Material de Estudio _ TRIGONOMETRÍA PREUNIVERSITARIO 2020-2

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Problema 1 
Si 𝑓(𝑥) = 4 arccsc (
𝑥
2
+ 1) − 𝜋. Determinar 𝐷𝑜𝑚(𝑓). 
𝑨) ⟨−∞ , −𝟒] ∪ [𝟎, +∞⟩ 
𝐵) ⟨−∞ , −2] ∪ [2, +∞⟩ 
𝐶) ⟨−∞, 0] ∪ [4, +∞⟩ 
𝐷) ⟨−∞ , −2] ∪ [0, +∞⟩ 
𝐸) ⟨−∞ ,0] ∪ [2, +∞⟩ 
Solución: 
Se tiene que: 1 ≤
𝑥
2
+ 1 ∨ 
𝑥
2
+ 1 ≤ −1 
Entonces 0 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 ≤ −4. 
Por tanto el dominio es ⟨−∞ , −𝟒] ∪ [𝟎, +∞⟩ 
Problema 2 
Calcular 𝑠𝑒𝑛(3arctan (√3 − 2)) 
𝐴) −
√3
2
 
𝑩) −
√𝟐
𝟐
 
𝐶) 
√2
2
 
𝐷) 
√3
2
 
𝐸) 1 
Solución: 
Se sabe que arctan(√3 − 2) = − arctan(2 − √3) = −
𝜋
12
. 
Así 𝑠𝑒𝑛 (3 ⋅ (−
𝜋
12
)) = −𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
4
) = −
√2
2
 
Por tanto, 𝒔𝒆𝒏(𝟑 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧(√𝟑 − 𝟐)) = −
√𝟐
𝟐
 
Problema 3 
Si 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) + arctan(𝑦) + arccsc(𝑧) =
4𝜋
3
 
Calcule arccos(𝑥) + arccot(𝑦) + arcsec(𝑧). 
𝐴) −
2𝜋
3
 
𝐵) −
𝜋
3
 
𝐶) −
𝜋
6
 
𝑫) 
𝝅
𝟔
 
𝐸) 
𝜋
3
 
 
Solución: 
Como: 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) + arccos(𝑥) =
𝜋
2
,…..I 
arctan(𝑦) + arccot(𝑦) =
𝜋
2
,…..II 
arcsec(𝑧) + arccsc(𝑧) =
𝜋
2
…….III 
Entonces si 𝑀 = arccos(𝑥) + arccot(𝑦) + arcsec(𝑧), tenemos, 
 
Sumando miembro a miembro las expresiones: I+II+III: 
arccos(𝑥) + arccot(𝑦) + arcsec(𝑧) + 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) + arctan(𝑦) + arccsc(𝑧) =
𝟑𝝅
𝟐
 
 𝑀 +
4𝜋
3
=
𝟑𝝅
𝟐
 
𝑴 =
𝟑𝝅
𝟐
−
𝟒𝝅
𝟑
 
M =
𝝅
𝟔
 
 
Problema 4 
Determine el dominio de: 
𝑓(𝑥) = √
2𝜋
3
− arcsec (𝑥) + √arcsec(𝑥) −
𝜋
4
 
𝐴) ⟨−∞, −2] ∪ [1, +∞⟩ 
𝐵) ⟨−∞, −√2] ∪ [√2, +∞⟩ 
𝐶) ⟨−∞, −√2] ∪ [2, +∞⟩ 
𝑫) ⟨−∞, −𝟐] ∪ [√𝟐 , +∞⟩ 
𝐸) ⟨−∞, 1] ∪ [√2, +∞⟩ 
 
Solución: 
Observamos que: 
2𝜋
3
− arcsec(𝑥) ≥ 0 ∧ arcsec(𝑥) −
𝜋
4
≥ 0. 
Entonces 
2𝜋
3
≥ arcsec(𝑥) ∧ arcsec(𝑥) ≥
𝜋
4
, 
 
 
 
 
Graficando se tiene: 
 
 
 
 
 
entonces: 
 
𝑫𝒐𝒎(𝒇) = ⟨−∞, −𝟐] ∪ [√𝟐 , +∞⟩