MATE 2C 2019 Clave de correción Mesa combinada 03-10-2019

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Clave de corrección – Primer parcial Mesa combinada – 03/10/2019 1 
Matemática 
Clave de corrección primer parcial 
Mesa combinada - 03/10/2019 
 
 
 
Solución 
La ecuación de la recta buscada es de la forma 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
La ordenada al origen vale 5, esto quiere decir que, cuando 𝑥 = 0 tenemos que 
𝑦 = 5. 
Entonces, 
5 = 𝑎 ∙ 0 + 𝑏 → 𝑏 = 5 
Nos falta hallar el valor de la pendiente que será igual a la pendiente de la recta 
−𝑦 + 3𝑥 + 1 = 0 por ser paralelas. 
Pero, 
−𝑦 + 3𝑥 + 1 = 0 ↔ 𝑦 = 3𝑥 + 1 → la pendiente de esta recta es igual a 3 
Luego, 𝑎 = 3. 
La ecuación de la recta pedida es 
𝑦 = 3𝑥 + 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 1 (2 puntos) 
Hallar la ecuación de la recta cuya ordenada al origen vale 5 y es paralela 
a la recta −𝑦 + 3𝑥 + 1 = 0 
 
 
 
Clave de corrección – Primer parcial Mesa combinada – 03/10/2019 2 
 
 
Solución 
Si 𝑥 ∈ 𝐴 
 3(𝑥 − 2)2 − 5 ≤ 22 
 3(𝑥 − 2)2 ≤ 27 
(𝑥 − 2)2 ≤ 9 
√(𝑥 − 2)2 ≤ √9 
|𝑥 − 2| ≤ 3 
Recordamos que, |𝑡| ≤ 𝑎 ↔ −𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑎 
Entonces, 
|𝑥 − 2| ≤ 3 ↔ −3 ≤ 𝑥 − 2 ≤ 3 ↔ −1 ≤ 𝑥 ≤ 5 
Luego, 𝐴 = [−1; 5] 
 
 
 
 
Solución 
Debemos hallar la expresión de 𝑓−1. Si llamamos 𝑦 = 𝑓(𝑥) 
𝑦 = 2 +
3
𝑥
 
𝑦 − 2 =
3
𝑥
 
𝑥(𝑦 − 2) = 3 
𝑥 =
3
𝑦 − 2
 
Haciendo un cambio en el nombre de la variable tenemos que 𝑓−1(𝑥) =
3
𝑥−2
 
La función 𝑓−1 está bien definida si 𝑥 − 2 ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ 2. 
Luego, 𝐷𝑜𝑚(𝑓−1) = ℝ − {2} 
Ejercicio 2 (3 puntos) 
Expresar el siguiente conjunto como intervalo o unión de intervalos 
𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 3(𝑥 − 2)2 − 5 ≤ 22} 
 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
Hallar el dominio de la función 𝑓−1 siendo 𝑓(𝑥) = 2 +
3
𝑥
 
 
 
Clave de corrección – Primer parcial Mesa combinada – 03/10/2019 3 
 
 
Por ser 𝑓 una función cuadrática y ser negativa en el intervalo (−1; 3) sabemos 
que 𝑓(−1) = 0 y 𝑓(3) = 0. 
Entonces, 
𝑎 ∙ (−1)2 − 4 ∙ (−1) + 𝑐 = 0 ↔ 𝑎 + 4 + 𝑐 = 0 → 𝑐 = −4 − 𝑎 
 
Por otro lado, 
𝑎 ∙ (3)2 − 4 ∙ (3) + 𝑐 = 0 ↔ 9𝑎 − 12 + 𝑐 = 0 
 
Pero si 𝑐 = −4 − 𝑎, reemplazando en la última ecuación 
9𝑎 − 12 + (−4 − 𝑎) = 0 
9𝑎 − 12 − 4 − 𝑎 = 0 
8𝑎 − 16 = 0 → 𝑎 = 2 ∴ 𝑐 = −6 
 
 
Ejercicio 4 (3 puntos) 
Dada la función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 − 4𝑥 + 𝑐 el valor de las constantes 𝑎 y 𝑐 si se 
sabe que la función es negativa en el intervalo (−1; 3)