MATE_1C_2019_Clave_de_corrección_Segundo_parcial_mesa_combinada

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Clave de corrección – Mesa combinada 10/06/2019 1 
Matemática 
Clave de corrección segundo parcial 
Mesa combinada – 10/06/2019 
 
 
 
Sabemos que 𝑓(1) = 2. 
Por otro lado 
𝑓(1) = ln(12 − 𝑎 ∙ 1 + 10) + 2 = ln(11 − 𝑎) + 2 
 
Entonces: 
ln(11 − 𝑎) + 2 = 2 ↔ ln(11 − 𝑎) = 0 ↔ 11 − 𝑎 = 1 ↔ 𝑎 = 10 
 
 
 
 
La función estará bien definida si el argumento de la raíz cuadrada es un 
número mayor o igual cero. 
Para hallar el conjunto de positividad de 𝑥2 − 2𝑥 + 3 primero calculamos si la 
cuadrática tiene raíces. 
Para hallar las raíces usamos la fórmula de la resolvente: 
𝑥1,2 =
−(−2) ± √(−2)2 − 4 ∙ 1 ∙ 3
2 ∙ 1
=
2 ± √−8
2
 → 𝑁𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 
La cuadrática 𝑥2 − 2𝑥 + 3 no tiene raíces reales con lo cual es siempre positiva 
o siempre negativa. 
Para decir cuál es el signo evaluamos la cuadrática en, por ejemplo, 𝑥 = 1 
Ejercicio 1 (2 puntos) 
Hallar el valor de la constante 𝑎 ∈ ℝ si se sabe que 𝑓(1) = 2 siendo 
𝑓(𝑥) = ln(𝑥2 − 𝑎𝑥 + 10) + 2 
 
Ejercicio 2 (3 puntos) 
Hallar el dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 
𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 2𝑥 + 3 
 
 
Clave de corrección – Mesa combinada 10/06/2019 2 
12 − 2 ∙ 1 + 3 = 2 
 
Por lo tanto 𝑥2 − 2𝑥 + 3 > 0 cualquiera sea el valor de la variable 𝑥. 
 
Entonces, 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ 
 
Para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento debemos analizar el 
signo de la derivada primera de la función 𝑓. 
𝑓′(𝑥) =
1
2√𝑥2 − 2𝑥 + 3
(2𝑥 − 2) 
 
El dominio de la derivada primera es el conjunto de todos los números reales 
(al igual que la función). 
 
La derivada primera se anula si 
2𝑥 − 2 = 0 ↔ 𝑥 = 1 
Analizamos el signo de la derivada primera en los intervalos (−∞; 1), (1; +∞): 
o Si evaluamos en 0 ∈ (−∞; 1) tenemos que 𝑓′(0) = −
2
2√3
< 0. 
Entonces, la derivada primera es negativa en dicho intervalo. 
o Si evaluamos en 2 ∈ (1; +∞) tenemos que 𝑓′(2) =
2
2√3
> 0. 
Entonces, la derivada primera es positiva en dicho intervalo. 
 
La función es creciente en el intervalo (1; +∞) y decreciente en el intervalo 
(−∞; 1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Clave de corrección – Mesa combinada 10/06/2019 3 
 
 
Para resolver la integral aplicamos el método de sustitución: 
𝑢 = 𝑥3 + 3𝑥2 − 6𝑥 → 𝑑𝑢 = 3𝑥2 + 6𝑥 − 6 𝑑𝑥 ↔ 
1
3
𝑑𝑢 = (𝑥2 + 2𝑥 − 2) 𝑑𝑥 
 
∫(𝑥2 + 2𝑥 − 2) ∙ 𝑠𝑒𝑛( 𝑥3 + 3𝑥2 − 6𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛( 𝑢) 
1
3
𝑑𝑢 = 
= −
1
3
cos (𝑥3 + 3𝑥2 − 6𝑥) + 𝐾 
 
 
 
 
La recta 𝑦 = 𝑎 es una asíntota horizontal de la función si lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 𝑎. 
Cuando 𝑥 → +∞ tenemos que 2𝑥 → +∞ y 
1
4−2𝑥
→ 0. 
Entonces 
lim
𝑥→+∞
1
4 − 2𝑥
+ 3 = 3 
Cuando 𝑥 → −∞ tenemos que 2𝑥 → 0 y 
1
4−2𝑥
→
1
4
. 
Entonces 
lim
𝑥→+∞
1
4 − 2𝑥
+ 3 =
1
4
+ 3 =
13
4
 
 
La recta 𝑦 = 3 es una asíntota horizontal a izquierda y la recta 𝑦 =
13
4
 es una 
asíntota horizontal a derecha. 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
Calcular la siguiente integral 
∫(𝑥2 + 2𝑥 − 2) ∙ 𝑠𝑒𝑛( 𝑥3 + 3𝑥2 − 6𝑥) 𝑑𝑥 
 
Ejercicio 4 (3 puntos) 
Dada la función 
𝑓(𝑥) =
1
4 − 2𝑥
+ 3 
determinar mediante el uso de límites la existencia o no de asíntotas 
verticales y horizontales. 
 
 
 
 
Clave de corrección – Mesa combinada 10/06/2019 4 
La recta 𝑥 = 𝑏 es una asíntota vertical si lim
𝑥→𝑏
𝑓(𝑥) = ∞. 
Los valores de "𝑏", candidatos a ser posibles asíntotas verticales, son aquellos 
en los que el denominador de la función se anula. 
4 − 2𝑥 = 0 ↔ 2𝑥 = 4 ↔ 𝑥 = 2 
lim
𝑥→2
1
4 − 2𝑥
+ 3 = ∞ 
 
La recta de ecuación 𝑥 = 2 es una asíntota vertical.