algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-319

Vista previa del material en texto

aplicando la fórmula:
_____ __
1 ± √1 + 4 1 ± √5x = ––––––––––– = ––––––––
2 2
luego las raíces son:
__
1 + √5x1 = –––––––– (solución satisfactoria)
2
__
1 + √5x1 = –––––––– (es negativa, no es solución
2 válida)
10.- Resolver:
1 1 3
––––––––––––––– + ––––––––––––––– = ––_____ _____ _____ _____
√5 + x - √5 - x √5 + x + √5 - x 4
Solución:
Racionalizando los denominadores:
_____ _____ _____ _____
√5 + x + √5 - x √5+ x - √5 - x 3
––––––––––––––– + ––––––––––––––– = ––
(5 + x) - (5 - x) (5 + x) - (5 - x) 4
_____ _____ _____ _____
√5 + x + √5 - x √5 + x - √5 - x 3––––––––––––––– + ––––––––––––––– = ––
2x 2x 4
_____
2 √5 + x 3––––––––– = ––
2x 4
_____
4√5 + x = 3x
elevando al cuadrado
16(5 + x) = 9x2
efectuando y ordenando:
9x2 - 16x - 80 = 0
factorizando:
(9x + 20)(x - 4) = 0
de donde se tiene las siguientes raíces:
x1 = 4 (Sí satisface) 
20x2 = - ––– (No es solución)9
11.- Hallar el valor de “k” si las raíces de la ecuación
de segundo grado:
x2 + 2 (k + 2)x + 9k = 0
son iguales.
Solución:
Para que una ecuación de segundo grado tenga
sus raíces iguales, es necesario que su discrimi-
nante sea igual a cero, es decir:
∆ = b2 - 4ac = 0
luego, igualando el discriminante de la ecuación
dada a cero:
[ 2(k + 2)]2 - 4(1)(9k) = 0
4(k2 + 4k + 4) - 36k = 0
operando y ordenando:
k2 - 5k + 4 = 0
(k - 4)(k - 1) = 0
Rpta.: k1 = 4 ; k2 = 1
12.- ¿Qué valor debe tener “m” para que las raíces de
la ecuación:
mx2 - (m + 3)x + 2m + 1 = 0
difieran en 2 unidades?
Solución:
Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación:
m + 3x1 + x2 = –––––– (1)m } Por propiedad2m + 1x1x2 = ––––––– (2)m
x1 - x2 = 2 (3) Por condición:
De (1) y (3) se obtiene:
m + 3––––– + 2
m m + 3 + 2m 3 + 3m
x1 = ––––––––– = ––––––––––– = –––––––2 2m 2m
m + 3––––– - 2
m m + 3 + 2m 3 - 3m
x2 = ––––––––– = ––––––––––– = –––––––2 2m 2m
Sustituyendo estos valores en (2):
3 + 3m 3 - m 2m + 1(–––––––)(–––––)=(–––––––)2m 2m m
Á L G E B R A
- 331 -
Algebra 27/7/05 16:42 Página 331