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Clave de corrección – Segundo turno Tema 1 1 
Matemática 
Clave de corrección segundo parcial 
Segundo turno 12/06/2019 
Tema 1 
 
 
 
El dominio de la función serán todos aquellos valores para los cuales el 
argumento de la función logaritmo es un número estrictamente mayor a cero. 
Entonces, pedimos 
7 − 3𝑥 > 0 ↔ −3𝑥 > −7 ↔ 3𝑥 < 7 ↔ 𝑥 <
7
3
 ↔ 𝑥 ∈ (−∞;
7
3
) 
Entonces, 
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = (−∞;
7
3
) 
Para hallar el conjunto de ceros debemos resolver la ecuación 
log4(7 − 3𝑥) − 2 = 0 
Entonces (utilizando propiedades de la función logaritmo) 
log4(7 − 3𝑥) − 2 = 0 ↔ log4(7 − 3𝑥) = 2 ↔ 4
2 = 7 − 3𝑥 
↔ 16 = 7 − 3𝑥 ↔ 3𝑥 = 7 − 16 ↔ 3𝑥 = −9 → 𝑥 = −3 
El dominio de la función es el intervalo (−∞;
7
3
). 
El conjunto de ceros de la función es 𝐶0 = {−3} 
 
Ejercicio 1 (2 puntos) 
Determinar el dominio y el conjunto de ceros de la función 
𝑓(𝑥) = log4(7 − 3𝑥) − 2 
 
 
Clave de corrección – Segundo turno Tema 1 2 
 
 
El dominio de la función es el conjunto de los números reales. 
La derivada primera de la función es 
𝑓′(𝑥) = 2(𝑥2 − 1)(2𝑥) = 4𝑥(𝑥2 − 1) 
y también está definida en el conjunto de los números reales. 
Buscamos el o los valores para los cuales la derivada primera se anula. 
𝑓′(𝑥) = 0 ↔ 4𝑥(𝑥2 − 1) = 0 ↔ 𝑥 = 0 , 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛, 𝑥2 − 1 = 0 
𝑥2 − 1 = 0 ↔ 𝑥2 = 1 ↔ 𝑥 = 1 𝑜 𝑥 = −1 
La derivada primera de la función se anula en 𝑥 = 0, 𝑥 = 1, 𝑥 = −1. 
Analizamos la monotonía de la función (cuando es creciente o decreciente) 
en los intervalos determinados por las raíces de la derivada primera de la 
función. 
Intervalos a analizar: 
(−∞;−1) , (−1; 0) , (0; 1) , (1;+∞) 
Intervalo (−∞;−𝟏) 𝒙 = −𝟏 (−𝟏; 𝟎) 𝒙 = 𝟎 (𝟎; 𝟏) 𝒙 = 𝟏 (𝟏;+∞) 
Derivada 
primera 
𝑓′(−2) < 0 𝑓′(−1) = 0 𝑓′ (−
1
2
) > 0 𝑓′(0) = 0 𝑓′ (
1
2
) < 0 𝑓′(1) = 0 𝑓′(2) > 0 
Función Decrece Mínimo Creciente Máximo Decrece Mínimo Creciente 
 
Máximo de la función: (0; 𝑓(0)) = (0; 1) 
Mínimos de la función: 
(−1; 𝑓(−1)) = (−1; 0) 
(1; 𝑓(1)) = (1; 0) 
Ejercicio 2 (3 puntos) 
Hallar, en caso de existir, los puntos máximos y mínimos de la función 
𝑓(𝑥) = (𝑥2 − 1)2 
Justificar si los puntos hallados son máximos, mínimos. 
 
 
Clave de corrección – Segundo turno Tema 1 3 
 
 
Una condición necesaria para que la recta 𝑥 = 3 sea una asíntota vertical es 
que la función no esté definida en dicho valor. 
En este caso, para que la función no esté definida en 𝑥 = 3 debe ocurrir que 
4 ∙ (3) − 2𝑑 = 0 ↔ 12 − 2𝑑 = 0 ↔ 𝑑 = 6 
La función queda como 
𝑓(𝑥) =
7𝑥4 + 5
4𝑥 − 12
 
Calculamos el límite de la función cuando 𝑥 tiende a 3. 
lim
𝑥→3
 
7𝑥4 + 5
4𝑥 − 12
= ∞ 
ya que cuando 𝑥 tiende a 3 el denominador tiende a cero y el numerador a 
un número estrictamente mayor a cero. 
Recordamos que la recta 𝑦 = 𝑎 es una asíntota horizontal de la función si 𝑓 
si lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 𝑎 (el límite es un número finito) 
En este caso 
lim
𝑥→∞
7𝑥4 + 5
4𝑥 − 12
= lim
𝑥→∞
7𝑥3 +
5
𝑥
4 −
12
𝑥
= ∞ 
ya que 
12
𝑥 𝑥→∞ 
→ 0 , 4 −
12
𝑥
 
 𝑥→∞ 
→ 4 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
Hallar el valor de la constante 𝑑 ∈ ℝ para que la recta de ecuación 𝑥 = 3 
sea una asíntota vertical de la función 
𝑓(𝑥) =
7𝑥4 + 5
4𝑥 − 2𝑑
 
Decidir, justificando con el cálculo del límite que corresponda, si la función 
tiene asíntotas horizontales. 
. 
 
 
 
Clave de corrección – Segundo turno Tema 1 4 
5
𝑥 𝑥→∞ 
→ 0 , 7𝑥3 +
5
𝑥
 
 𝑥→∞ 
→ ∞ 
Para 𝑑 = 6 la función tiene una asíntota vertical en 𝑥 = 3. 
La función no tiene asíntotas horizontales. 
 
 
 
 
 
Primero buscamos las abscisas de los puntos (𝑥; 𝑦) donde se cruzan las 
gráficas de las funciones. Para esto planteamos 
𝑥 + 1 = −𝑥2 + 6𝑥 − 3 ↔ 𝑥 + 1 + 𝑥2 − 6𝑥 + 3 = 0 ↔ 𝑥2 − 5𝑥 + 4 = 0 
Hallamos las raíces de la cuadrática resultante: 
𝑥1,2 = 
−(−5) ± √(−5)2 − 4(1)(4)
2(1)
=
5 ± √25 − 16
2
=
5 ± √9
2
=
5 ± 3
2
 
→ 𝑥1 = 1 𝑥2 = 4 
El área limitada por las gráficas de las funciones la calculamos como 
á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ó𝑛 = ∫[(−𝑥2 + 6𝑥 − 3) − (𝑥 + 1)]
4
1
𝑑𝑥 = ∫[−𝑥2 + 6𝑥 − 3 − 𝑥 − 1]
4
1
𝑑𝑥 = 
Ejercicio 4 (3 puntos) 
Calcular el área de la región delimitada por las gráficas de las funciones 
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1, 𝑔(𝑥) = −𝑥2 + 6𝑥 − 3 
 
 
 
Clave de corrección – Segundo turno Tema 1 5 
= ∫−𝑥2 + 5𝑥 − 4
4
1
𝑑𝑥 = (−
1
3
𝑥3 +
5
2
𝑥2 − 4𝑥)|
1
4
= 
= (−
1
3
(4)3 +
5
2
(4)2 − 4(4)) − (−
1
3
(1)3 +
5
2
(1)2 − 4(1)) = 
= −
64
3
+ 40 − 16 +
1
3
−
5
2
+ 4 = −
63
3
−
5
2
+ 28 =
9
2
 
El área de la región limita por las gráficas de las funciones es igual a 9/2.