algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-372

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α
α α
9.- En un cuadrado de lado “a” se unen los puntos
medios de los cuatro lados y se forma otro
cuadrado cuyos puntos medios se unen también
para formar un nuevo cuadrado y así sucesiva-
mente. Hallar el límite de la suma de las áreas de
todos los cuadrados así formados.
Solución:
a––
2
a
__
–– √2
2
a__
2
a
Del gráfico:
lado área
1er. cuadrado a a2
a
__
a22do. cuadrado –– √2 ––
2 2
a a23er. cuadrado –– ––
2 4
a
__
a24to. cuadrado –– √2 ––
4 8
La suma de la sáreas de los cuadrados será:
a2 a2S = a2 + –– + –– …
2 4
Los infinitos sumandos son los términos de una
P.G. decreciente:
t1 a2lím S = ––––– = ––––– = 2a2
11 - q 1 - ––
2
lím S = 2a2
10.- Hallar el límite de:
2 26 2421 + –– + ––– + –––– + …
32 36 310
Solución:
Sea “S” la suma pedida:
3 1 3 1 5 1lím S = 1 + –– - –– + –– - –– + ––– - ––– + …
32 32 36 36 310 310
1 1 1 1 1 1lím S = 1 + –– - –– + –– - –– + –– - ––– + …
3 32 33 36 35 310
1 1 1lím S = 1 + ( –– + –– + –– + …)3 33 351442443
S1
1 1 1- ( –– + –– + ––– + …)32 36 3101442443
S2
Cada uno de los paréntesis representa la suma de
los infinitos términos de una P.G. decreciente.
Llamando a dichas sumas S1 y S2:
1 ––
3 3S1 = ––––––– = ––1 81 - ––
32
1 ––
32 32 9S2 = ––––––– = ––– = –––1 80 801 - ––
34
Sustituyendo S1 y S2 en lím S:
3 9 80 + 30 - 9lím S = 1 + –– - ––– = ––––––––––
8 80 80
101
lím S = ––––
80
Algebra 27/7/05 16:51 Página 384