material de Trigonometría

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- 
 
 TRIGONOMETRÍA 
 
SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES 
 
01. Si ABCD es un rectángulo, 
determine      . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 0 B) 
1
2
 vuelta 
C) 1 vuelta D) 
3
2
vuelta 
E) 2 vueltas 
 
02. De la figura, se sabe que: 
8a + 9b = 0, calcule la medida del 
ángulo aº, expresado en rad. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 
11
12

 B) 
5
6

 C) 
3
4

 
D) 
2
3

 E) 
7
12

 
 
 
03. En la figura mostrada OP es 
bisectriz del ángulo AOB y OQ es 
bisectriz del ángulo COD. ¿Cuál de 
las siguientes relaciones entre  y  
es correcta? 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 300º   B) 300º   
C) 315º   D) 315º   
E) 330º   
 
04. Según la figura mostrada, ¿cuál es la 
ecuación que relaciona a los ángulos 
 ,  y ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 180º    
B) 180º   
C) 180º    
D) 180º    
E) 360º    
 
05. En la figura mostrada, el valor de  
se expresa como: 
Rx
xx


 ;
196
1500
2
 
 
Si  toma su máximo valor, calcule 
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
D 
B 
C 
 

 

 
aº 
bg 
O D A 
P 
B C 
Q 
 
 
 
 
 
1
3
 vuelta 
º
 g 
 
 
- 2 
- 
A) – 105 B) – 120 C) – 135 
D) – 145 E) – 1500 
 
06. Dos ángulos complementarios tienen 
la siguiente relación: el triple del 
número de grados sexagesimales 
del menor, es igual al número de 
grados centesimales del mayor. 
Calcule el producto de 37 por el 
número de grados centesimales del 
menor ángulo. 
 
A) 800 B) 1000 C) 1200 
D) 1400 E) 1500 
 
07. Sean S y C los números que 
representan la medida de un mismo 
ángulo en los sistemas sexagesimal 
y centesimal, que cumplen la 
relación: 
 
   
   22
22
baba
baba
SC


 
 
 
 a y b positivos, calcule el máximo 
valor de este ángulo expresado en 
radianes. 
 
A) 
380

 B) 
360

 C) 
200

 
D) 
180

 E) 
150

 
 
08. Las raíces de la ecuación: 
2x 2ax 360 0   
Tienen como raíces a S y C. 
Si a la vez, S y C son los números 
que expresan la medida de un 
mismo ángulo en grados 
sexagesimales y centesimales, 
calcule a positivo. 
 
A) 18 B) 19 C) 20 
D) 21 E) 22 
 
09. Se crea un nuevo sistema de 
medición angular, el cuál tiene como 
unidad fundamental al grado n, 
denotado por 1n que es equivalente 
al ángulo que se expresa como el 
menor número entero en los 
sistemas sexagesimal y centesimal. 
Calcule el ángulo de 8n expresado 
en radianes. 
 
A) 
10

 B) 
5

 C) 
3
10

 
D) 
2
5

 E) 
2

 
 
10. Siendo S y C los números que 
representan la cantidad de grados 
sexagesimales y centesimales que 
contiene un ángulo, los cuales 
verifican: 
7 71 1S 45 x y C 20 x
5 2
   
     
  
 
Calcule la medida de dicho ángulo 
en radianes. 
 
A) 
2

 B) 
5

 C) 
10

 
D) 
15

 E) 
20

 
 
11. Dado el ángulo trigonométrico  , tal 
que: 
 
g
2 3º5' 5º7' 7º9' 9º11'...55º57' xyyx      
Determine el número de grados 
centesimales del complemento del 
ángulo (2xy + y2)º. 
 
A) 20 B) 27 C) 30 
D) 63 E) 70 
 
12. Si  es un número entero de grados 
sexagesimales y esta expresado por 
la siguiente sumatoria: 
1º1' 2º2' 3º3' 4º 4' ... nºn'       
 
 
- 3 
- 
Calcule n para cuando  toma su 
menor valor. 
 
A) 14 B) 15 C) 16 
D) 17 E) 18 
 
13. Si se cumple que: 
11(0,02q – 3p)p = 19(0,02q+2p) 
siendo p y q, los números de minutos 
sexagesimales y segundos 
centesimales de un mismo ángulo 
respectivamente, calcule p. 
 
A) 13 B) 14 C) 15 
D) 19 E) 22 
 
14. Si 
o ' ''g m
o
m
x x yº y ' rad
ab2 1'c2''
x y ' 15º
     
        
 
Calcule a + b + c 
 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5 
 
 
15. Siendo S, C y R los números de 
grados sexagesimales, centesimales 
y radianes de un mismo ángulo, 
determine la medida de dicho 
ángulo, si se cumple: 
1416,583
2



RS
C 
 
 720)400)360)180)180) EgDgCBgA
 
 
16. Si se cumple: (S + C)3 = C4 – SC3, 
siendo S y C los números que 
representan la medida de un ángulo 
en los sistemas sexagesimal y 
centesimal respectivamente. Calcule 
C. 
 
1000
219
)
100
319
)
10
319
)
10
219
)
10
19
) EDCBA 
 
17. La hora que indica un reloj de pared 
es: 
5 horas “a” minutos, “b” segundos 
Si las agujas del minutero y horario 
forman un ángulo recto, calcule 
11b
a
; 
si a < 30. 
 
A) 50 B) 60 C) 80 
D) 100 E) 120 
 
 
LONGITUD DE ARCO.ÁREA DE 
SECTOR Y TRAPECIO CIRCULAR 
 
18. Calcule el área sombreada si 
OE = AC = OF = DB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 
a
2b
 B) 
2b
a
 C) ab 
D) 2ab E) 4ab 
 
19. De la figura mostrada, calcule (en u) 
el perímetro de la región sombreada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A)  5 2 3 9   
B)  4 3 3 16   
O 
F 
A 
B 
4b 
D 
E 
C 
a 
C 
D 
A B 
9 u 
3 u 
 
 
- 4 
- 
C)  10 6 3 18   
D)  2 3 15   
E)  4 6 3 9   
 
20. Del gráfico mostrado AOB y MON 
son sectores circulares, calcule el 
área del sector AOB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 18 B) 20 C) 24 
D) 26 E) 28 
 
21. Una brida del acople de un eje tiene 
3.05 m de diámetro. Si un punto del 
borde de la brida se mueve con una 
velocidad lineal de 13.72 m/s. 
Determine la velocidad angular de la 
brida en rev/s. 
 
A) 2.3 B) 3.4 C) 5.7 
D) 7.8 E) 9 
 
22. Un agricultor desea cercar un terreno 
que es de forma de sector circular 
con una malla de 20 m de longitud. 
Calcule (en m2) el área máxima que 
se puede cercar con dicha malla. 
 
A) 20 B) 23 C) 25 
D) 28 E) 30 
 
23. El perímetro de un sector circular es 
de 120 cm, calcule (en cm) la 
longitud del arco si el área del sector 
circular es máxima. 
 
A) 20 B) 30 C) 40 
D) 50 E) 60 
 
24. Una cartulina circular de radio igual a 
27 u se divide en 3 sectores 
circulares iguales, con uno de los 
sectores se construye un cono. 
Calcule la altura del cono resultante. 
 
A) 6 3 B) 10 2 C) 16 
D) 18 2 E) 15 3 
 
 
25. Del gráfico mostrado AOB y COD 
son sectores circulares. Calcule x 
 
 
 
 
 
 
 
A) 4 B) 5 C) 6 
D) 7 E) 8 
 
 
26. Del gráfico, calcular la longitud del 
arco ABMCD. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 
8
3

 B) 
10
3

 C) 
13
3

 
D) 
14
3

 E) 
16
3

 
 
 
 
 
O 
A 
B 
N 
M 
7A 3A - 2 
O 
D 
C 
B 
A 
6 
x – 2 
x + 1 
2 
A D 
6 
C 
2 
M
2 
6 
B 
 
 
- 5 
- 
27. Del gráfico AOB y COD son sectores 
circulares siendo S área calcule: 
x
y
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 
6 2
2

 B) 
12 3
3

 
C) 
15 3
3

 D) 
10 2
2

 
E) 
13
3
 
 
28. Halle (en u2) el área de la región 
sombreada, si AB = 16 u. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 4 B) 8 C) 12 
D) 16 E) 20 
 
29. Del gráfico, AOB, COD y EOF son 
sectores circulares, OE = 3 y ED = 1, 
S1 = S2 = 
3
4

 u2. Calcule el área de 
CDEF. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 
3
6

 B) 
9
5

 C) 
13
2

 
D) 
7
12

 E) 
20
3

 
 
30. Del gráfico, calcule el área del sector 
circular AOB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 10 B) 12 C) 14 
D) 16 E) 18 
 
31. En la figura, AOB, COD y EOF son 
sectores circulares. Si el área del 
sector circular AOB y las áreas de 
los trapecios circulares ABDC y 
CDFE están en progresión 
aritmética, halle el valor de 
2
2 2
c
a b
. 
 
 
 
 
 
 
 
 O 
A 
B 
E 
c u 
b u 
a u 
B D F 
O 
A 
D 
C B x 
2S 
y 
3S 
M 
A B 
 
N 
O 
F 
C 
A 
S2 
S1 
E D B 
A 
D 
O B 
2 
 
 
- 6 
- 
 
A) – 3 B) 
1
3
 C) 
1
3
 
D) 3 E) 1 
 
 
32. En la figura, AOB y COD son 
sectores circulares. El área de 
trapecio circular ABCD es 8 cm2. Si 
el perímetro del sector circular AOB 
es P cm y el del sector circular DOC 
es p cm, halle 
P
p
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 3,5 B) 4 C) 3 
D) 4,5 E) 5 
 
33. En la figura, AOD y BOC son 
sectores circulares. Si la diferencia 
entre las áreas del sector circular 
AOD y trapecio circular ABCD es 
22 u
3

, halle (en u2) el área del sector 
circularAOD, si 
AB 1
OA 3
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 3 B) 
3
2

 C) 4 
D) 2 E) 
4
3

 
 
34. En la figura; a, b y c están en 
progresión aritmética de razón 
2 (a < b < c). Si el área de la región 
sombreada es 100 u2, calcule el 
valor de  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 
11
13
 B) 
3
4
 C) 
4
7
 
D) 
4
11
 E) 
2
5
 
 
35. En la figura, AOB y DOC son 
sectores circulares. Si el perímetro 
del trapecio circular ABCD es 6 cm, 
halle (en cm2) la suma de las áreas 
de los sectores circulares AOB y 
DOC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 2 B) 3,5 C) 1,5 
D) 2,5 E) 3 
 
 
O 
(x–1) cm 
D 
A 
x cm 
C B 
x
rad
6
 
(x+1) cm 
O 
A 
B 
D C 
O 
C 
A 
c u 
b u 
a u 
D B 
 rad 
O 
A 
D 
3
cm
2
 
1 cm B C 
 
 
- 7 
- 
36. En la figura, AOD y BOC son 
sectores circulares. Si L1 = a, L2 = 2a 
+ 4, h = a – 2 y el área del trapecio 
circular ABCD es (10a + 4)u2, halle 
(en u2) el área del sector circular 
AOD. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 18 B) 15 C) 14 
D) 16 E) 17 
 
37. En la figura, AOE y COD son 
sectores circulares conde 
OE 2
OD 3
 . 
Si el área del trapecio circular BCDE 
es a u2, calcule (en u2) el área del 
sector circular AOB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 
8a
5
 B) 
3a
5
 C) 
4a
5
 
D) a E) 2a 
 
38. En la figura, AOB, COD y EOF son 
sectores circulares. Si P cm2 y Q cm2 
son las áreas del sector circular AOB 
y trapecio circular ECDF, 
respectivamente, donde 2AC = CE = 
4cm; halle P + Q. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 76 B) 58 C) 36 
D) 64 E) 98 
 
 
APLICACIONES A RUEDAS Y POLEAS 
 
39. Calcular el número de vueltas que da 
la rueda de radio 1 m al recorrer el 
perímetro del sector circular AOB de 
radio 6 m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 
6
2

 B) 1
3

 C) 
1
5

 
D) 
2
3

 E)  
 
40. En el sistema adjunto, se tiene que 
el disco A gira 900º. ¿Cuántas 
vueltas da el disco C? 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 1 B) 1,5 C) 2 
D) 2,5 E) 3 
O 
A 
B 
h u 
D C 
rad 
L1 u 
L2 u 
O 
A 
B 
E D 
2 u 
C 
1 u 
O 
A 
C 
E 
12 cm 
6 cm 
B D F 
O 60º 
A 
B 
1 
A 
3 
1 
5 
B 
C 
 
 
- 8 
- 
 
41. Del gráfico mostrado calcular el 
ángulo que barre la rueda al dirigirse 
de la posición A a la posición B, 
pasando por el “Rompe muelle”. 
 
 
 
 
 
 
 
A) 240º B) 120º C) 320º 
D) 340º E) 280º 
 
42. De la figura se observa que altura a 
la que se eleva la carga es igual a la 
longitud del arco que recorre el 
punto P al pasar de P a P’. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) B) C) 
D) 1,65 E) 
 
43. El sistema adjunto sostiene una 
varilla PQ de longitud 15 r. Se sabe 
que para poner la varilla en forma 
horizontal, se ha girado la polea 
pequeña un ángulo de 4 radianes, 
sin que haya resbalamiento. 
Entonces, cos vale: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 
7
15
 B) 
1
4
 C) 
1
2
 
D) 
8
5
 E) 
161
15
 
44. En la figura mostrada el cuadrado de 
lado 2 cm rueda sin resbalar hasta 
que el punto A vuelve a tocar el piso. 
Calcule la longitud (en cm) recorrida 
por el punto A. 
 
 
 
 
 
 
A)  1 2
2

 B)  1 2  
C) 
2
2
2
 
  
 
 D)  2 2  
E)  2 2 2  
 
 
45. Del gráfico mostrado, halle el ángulo 
que barre la rueda al ir de la posición 
A la posición D, si AB = 10 m; BC = 8 
m y CE = 6 m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 9 B) 9º 
C) 
9
rad
2
 
 D) 
18
2
 
 
E)  9 rad  
 
A B 
2 cm 
2 cm 
P 
 
P 
Q 
r 3r 

 
A 
B 
D 
C 
2 cm 
A B 
C D E 
2m 
2m