algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-72

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3.- Si se cumple que:
x2 + y2 + z2 = xy + xz + yz,
calcular:
7
––––––––––
8
––––––––––
x8 + y8 + x8 x9 + y9 + z9 
E = √–––––––––– + √––––––––––(x + y + z)8 (x + y + z)9
9
––––––––––––
x10 + y10 + z10
+ √––––––––––––(x + y + z)10
Solución:
La condición, se multiplica por “2”:
2x2 + 2y2 + 2z2 = 2xy + 2xz + 2yz
2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2xz - 2yz = 0
(x2 - 2xy + y2) + (y2 - 2yz + z2)+(x2 -2xz + z2) = 0
Escribiendo los equivalentes de cada paréntesis:
(x - y)2 + (y - z)2 + (x - z)2 = 0
para que la suma de tres números positivos sea
cero, cada uno de ellos debe ser cero, por lo tanto:
x - y = 0 x = y
y - z = 0 y = z
x - z = 0 x = z
de lo anterior:
x = y = z = t
reemplazando en la expresión, cuyo valor se
quiere calcular:
7
––––––––––
8
––––––––––
t8 + t8 + t8 t9 + t9 + t9 
E = √–––––––––– + √–––––––––(t + t + t)8 (t + t + t)9
9
––––––––––––
t10 + t10 + t10
+ √–––––––––––(t + t + t)10
7 
–––––
8 
–––––
9
–––––
3t8 3t9 3t10E = √––––– + √––––– + √–––––(3t)8 (3t)9 (3t)10
7 ––––– 8 ––––– 9 –––––
1 1 1E = √––––– + √––––– + √–––––37 38 39
1 1 1E = –– + –– + –– = 1
3 3 3 
Rpta.: E = 1
4.- Calcular el valor numérico de:
–––––––––––––––
x4 + x2y2 + y4
E = √––––––––––––––x4 + 2x2y2 + y4
________
siendo: x + y = 4
3
√p2 - q2 -1
_______
xy = 5(
3
√p2 - q2 -1)2
Solución:
El numerador se puede escribir así:
x4 + x2 . y2 + y4 = (x4 + 2x2y2 + y4) - x2y2
= (x2+y2)2 - (xy)2
x4+ x2 . y2 + y4 = (x2 + y2 + xy)(x2 + y2 - x) (1)
El denominador se puede escribir así:
x4 + 2x2y2 + y4 = (x2 + y2)2 (2)
________
Del dato, haciendo
3
√p2 - q2 - 1 = b; por lo tanto:
x + y = 4b (α)
xy = 5b2 (β)
Elevando al cuadrado (α):
x2 + 2xy + y2 = 16b2 (γ)
reemplazando (β) en (γ):
x2 + 10b2 + y2 = 16b2
x2 + y2 = 6b2 (θ)
Sustituyendo (1) y (2) en la expresión principal:
_________________________
(x2 + y2 + xy)(x2 + y2 - xy)
E = √––––––––––––––––––––––––(x2 + y2)2
________________________
√(x2 + y2 + xy)(x2 + y2 - xy)
= ––––––––––––––––––––––––––
x2 + y2
- 84 -
α
α α
Algebra 27/7/05 16:04 Página 84