∆𝑉 = 4𝜋𝑅2∆𝑅 + 4𝜋𝑅(∆𝑅)2 +
4
3
𝜋(∆𝑅)3 
El diferencial es la parte lineal, entonces 𝑑𝑉 = 4𝜋𝑅2∆𝑅 
∆𝑉 = 𝑑𝑉 + 4𝜋𝑅(∆𝑅)2 +
4
3
𝜋(∆𝑅)3 
∆𝑉 − 𝑑𝑉 = 4𝜋𝑅(∆𝑅)2 +
4
3
𝜋(∆𝑅)3 
Si el radio 𝑅 es de 10 𝑐𝑚 y su aumento ∆𝑅 es de 1 𝑚𝑚 = 0,1 𝑐𝑚, el error que se comete al 
aproximar la variación por el diferencial es la resta: 
∆𝑉 − 𝑑𝑉 = 4𝜋10(0,1)2 +
4
3
𝜋(0,1)3 
∆𝑉 − 𝑑𝑉 = 0,129852496 
 
La próxima clase vamos a ver que es posible mejorar muchísimo las aproximaciones que 
realizamos.