Álgebra Determinantes

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CICLO ADMISIÓN 2014 – 1 DETERMINANTES 
CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 1 - 
CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS 
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA 
CCEEPPRREE--UUNNII 
 DETERMINANTES 
Definición: Se denomina determinante de 
ij n nA a ´é ù= ë û y se denota por det(A) o A , al 
escalar asociado a la matriz A mediante una 
función denominada función determinante, su 
dominio es el conjunto de las matrices 
cuadradas y su rango es o . 
DETERMINANTE DE ORDEN 1 
Si A = [a11], entonces det(A) = a11, es decir: 
|a11| = a11 
DETERMINANTE DE ORDEN 2 
11 12
21 22
a a
A
a a
é ù
= ê ú
ë û
 entonces 
11 12
11 22 21 12
21 22
a a
det(A) a a a a
a a
= = - 
DETERMINANTE DE ORDEN 3 
Si A = 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
é ù
ê ú
ê ú
ê úë û
, Entonces: 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
det(A) A a a a
a a a
= = 
11 22 33 21 32 13 12 23 31
13 22 31 12 21 33 23 32 11
A a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
= + +
- - -
 
La expresión anterior se puede obtener 
usando la regla de Sarrus por columnas: 
Se agrega las dos primeras columnas a la 
derecha de la tercera columna. 
 
 
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
a a a a a
A a a a a a
a a a a a
= 
Se multiplican los elementos de las tres 
diagonales, en el sentido de izquierda a 
derecha, afectando a cada producto del signo 
más. Se multiplican los elementos de las 
otras tres diagonales, en el sentido de arriba 
abajo, afectando a cada producto del signo 
menos. 
Otra forma de obtener el determinante de 
orden 3 es usar la regla de Laplace: 
1 1 1
2 2 2 2 2 2
2 2 2 1 1 1
3 3 3 3 3 3
3 3 3
a b c
b c a c a b
a b c a b c
b c a c a b
a b c
= - +
 
Ejemplo: 
2 1 1
2 3 1 3 1 2
1 2 3 (2)
3 1 2 1 2 3
2 3 1
2(2 9) ( 1 6) (3 4) 14 5 1 20
- -
- = - +
- - - -
- -
= - - - + + - = - - - = - 
MENOR DE UN ELEMENTO ija 
Si A es una matriz cuadrada de orden “n”, 
entonces el menor del elemento ija , denotado 
por ijM , es el determinante de la submatriz 
cuadrada de orden “(n-1)” que se obtiene al 
suprimir la fila i y la columna j de A. 
Ejemplo: 
 Si 
2 3 4
| A | 5 6 7
8 9 1
= Entonces: 11
6 7
M
9 1
= ; 
21
3 4
M
9 1
= , 33
2 3
M
5 6
= ; 23
2 3
M
8 9
= 
Nota: un determinante de orden n tiene n² 
menores. 
COFACTOR DE UN ELEMENTO 
Si A es una matriz cuadrada entonces el 
cofactor del elemento ija , es el menor de ija 
afectado de su signo y se denota por ijC : 
 i jij ijC ( 1) M
+= - 
Ejemplo: Sea |A| = 
132
210
654
-
 , entonces 
CICLO ADMISIÓN 2014 – 1 DETERMINANTES 
CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 2 - 
1 1
11 11
1 2
C ( 1) M 5
3 1
+= - = = - 
2 1
21 21
5 6
C ( 1) M 13
3 1
+= - = - = 
MATRIZ DE COFACTORES 
Si A es una matriz cuadrada de orden n y ijC 
es el cofactor de ija , entonces la matriz: 
11 12 1n
21 22 2n
31 32 3n
n1 n2 nn
C C C
C C C
cofact(A) C C C
C C C
æ ö
ç ÷
ç ÷
ç ÷=
ç ÷
ç ÷
ç ÷
è ø
ö1nC
÷
1n ö1n
÷
C ÷2nC
÷
C
÷
÷3nC
÷
3n ÷3n
÷
÷
÷
÷
÷
÷÷
÷
÷÷
÷
÷C ønn
÷÷C ÷
÷
, 
se denomina matriz de cofactores de A 
Ejemplo: Determinar la matriz de cofactores 
de 
2 0 3
A 1 4 2
1 3 5
é ù
ê ú= - -ê ú
ê ú-ë û
 
Solución: 
Los cofactores de los nueve elementos de A 
son: 
11C 14= , 12C 3= , 13C 1= - , 21C 9= - 
22C 7= , 23C 6= , 31C 12= - , 32C 1= - ,
33C 8= , entonces 
14 3 1
cofact(A) 9 7 1
12 1 8
-é ù
ê ú= - -ê ú
ê ú- -ë û
 
DESARROLLO DE UN DETERMINANTE 
POR LOS ELEMENTOS DE UNA LÍNEA 
Un determinante de orden n puede ser 
descompuesto como la suma de n 
determinantes de orden (n-1) 
Teorema (Desarrollo de Laplace): 
 El determinante de la matriz ij nxnA (a )= , es 
igual a la suma de los productos obtenidos 
multiplicando los elementos de cualquier línea 
(fila ó columna) por sus respectivos 
cofactores: 
Expansión por la fila i 
n
i1 i1 i2 i2 in in ik ik
k 1
A a C a C ... a C a C
=
= + + + = å 
Expansión por la columna j 
n
1j 1j 2j 2j nj nj kj kj
k 1
A a C a C ... a C a C
=
= + + + = å 
Ejemplo: 
11 11 12 12 13 13
1 1 1 3
2 0 1
4 2 3 a C a C a C
5 3 1
2 3 4 2
2( 1) 0 (1)( 1) 24
3 1 5 3
+ +
- = + +
-
= - + + - = 
Ejemplo: 
4
2j 2j
j 1
21 21 22 22 23 23 24 24
1 0 1 4
3 0 4 0
B a c
0 2 8 7
3 0 7 0
a c a c a c a c
=
-
= =
- -
= + + +
å
 
 
2 1 2 2
2 3 2 4
0 1 4 1 1 4
3( 1) 2 8 7 0( 1) 0 8 7
0 7 0 3 7 0
1 0 4 1 0 1
4( 1) 0 2 7 0( 1) 0 2 8
3 0 0 3 8 7
+ +
+ +
- -
= - + -
- - -
-
+ - + -
- - -
 
3( 1)( 56) 0 4( 1)(24) 0 168 96 72= - - + + - + = - = 
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 
1) Si todos los elementos de una línea (fila ó 
columna), son nulos, el determinante vale 
cero. 
2) Si un determinante tiene dos líneas (filas ó 
columnas) iguales ó proporcionales su valor 
es cero. 
1 1 1
2 2 2
3 3 3
a b a
a b a 0
a b a
= 
1 1 1
2 2 2
3 3 3
a ka c
a ka c 0
a ka c
= 
3) Si se intercambian dos líneas (fila o 
columna); el determinante cambia de signo. 
Ejemplo: 
1 1 1 3 3 3
2 2 2 2 2 2
3 3 3 1 1 1
a b c a b c
a b c a b c
a b c a b c
= - 
CICLO ADMISIÓN 2014 – 1 DETERMINANTES 
CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 3 - 
4) Si todos los elementos de una línea (fila o 
columna) de un determinante se multiplican 
por un escalar K, el determinante queda 
multiplicado por K. En forma equivalente, si 
todos los elementos de una línea de un 
determinante A son múltiplos de un escalar 
k, se puede sacar el factor común k en dicho 
determinante A . 
 Ejemplo: 
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
ka b c a b c
ka b c k a b c
ka b c a b c
= 
Nota: 
a) Si A es una matriz cuadrada de orden n: 
 nkA k A= ; K escalar. 
b) El determinante de una matriz antisimétrica 
de grado impar es cero 
5) Si todos los elementos de una línea 
(fila ó columna) de un determinante se 
suman con los elementos correspondientes 
de otra línea paralela multiplicados por un 
escalar K, el valor del determinante no varía. 
 Ejemplo: 
1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3
a b c a kb b c
a b c a kb b c
a b c a kb b c
+
= +
+
 
6) El determinante de una matriz es igual al 
de su traspuesta. TA A= 
7) El determinante de la inversa de una matriz 
es igual a la inversa del determinante de la 
matriz. 1
1
A
A
- = 
NOTA: 
 a) n nA A= b) n 1 n
n
1
A A
A
- -= = 
8) Si todos los elementos de una línea (fila ó 
columna) de un determinante son suma de 
dos (o más) términos, el determinante es 
igual a la suma de dos (o más) 
determinantes. 
Ejemplo1: 
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3
a x b c a b c x b c
a y b c a b c y b c
a z b c a b c z b c
+
+ = +
+
 
 Ejemplo 2: 
1 1 1
2 2 2
3 3 3
a x b y c z
a b c
a b c
+ + +
 
1 1 1
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
a b c x y z
a b c a b c
a b c a b c
= + 
9) Si A y B son matrices cuadradas de orden 
n: AB A B= × 
10) Si una matriz es triangular, diagonal o 
escalar, su determinante es igual al producto 
de los elementos de su diagonal principal. 
1 2 n 1 2 ndiag(a ,a ,...,a ) (a )(a ) ...(a )= 
DETERMINANTE DE VANDERMONDE 
Se llama determinante de Vandermonde al 
determinante de grado n, en el que los 
elementos de sus distintas filas son 
sucesivamente las potencias de exponente 0, 
1, 2, .... (n-1) de n números diferentes a1 , a2 , 
..., an ; 
Teorema: El determinante de Vandermonde 
de grado n, es igual al producto de las 
diferencias que se obtienen restando cada 
uno de los números a1 , a2 , a3 , ...., an de 
todos los que le preceden. 
W=
1 2 3 n
2 2 2 2
1 2 3 n
n 1n 1 n 1 n 1
31 2 n
1 1 1 ........ 1
a a a ........ a
a a a ........ a
..........aa a a-- - -
n n 1 n n 2 3 2 3 1 2 1(a a )(a a )...(a a )(a a )(a a )- -= - - - - -
 
Ejemplo: 
2 2 2
1 1 1a b c (c b)(c a)(b a)
a b c
= - - -
 
CICLO ADMISIÓN 2014 – 1 DETERMINANTES 
CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 4 - 
Ejemplo: 
3 3 3 3
1 1 1 1
a b c d (d c)(d b)(d a)
a² b² c² d² (c b)(c a)(b a)
a b c d
- - -ì
= í
- - -î
 
MATRIZ SINGULAR Y NO SINGULAR 
Una matriz cuadrada A es singular si su 
determinante es igual a cero y no singular si 
su determinante es diferente de cero. 
MATRIZ ADJUNTA 
La transpuesta de la matriz de cofactores de 
A, se denomina matriz adjunta de A 
[ ]Tadj(A) cofact(A)=
 
Ejemplo: Determinar la matriz adjunta de la 
matriz 
1 2 1
A 0 3 2
2 1 5
-æ ö
ç ÷= -ç ÷
ç ÷
è ø
 
Solución: 
Los cofactores de A son: 
11C 17= - , 12C 4= , 13C 6= , 21C 11= - 
22C 7= , 23C 3= , 31C 1= , 32C 2= - , 33C 3= - 
17 4 6
cofact(A) 11 7 3
1 2 3
-æ ö
ç ÷= -ç ÷
ç ÷- -è ø
, Entonces 
 
T
17 11 1
adj(A) (cofact(A)) 4 7 2
6 3 3
- -æ ö
ç ÷= = -ç ÷
ç ÷-è ø
 
TEOREMA 
nA.adj(A) adj(A).A A .I diag( A , A , .... A )= = =
 
CALCULO DE LA INVERSA DE UNA 
MATRIZ USANDO LA ADJUNTA 
Si en la igualdad : A adj(a) A I× = × , asumimos 
que A 0¹ , podemos multiplicar ambos 
miembros de la igualdad por 
1
A
. 
 
-
- -
=
=
1
1 1
1 1
A.adj(A) A .I, ahora por A
A A
1
A A.adj(A) A I , entonces
A
, 
- =1
1
A adj(A)
A
, " ¹A 0
 
 
Ejemplo: Determinar la matriz inversa de la 
matriz 
1 2 1
A 0 3 2
2 1 5
-æ ö
ç ÷= -ç ÷
ç ÷
è ø
 
Solución: 
- =1
1
A adj(A)
A
, entonces 
1
17 11 1
4 7 2
17 11 1
6 3 3 1
A 4 7 2
1 2 1 15
6 3 3
0 3 2
2 1 5
-
- -æ ö
ç ÷-ç ÷ - -æ öç ÷- ç ÷è ø= = - × -ç ÷- ç ÷-è ø-
 
PROPIEDADES: 
Las matrices A y B son no singulares del 
mismo orden, k un escalar
 1) n nadj(I ) I= 
 2) ( )TTadj(A ) adj(A)= 
3) ( )nnadj(A ) adj(A)= 
4) adj(AB) adj(B).adj(A)= 
5) n 1n nadj(kA ) k adj(A )
-= 
6)
n 2
adj(adj(A)) A A
-= 
7) 
n 1
n nadj(A ) A
-= 
8) 
2(n 1)
n nadj(adj(A )) A
-= 
9) ( ) 11 Aadj(A ) adj(A)
A
-- = =