MatCS T3 SOR (2)

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Profesor tutor: Santiago de la Osa Rodríguez
TUTORIA 3.Matemáticas aplicadas a 
las Ciencias Sociales
Profesor tutor: Santiago de la Osa Rodríguez
sdelaosa@eivissa.uned.es
LEYES DE MORGAN
1ª LEY DE MORGAN
¬(pʌq) = ¬p v ¬q 
2ª LEY DE MORGAN2ª LEY DE MORGAN
¬(pvq) = ¬p ʌ ¬q 
Demostración 1ª LEY DE MORGAN
¬(pʌq) = ¬p v ¬q
p q (pʌq) ¬(pʌq) ¬ p ¬ q ¬p v ¬q
V V
V FV F
F V
F F
RAZONAMIENTO
Se denomina razonamiento a la afirmación de
que cierta proposición, que se dice conclusión,
se sigue de otras proposiciones previas
denominadas premisas.denominadas premisas.
p
q premisas
r
…
⸫s conclusión
Ejemplos:
Si llueve entonces hay nubes en el cielo.
Llueve, luego hay nubes en el cielo.
p: llueve 
q: hay nubes en el cielo
Si llueve entonces hay nubes en el cielo. Llueve, luego 
hay nubes en el cielo.
p→qp→q
p .
⸫ q
Razonamiento válido o falacia
Un razonamiento es lógicamente válido si
siempre que las premisas son verdaderas lo es
también la conclusión.también la conclusión.
Un razonamiento que no es válido se llama falacia
Observación:
Para demostrar que un razonamiento no es
lógicamente válido basta encontrar un caso en
que las premisas son verdaderas y la conclusión es
falsafalsa
Comprobemos la validez del siguiente razonamiento
p→q
p .
⸫ q
p q p→q
V V
V FV F
F V
F F
Otro ejemplo:
Si la tortuga pone huevos entonces es un ave. La
tortuga pone huevos. Entoces la tortuga es una
ave.
p: la tortuga pone huevos 
q: la tortuga es un ave
Si la tortuga pone huevos entonces es un ave. La tortuga pone 
huevos. Entoces la tortuga es una ave.
p→q
p .p .
⸫ q
Otro ejemplo:
Si la tierra gira alrededor del sol entonces es
un planeta. La tierra es un planeta. Entonces
la tierra gira alrededor del sol.
p: la tierra gira alrededor del sol
q: la tierra es un planeta
Si la tierra gira alrededor del sol entonces es un planeta. La 
tierra es un planeta. Entonces la tierra gira alrededor del sol.
p→qp→q
q .
⸫ p
Comprobemos la validez del siguiente razonamiento
p→q
q .
⸫ p
p q p→qp q p→q
V V
V F
F V
F F
REGLAS DE INFERENCIA
Las reglas de inferencia son unas reglas que facilitan la
comprobación de que un razonamiento es válido.
Modus Ponendo Ponens
ModusTollendoTollens
ModusTollendo Ponens
Silogismo Hipotético
Modus Ponendo Ponens
p→q
p .
⸫
Ejemplo:
Si pienso, entonces existo. Pienso. Luego existo
p:pienso
q: existo
p→q
p .
⸫q
Modus TollendoTollens
p→q
¬q .
⸫
Ejemplo:
Si el pueblo está lejos, entonces tardamos más de 
una hora en llegar. No tardamos más de una hora 
en llegar. Conclusión, el pueblo no está lejos.
p: el pueblo está lejosp: el pueblo está lejos
q: tardamos más de una hora en llegar
p→q
¬q .
⸫¬p
Modus Tollendo Ponens
pvq pvq
¬p . ¬q .
⸫ ⸫
Ejemplo:
Es muy trabajador o tiene mucha suerte. No es muy 
trabajador. Entonces tiene mucha suerte
p:Es muy trabajador
q: Tiene mucha suerteq: Tiene mucha suerte
pvq
¬p . 
⸫ q
Silogismo hipotético
p→q
q →r.
⸫
Ejemplo:
Si el próximo domingo hace buen tiempo entonces iré al
campo. Si el próximo domingo voy al campo entonces
podaré los rosales. En definitiva, si el próximo domingo
hace buen tiempo entonces podaré los rosales.
p:el domingo hace buen tiempop:el domingo hace buen tiempo
q: iré al campo
r:podaré los rosales
p→q
q →r.
⸫ p→r
Demostración
Una demostración es el proceso que partiendo 
de las premisas, llegamos a la conclusión a traves
de una serie de proposiciones intermedias 
obtenidas sucesivamente mediante la aplicación 
de reglas de inferenciade reglas de inferencia
Ejemplo 
Si José ganó la carrera entonces Pedro fue el segundo o
Ramón fue el segundo. Si Pedro fue el segundo, entonces
José no ganó la carrera. Si Carlos fue el segundo
entonces Ramón no fue el segundo. José ganó la carrera.
Luego Carlos no fue el segundo.
p: José gano la carrera
q: Pedro fue el segundo
r: Ramón fue el segundo
s: Carlos fue el segundo
La traducción del texto sería:
1. p→(qvr)
2. q →¬p
3. s →¬r 
4. p .
⸫ ¬s
Ejemplo 2:
Si Juan es más alto que Pedro, entonces María es más baja que
Alicia; María no es más baja que Alicia; Si Juan y Luis tienen
la misma estatura, entonces Juan es más alto que Pedro;
luego Juan y Luis no tienen la misma estatura.
p:Juan es más alto que Pedrop:Juan es más alto que Pedro
q:María es más baja que Alicia
r:Juan y Luis tienen la misma estatura
La traducción del texto sería:
1. p→q
2. ¬q
3. r→p 
⸫¬r
1.2 CONJUNTOS
CONCEPTOS BÁSICOS:
Los conjuntos son colecciones de objetos, cosas. . .
 LOS CONJUNTOS SE REPRESENTAN CON LETRAS 
MAYÚSCULAS: A,B,C,…MAYÚSCULAS: A,B,C,…
 LOS ELEMENTOS SE REPRESENTAN CON LETRAS 
MINÚSCULAS: a,b,x,t…
Relación entre elementos y conjuntos
Relación entre conjuntos
Propiedades
Conjuntos especiales
OPERACIONES DE CONJUNTOS
EJEMPLOS:
A={a,b,c}
B={a,c,e,f}
A B=
Definición:
UNIÓN DE CONJUNTOS
EJEMPLO:
A={a,b,c}
B={a,c,e,f}
A B=
COMPLEMENTARIO DE UN CONJUNTO
EJEMPLO:
U={a,b,c,d,e,f}
A={a,c,e,f}
Calcula:
DIFERENCIA DE CONJUNTOS 
Definimos el conjunto A-B como un conjunto formado por los 
elementos de A pero que no son de B.
Ejercicio:
Sea A={1,2,3,5,7}y B={2,3}Calcula A-B
Sea A={a,b,c,d,e}y B={b,c,f}Calcula A-B y B-ASea A={a,b,c,d,e}y B={b,c,f}Calcula A-B y B-A
Ejercicio:
Demostrar que A-B=AꓵBʼ