algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-68

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10.- Simplificar:
x y 2 x y 2 2 x 2 y 2 2[(–– + ––) + (–– - ––)] - 4[(––) - (––)]y x y x y x
J = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
x 3 y 3 2 x 3 y 3 2[(––) + (––)] - [(––) - (––)]y x y x
Solución:
x yHaciendo: –– = a ; –– = b:
y x
[(a + b)2 + (a - b)2]2 - 4 (a2 - b2)2
J = ––––––––––––––––––––––––––––––––
[a3 + b3]2 - [a3 - b3]2
Aplicando Legendre:
4(a2 + b2)2 - 4(a2- b2)2 4a2b2 4 
J = –––––––––––––––––––––– = –––––- = ––––
4a3b3 a3b3 ab
4
= –––––––– = 4
x y(––)(––)y x
Rpta.: J = 4
11.- Simplificar la expresión:
(x2 - a2)2 (x3 + a3)3 (x2 + ax + a2)2
A = –––––––––––––––––––––––––––––––
(x3 - a3)2 (x + a)5 (x2 - ax + a2)3
Solución:
Aplicando los productos notables en forma inversa:
[(x+a)(x-a)]2[(x+a)(x2-ax+a2)]3(x2+ax+a2)2
A = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
[(x - a)(x2+ax+a2)]2 (x+a)5 (x2- ax+a2)3
Efectuando:
(x+a)2(x-a)2(x+a)3(x2-ax+a2)3(x2+ax+a2)2
A = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––= 1 
(x-a)2(x2+ax+a2)2 (x+a)5 (x2-ax+a2)3
Rpta.: A = 1
12.- Simplificar:
(a+b+c)(a+b+d)+(a+c+d)(b+c+d)-(a+b+c+d)2
C = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
(ad-bc)2+(ac+bd)2-(a2+b2)(c2+d2)+ab+cd
Solución:
En el numerador, hagamos que:
a + b = x ; c + d = y
N = (x + c)(x + d) + (y + a)(y + b) - (x + y)2
N = x2+(c+d)x+cd+y2+(a+b)y+ab-x2-2xy -y2
N = xy + cd + xy + ab - 2xy = cd + ab
En el denominador, observamos que se puede
aplicar Lagrange a los dos primeros términos:
(ad - bc)2 + (ac + bd)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
De esta manera:
D = (a2 + b2)(c2 + d2) - (a2 + b2)(c2 + d2) + ab + cd
D = ab + cd
Sustituyendo estos equivalentes en la expresión :
N cd + abC = –– = ––––––––– = 1
D ab + cd
Rpta.: C = 1
13.- Simplificar:
E = (a2n + b2n - c2n)(b2n +c2n - a2n) + 2c2n(c2n - a2n)
+ (an - bn) (an+ bn)(a2n + b2n)
Solución:
Apliquemos productos notables y operemos:
E= b4n- (a2n-c2n)2 + 2c4n- 2c2na2n + (a2n- b2n)(a2n+ b2n)
Efectuando:
E = b4n- a4n+ 2a2nc2n+ 2c4n- c4n + 2a2nc2n + a4n - b4n = c4n
Rpta.: E = c4n
14.- Efectuar:
a(b2 + c2)(b2 + c2- a2) b(c2 + a2)(c2 + a2 - b2)
R = ––––––––––––––––––– + ––––––––––––––––––––
2bc 2ac
c(a2 + b2)(a2 + b2 - c2)
+ ––––––––––––––––––––
2ab
Solución:
Haciendo el siguiente artificio para obtener un
denominador común:
- 80 -
α
α α
Algebra 27/7/05 13:32 Página 80