Mate_24_10_2020_egp

Vista previa del material en texto

EL Gran Paso – Matemáticas 24/10/2020 
 
Unidad IV Página 1 
 Trigonometría 
UNIDAD IV 
ECUACIONES E IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 
Relaciones, ecuaciones e identidades trigonométricas. 
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones 
trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos 
simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean 
los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están 
definidas estas razones. Las identidades trigonométricas nos 
permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para 
simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, 
denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones 
trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las 
identidades trigonométricas. 
En el capítulo anterior, hemos visto las razones trigonométricas seno, coseno y 
tangente, además de las razones inversas, secante, cosecantes, cotangente y las 
relaciones pitagóricas entre ellas que dan lugar a la ecuación fundamental de la 
trigonometría: 
𝒔𝒆𝒏𝟐𝒂 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒂 = 𝟏 
Y las dos identidades que de ella se derivan, ya sea dividiendo por el seno cuadrado 
o por el coseno cuadrado: 
𝟏 + 𝒕𝒈𝟐𝒂 = 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒂 𝟏 + 𝒄𝒐𝒕𝒈𝟐𝒂 = 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝟐𝒂 
En la tabla siguiente recogemos la relación entre las distintas razones 
trigonométricas: 
 𝒔𝒆𝒏𝒐 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒏𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒔𝒆𝒄𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒄𝒐𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 
𝒔𝒆𝒏𝒐 𝑠𝑒𝑛 𝑎 ±√1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑎 
± 𝑡𝑔 𝑎
√1 + 𝑡𝑔2 𝑎
 
1
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑎
 ±
√𝑠𝑒𝑐2𝑎 − 1
sec 𝑎
 
±1
√1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔2
 
𝒄𝒐𝒔𝒆𝒏𝒐 ±√1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑎 
±1
√1 + 𝑡𝑔2𝑎
 ±
√𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑎 − 1
cosec 𝑎
 
1
𝑠𝑒𝑐 𝑎
 
± 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑎
√1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔2 𝑎
 
𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 
± 𝑠𝑒𝑛 𝑎
√1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑎
 ±
√1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑎
cos 𝑎
 𝑡𝑔 𝑎 
±1
√𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑎 − 1
 ±√𝑠𝑒𝑐2𝑎 − 1 
1
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑎
 
𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝒂𝒏𝒕𝒆 
1
𝑠𝑒𝑛 𝑎
 
±1
√1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑎
 ±
√1 + 𝑡𝑔2𝑎
tg 𝑎
 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑎 
± 𝑠𝑒𝑐 𝑎
√𝑠𝑒𝑐2 𝑎 − 1
 ±√1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔2𝑎 
𝒔𝒆𝒄𝒂𝒏𝒕𝒆 
±1
√1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑎
 
1
𝑐𝑜𝑠 𝑎
 ±√1 + 𝑡𝑔2𝑎 
± 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑎
√ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝑎 − 1
 𝑠𝑒𝑐 𝑎 ±
√1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔2𝑎
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑎
 
𝒄𝒐𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 ±
√1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝑎
 
± 𝑐𝑜𝑠 𝑎
√ 1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑎
 
1
𝑡𝑔 𝑎
 ±√𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑎 − 1 
± 1
√𝑠𝑒𝑐2 𝑎 − 1
 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑎 
 
 
EL Gran Paso – Matemáticas 24/10/2020 
 
Unidad IV Página 2 
 
Razones trigonométricas de la suma y diferencia de dos ángulos: 
 
Seno de la suma y la diferencia de dos 
ángulos: 
 
𝒔𝒆𝒏(𝒂 ± 𝒃) = 𝒔𝒆𝒏 𝒂 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝒃 ± 𝒔𝒆𝒏 𝒃 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝒂 
Coseno de la suma y la diferencia de 
dos ángulos: 
 
𝒄𝒐𝒔(𝒂 ± 𝒃) = 𝒄𝒐𝒔 𝒂 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝒃 ∓ 𝒔𝒆𝒏 𝒂 ∙ 𝒔𝒆𝒏 𝒃 
Tangente de la suma y la diferencia de 
dos ángulos: 
 
𝒕𝒈 (𝒂 ± 𝒃) =
𝒕𝒈 𝒂 ± 𝒕𝒈 𝒃
𝟏 ∓ 𝒕𝒈 𝒂 ∙ 𝒕𝒈 𝒃
 
 
Razones trigonométricas de un ángulo doble: 
 
Seno de un ángulo doble: 
 
𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒂 = 𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝒂 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝒂 
Coseno de un ángulo doble: 
 
𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒂 = 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒂 − 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒂 
Tangente de un ángulo doble: 
 
𝒕𝒈 𝟐𝒂 =
𝟐 𝒕𝒈 𝒂
𝟏 − 𝒕𝒈𝟐𝒂
 
 
Razones trigonométricas de un ángulo medio: 
 
Seno de un ángulo medio: 
 𝒔𝒆𝒏 
𝒂
𝟐
= ±√
𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝒂
𝟐
 
Coseno de un ángulo medio: 
 𝒄𝒐𝒔 
𝒂
𝟐
= ±√
𝟏 + 𝒄𝒐𝒔 𝒂
𝟐
 
Tangente de un ángulo medio: 
 𝒕𝒈 
𝒂
𝟐
= √
𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝒂
𝟏 + 𝒄𝒐𝒔 𝒂
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EL Gran Paso – Matemáticas 24/10/2020 
 
Unidad IV Página 3 
Demostración de Identidades trigonométricas: 
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones 
trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos 
simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera 
que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas 
estas razones. Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma 
expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la 
factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones 
trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades 
trigonométricas. 
Veamos algunos ejemplos: 
Ejemplo: 
Verifique la identidad 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝒙 − 𝒔𝒆𝒏 𝒙 = 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝒙 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝒙 
utilizando las identidades fundamentales y/o las identidades Pitagóricas. 
En primer lugar, cambiamos las 
funciones necesarias de uno de los 
miembros para buscar llegar a una 
igualdad de ambos miembros. 
 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝒙 − 𝒔𝒆𝒏 𝒙 = 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝒙 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝒙 
 
 
𝟏
𝒔𝒆𝒏 𝒙
− 𝒔𝒆𝒏 𝒙 =
𝐜𝐨𝐬 𝒙
𝒔𝒆𝒏 𝒙
 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝒙 
Resolvemos la diferencia de expresiones 
en el primer miembro y la multiplicación 
de cos 𝑥 en el segundo miembro 
 
𝟏 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝒔𝒆𝒏 𝒙
=
𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝒔𝒆𝒏 𝒙
 
Pasamos 𝒔𝒆𝒏 𝒙 al segundo miembro 
multiplicando 
 𝟏 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 =
𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝒔𝒆𝒏 𝒙
∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 
Simplificamos la expresión 𝒔𝒆𝒏 𝒙 en el 
segundo miembro y resulta: 
 𝟏 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥 
Cambiamos en el primer miembro 
 𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 por su valor, según fórmula 
pitagórica y comprobamos que se 
cumple la igualdad. 
 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 
 
 
 
 
 
 
 
EL Gran Paso – Matemáticas 24/10/2020 
 
Unidad IV Página 4 
Ejemplo: 
Verifique la identidad 𝒔𝒆𝒏 𝒙(𝟏 − 𝒔𝒆𝒏 𝒙) (𝟏 +
𝟏
𝒔𝒆𝒏 𝒙
) = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 
Resolvemos la adición que se encuentra 
en el paréntesis, simplificamos lo que 
sea posible: 
 
 𝒔𝒆𝒏 𝒙(𝟏 − 𝒔𝒆𝒏 𝒙) (
𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 1
𝑠𝑒𝑛 𝑥
) = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 
 
Ordenamos los términos restantes y 
factorizamos 
 (𝟏 − 𝒔𝒆𝒏 𝒙)(𝟏 + 𝒔𝒆𝒏 𝒙) = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 
 
 (𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙) = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 
Cambiamos por su valor fundamental el 
primer miembro e igualamos ambos 
miembros 
 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 
 
Ejemplo: 
Verifique la identidad 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 =
𝟏
(𝟏+𝐜𝐨𝐬 𝒙)
+
𝟏
(𝟏−𝐜𝐨𝐬 𝒙)
 
Resolvemos la adición de fracciones del 
segundo miembro. 
2 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑥 =
(1 − cos 𝑥) + (1 + cos 𝑥)
(1 + cos 𝑥)(1 − cos 𝑥)
 
 
Resolvemos la ecuación aplicando 
algoritmos 
𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 =
1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 1 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥
(12 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥)
 
 
Convertimos aplicando formulas 
trigonométricas 
𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 =
1 + 1
(1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥)
 
 
2𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑥 = 2 ∙
1
𝑠𝑒𝑛2𝑥
 
 
Comprobamos la identidad 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 = 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 
 
 
 
 
 
 
 
 
EL Gran Paso – Matemáticas 24/10/2020 
 
Unidad IV Página 5 
Ecuaciones trigonométricas: 
Una Ecuación trigonométrica es una igualdad entre expresiones que 
contienen funciones trigonométricas y es válida solo para determinados 
valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las expresiones 
trigonométricas involucradas). 
Ejemplo: 
Resuelve la ecuación: 𝟐 ∙ 𝒕𝒈𝒙 − 𝟑 ∙ 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝒙 − 𝟏 = 𝟎 
 
Debes intentar reducir toda la expresión a una única razón trigonométrica (que todo 
sean senos, o cosenos, por ejemplo). Cuando puedas llegar a una expresión del tipo 
seno(algo) = un número, sólo tendrás que usar la función arco correspondiente 
(arcoseno, arco tangente, etc.). 
 
Para conseguir que todas las razones trigonométricas sean iguales no hay una regla 
fija; tendrás que probar trasteando con las siguientes fórmulas básicas. 
 
𝟐 ∙ 𝒕𝒈𝒙 − 𝟑 ∙ 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝒙 − 𝟏 = 𝟎 
 
Cambiamos la función cotangente por la 
fórmula en función a la tangente del 
mismo ángulo. 
2 ∙ 𝑡𝑔𝑥 − 3 ∙
1
𝑡𝑔𝑥
− 1 = 0 
Multiplicamos toda la expresión por el 
denominador (tg x). 
2 ∙ 𝑡𝑔𝑥 ∙ 𝑡𝑔𝑥 − 3 ∙
1
𝑡𝑔𝑥
∙ 𝑡𝑔𝑥 − 1 ∙ 𝑡𝑔𝑥 = 0 
 
Hallamos los resultados de los 
productos. 
2 ∙ 𝑡𝑔2𝑥 − 3 − 1 ∙ 𝑡𝑔𝑥 = 0 
Ordenados la ecuación en forma 
descendente 
2𝑡𝑔2𝑥 − 𝑡𝑔𝑥 − 3 = 0 
Aplicamos casos de factorización o 
formula cuadrática: 𝒙 =
−𝒃±√𝒃𝟐
−𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
 
 
𝑡𝑔𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
 
 
𝑡𝑔𝑥 =
−(−1) ± √(−1)2 − 4 ∙ 2 ∙ (−3)
2 ∙ 2
 
 
𝑡𝑔𝑥 =
1 ± √1 + 24
4
 
 
𝑡𝑔𝑥 =
1 ± √25
4
 
 
 
 
EL Gran Paso – Matemáticas 24/10/2020 
 
Unidad IV Página 6 
Calculamos los dos resultados posibles 
para tg x 
 
𝑡𝑔𝑥1 =
1 + 5
4
=
3
2
 
 
𝑡𝑔𝑥2 =
1 − 5
4
= −1 
 
Verificamos con la calculadora los 
valores posibles para 𝒙𝟏 
 𝒙𝟏 = 𝟓𝟔°𝟏𝟖´𝟑𝟓, 𝟕𝟔´´ 
 
Verificamos con la calculadora los 
valores posibles para 𝒙𝟐 
 𝒙𝟐 = −𝟒𝟓° 
 
Ejemplo: 
Resolver la ecuación: 𝟑 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 = 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 
Por intervención en ella dos funciones 
trigonométricas, es necesario 
transformarla en otra equivalente con 
una sola función 
3 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 
Se transponen los términos 
𝟑 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 = 1 
 
Se reducen los términos semejantes 
 
4 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 
 
Se despeja 
 𝑐𝑜𝑠2𝑥 
 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 =
1
4
 
 
𝑐𝑜𝑠 𝑥 = √
1
4
 
 
Se extrae de la raíz 
 
𝑐𝑜𝑠 𝑥 = ±
1
2
 
 
 
 
 
EL Gran Paso – Matemáticas 24/10/2020 
 
Unidad IV Página 7 
Se halla los valores para x 
 
 
𝒙𝟏 = 𝟔𝟎° 𝒙𝟐 = 𝟏𝟐𝟎° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EL Gran Paso – Matemáticas 24/10/2020 
 
Unidad IV Página 8 
Ejercicios Propuestos 
Verifica si las siguientes ecuaciones representan identidades 
trigonométricas 
1) Verifica la identidad: 
(1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑎)(1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑎) =
1
𝑠𝑒𝑐2𝑎
 
 
 
2) Verifica la identidad: 
𝑠𝑒𝑐2𝑎 − 1
𝑠𝑒𝑐2𝑎
= 𝑠𝑒𝑛2𝑎 
 
 
3) Verifica la identidad: 
𝑡𝑔 𝑎 + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑎 = 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑎 𝑠𝑒𝑐2𝑎 
 
 
4) Verifica la identidad: 
(
𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑡𝑔2𝑥
)
3
(
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐3𝑥
𝑐𝑜𝑡𝑔6𝑥
)
2
= 1 
 
 
5) Verifica la identidad: 
𝑠𝑒𝑐2𝑥 + 𝑡𝑔2𝑥 + 1 =
2
𝑐𝑜𝑠2𝑥
 
 
 
6) Verifica la identidad: 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠4𝑥
1 − 𝑐𝑜𝑡𝑔4𝑥
= 𝑠𝑒𝑛4𝑥 
 
 
7) Verifica la identidad: 
𝑐𝑜𝑠4𝑥 − 1
𝑐𝑜𝑡𝑔2𝑥
= 2 + 𝑐𝑜𝑡𝑔2𝑥 
 
 
 
8) Verifica la identidad: 
𝑐𝑜𝑡𝑔2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑔2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 
 
 
 
 
EL Gran Paso – Matemáticas 24/10/2020 
 
Unidad IV Página 9 
9) Verifica la identidad: 
 
1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑎
1 + 𝑡𝑔 𝑎
= 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑎 
 
 
10) Verifica la identidad: 
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
+
𝑡𝑔 𝑥
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥
+
sec 𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥
=
1 + 2 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥
𝑐𝑜𝑡𝑔2𝑥
 
 
 
 
11) Verifica la identidad: 
𝑠𝑒𝑛 𝑎
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑎 − 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑎
= 1 + cos 𝑎 
 
 
 
12) Verifica la identidad: 
𝑠𝑒𝑛 𝑎 − 𝑠𝑒𝑛 3𝑎
𝑠𝑒𝑛2𝑎 − 𝑐𝑜𝑠2𝑎
= 2 𝑠𝑒𝑛 𝑎 
 
 
 
13) Verifica la identidad: 
cos 𝑎
cos 𝑎 + 𝑠𝑒𝑛 𝑎
=
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑎
1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑎
 
 
 
 
14) Verifica la identidad: 
𝑐𝑜𝑠2𝑎
𝑐𝑜𝑠2 𝑎 + 𝑠𝑒𝑛 𝑎
=
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑎
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑎 + sec 𝑎
 
 
 
 
15) Verifica la identidad: 
1 − cos 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥
 
 
 
 
 
 
 
EL Gran Paso – Matemáticas 24/10/2020 
 
Unidad IV Página 10 
16) Verifica la identidad: 
𝑡𝑔2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 𝑡𝑔2 𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥 
 
 
 
17) Verifica la identidad: 
𝑐𝑜𝑡𝑔2𝑦 (𝑠𝑒𝑐2 𝑦 − 1) = 1 
 
 
 
18) Verifica la identidad: 
cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 = sec 𝑥 
 
 
 
19) Verifica la identidad: 
𝑠𝑒𝑛2𝑎 − 𝑠𝑒𝑛4𝑎 = 𝑐𝑜𝑠2𝑎 − 𝑐𝑜𝑠4𝑎 
 
 
 
20) Verifica la identidad: 
sec 𝑥 − cos 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 
 
 
 
21) Verifica la identidad: 
1
𝑡𝑔 𝑥
+
1
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥
= 𝑡𝑔 𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 
 
 
 
22) Verifica la identidad: 
𝑐𝑜𝑠2𝑏 − 𝑠𝑒𝑛2𝑏 = 2 𝑐𝑜𝑠2𝑏 − 1 
 
 
 
23) Verifica la identidad: 
sec 𝑥 − cos 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
EL Gran Paso – Matemáticas 24/10/2020 
 
Unidad IV Página 11 
24) Verifica la identidad: 
1
𝑡𝑔 𝑥
+
1
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥
= 𝑡𝑔 𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 
 
 
25) Verifica la identidad: 
 
𝑐𝑜𝑠2𝑏 − 𝑠𝑒𝑛2𝑏 = 2 𝑐𝑜𝑠2𝑏 − 1 
 
 
26) Verifica la identidad: 
𝑐𝑜𝑠2𝑏 − 𝑠𝑒𝑛2𝑏 = 1 − 2 𝑠𝑒𝑛2𝑏 
 
 
 
27) Verifica la identidad: 
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = cos 𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 
 
 
 
28) Verifica la identidad: 
𝑡𝑔2𝑏
sec 𝑏
= 𝑠𝑒𝑛 𝑏 𝑡𝑔 𝑏 
 
 
 
29) Verifica la identidad: 
𝑐𝑜𝑡𝑔2𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥
=
1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EL Gran Paso – Matemáticas 24/10/2020 
 
Unidad IV Página 12 
Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas para 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐𝝅 
 
1) Resuelve la siguiente ecuación: 
 
cos 2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0 
 
𝐴) 60° 𝐵) 36° 𝑪) 𝟗𝟎° 𝐷) 63° 𝐸) 96° 
 
 
2) Resuelve la siguiente ecuación: 
 
3 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 3 = 0 
 
𝑨) 𝟗𝟎° 𝐵) 95° 𝐶) 60° 𝐷) 99° 𝐸) 69° 
 
 
3) Resuelve la siguiente ecuación: 
 
𝑠𝑒𝑐2𝑥 + 4 𝑡𝑔 𝑥 = 0 
 
𝐴) − 65° 𝑦 − 75° 𝐵) 15° 𝑦 75° 𝐶) − 51° 𝑦 75° 
 
𝐷) − 51° 𝑦 57° 𝑬) − 𝟏𝟓° 𝒚 − 𝟕𝟓° 
 
 
4) Resuelve la siguiente ecuación: 
 
𝑠𝑒𝑛 2𝑥 cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0 
 
𝐴) 21° 𝐵) 02° 𝑪) 𝟎° 𝐷) − 2° 𝐸) 10° 
 
5) Resuelve la siguiente ecuación: 
 
cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 2 𝑥 + 3 𝑠𝑒𝑛 2 𝑥 + 3 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0 
 
𝐴) 219°82´38,3´´ 𝑩) 𝟏𝟐𝟗°𝟐𝟎´𝟑𝟖, 𝟑´´ 𝐶) 192°20´30,3´´ 
𝐷) 912°30´28,3´´ 𝐸) 130°20´38,3´´ 
 
 
EL Gran Paso – Matemáticas 24/10/2020 
 
Unidad IV Página 13 
6) Resuelve la siguiente ecuación: 
2 cos 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 − 1 = 0 
 
𝐴) 38° 𝑩) 𝟑𝟎° 𝐶) − 60° 𝐷) 60° 𝐸) − 30° 
 
 
 
7) Resuelve la siguiente ecuación: 
 
4 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 3 − 4 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 
𝑨) 𝟑𝟎° 𝐵) 38° 𝐶) − 60° 𝐷) 60° 𝐸) − 30° 
 
 
 
8) Resuelve la siguiente ecuación: 
3 𝑡𝑔𝑥 = 2 cos 𝑥 
 
𝐴) 60° 𝐵) 38° 𝑪) 𝟑𝟎° 𝐷) − 30° 𝐸) − 38° 
 
 
9) Resuelve la siguiente ecuación: 
 
2 cos 𝑥 − 3 sec 𝑥 = 5 
 
 
𝐴) − 120° 𝐵) − 210° 𝐶) 210° 𝑫) 𝟏𝟐𝟎° 𝐸) 121° 
 
 
10) Resuelve la siguiente ecuación: 
 
𝑐𝑜𝑠2𝑥 + cos 𝑥 = 0 
 
 
𝐴) 181° 𝐵) 108° 𝐶) 810° 𝐷) 810° 𝑬) 𝟏𝟖𝟎° 
 
 
 
 
 
 
EL Gran Paso – Matemáticas 24/10/2020 
 
Unidad IV Página 14 
11) Resuelve la siguiente ecuación: 
20 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − cos 𝑥 − 1 = 0 
 
𝐴) 𝑥1 = 71°35´20,96´´ 
 𝑥2 = 110°32´13,05´´ 
𝑩) 𝒙𝟏 = 𝟕𝟓°𝟑𝟏´𝟐𝟎, 𝟗𝟔´´ 
 𝒙𝟐 = 𝟏𝟎𝟏°𝟑𝟐´𝟏𝟑, 𝟎𝟓´´ 
𝐶) 𝑥1 = 57°31´21.96´´ 
 𝑥2 = 101°132´32,05´´ 
 
𝐷) 𝑥1 = 75°21´31´´ 
 𝑥2 = 110°23´13´´ 
𝐸) 𝑥1 = 75°13´12´´ 
 𝑥2 = 101°23´31´´ 
 
 
 
12) Resuelve la siguiente ecuación: 
 
3𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 3 
 
𝑨) 𝟎° 𝐵) − 20° 𝐶) − 10° 𝐷) 20° 𝐸) 10° 
 
 
13) Resuelve la siguiente ecuación: 
𝑡𝑔2𝑥 − 4 = 0 
 
𝐴) 62°26´8,62´´ 𝐵) 36°36´6,8´´ 𝐶) 66°26´6,82´´ 𝑫) 𝟔𝟑°𝟐𝟔´𝟓, 𝟖𝟐´´ 𝐸) 63°62´8,2´´ 
 
 
14) Resuelve la siguiente ecuación: 
 
6 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 1 = 0 
 
𝑨) 𝒙𝟏 = 𝟏𝟗°𝟐𝟖´𝟏𝟔, 𝟑𝟗´´ 
 𝒙𝟐 = −𝟑𝟎° 
𝐵) 𝑥1 = 19°28´16,39´´ 
 𝑥2 = 30° 
𝐶) 𝑥1 = 19°16´28,39´´ 
 𝑥2 = 30° 
 
𝐷) 𝑥1 = 29°18´16,29´´ 
 𝑥2 = −30° 
𝐸) 𝑥1 = 16°28´19,16´´ 
𝑥2 = −30° 
 
 
 
15) Resuelve la siguiente ecuación: 
 
2 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 7𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 3 = 0 
 
 
𝐴) 30° 𝐵) − 60° 𝐶) 60° 𝐷) − 90° 𝑬) − 𝟑𝟎° 
 
 
EL Gran Paso – Matemáticas 24/10/2020 
 
Unidad IV Página 15 
16) Resuelve la siguiente ecuación: 
 
5 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 − 2 cos 𝑥 = 0 
 
𝐴) 65°25´18,56´´ 𝑩) 𝟔𝟔°𝟐𝟓´𝟏𝟗, 𝟓𝟔´´ 𝐶) 66°52´19,65´´ 
 
𝐷) 56°52´19,65´´ 𝐸) 66°52´20,56´´ 
 
 
 
17) Resuelve la siguiente ecuación: 
 
4 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 − 30°) cos (𝑥 − 30°) = √3 
 
𝑨) 𝟔𝟎° 𝐵) 30° 𝐶) 90° 𝐷) − 60° 𝐸) − 90° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EL Gran Paso – Matemáticas 24/10/2020 
 
Unidad IV Página 16 
BIBLIOGRAFÍA: 
Aurelio Baldor. /Geometría Plana y del Espacio: con una introducción a la 
Trigonometría/ – 3ra. Reimpresión. - - México: Cultural, 1985. – – 514 p 
 
J. R. Giovanni, J. R. Bonjorno, J. R. Giovanni Jr. y R. Acosta D. Matemática 
Fundamental 
 
Francisco V. Pujol – Raimundo Sánchez, (2017) Matemática Práctica I, Aritmética, 
Álgebra, Geometría Plana y del Espacio y Trigonometría. Asunción 
 
Marcos Velázquez, Patricia de Soto, Stela de Araujo, Amanda Duré, Teresa Aranda, 
MatemáticaBásica con Estadística, Cuarta edición. 
 
Ángel P. Secchia, Francisco V. Pujol. /Secchia, Ángel P. Ejercicios de trigonometría 
- Asunción: comuneros,1979.- - 145 p. 
Argüelles Rodríguez, J., “Historia de la matemática”, Ediciones Akal, S. A. Madrid, 
1989. ISBN: 84-7600-446-X. 
 
Boyer, C. B. “Historia de la matemática”, Alianza editorial, S. A. Madrid, 2003. ISBN: 
84-206-8186-5. 
 
José Pablo Flores Zúñiga/Manual de teoría: Trigonometría; Matemática; Bachillerato. 
 
Rubén Alva Cabrera/Trigonometría: Teoría y práctica; Colección Uniciencia 
Sapiens/-Rubén Alva Cabrera, 2007; Asesoría académica: Salvador Timoteo V. 
Editorial San Marcos E. I. R. L., editor/-Jr. Dávalos Lissón 135, Lima, Lima, Lima 
https://matematica.laguia2000.com/general/identidades-trigonometricas 
 
Softwares emuladores de calculadora 
Para PC: https://n9.cl/casiofx-82es 
Para Android: https://n9.cl/android-calcesplus 
Vídeos Tutoriales para uso de calculadoras: 
http://www.casiocalculadoras.mx/academico_videos.html 
 
 
Coordinadores 
Prof. Mtr. César José Ocampos Acuña 
Prof. Lic. Fredys Osmar Torres Ojeda 
Responsable del contenido Prof. Lic. Alice Leguizamón Jara 
Responsable de la revisión Univ. Hanna Candia Leguizamón 
Responsable de la corrección Prof. Lic. Simón Francisco Ruiz Diaz Vicezar 
 
 
 
https://matematica.laguia2000.com/general/identidades-trigonometricas
https://n9.cl/casiofx-82es
https://n9.cl/android-calcesplus
http://www.casiocalculadoras.mx/academico_videos.html