SEPARATA RACIONALES

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ARITMÉTICA 
NÚMEROS RACIONALES 
 
 
1. Sean las relaciones definidas sobre 
ℤ∗: 
I. 𝑥~𝑦 ↔ 𝑥. 𝑦 > 0. 
II. 𝑥~𝑦 ↔ 𝑥 + 𝑦 es un número 
par. 
III. 𝑥~𝑦 ↔ 𝑀𝐴(𝑥, 𝑦) ≥
𝑀𝐻(𝑥, 𝑦). 
Escribe V en caso dicha relación defina 
una relación de equivalencia, caso 
contrario coloque F. 
A) VVV B) VVF C) VFV 
D) FVV E) FVF 
 
2. Sean 𝑅1 y 𝑅2 dos relaciones definidas 
sobre el conjunto 𝐴 ≠ ∅. 
Determine la veracidad de las 
siguientes proposiciones: 
I. Si 𝑅1 es reflexiva entonces 𝑅1 ∪
𝑅2 es reflexiva. 
II. Si 𝑅1 es simétrica entonces 𝑅1 ∪
𝑅2 es simétrica. 
III. Si 𝑅1 y 𝑅2 son de equivalencia entonces 𝑅1 ∩
𝑅2 es de equivalencia. 
A) VVV B) VFV 
C) VFF D) FFV E) FVV 
 
3. Con respecto a la construcción de los 
números racionales, es decir visto a 
ℚ como un conjunto formado por 
clases de equivalencia; se puede 
afirmar: 
I. ℤ está contenido en ℚ. 
II. 1,2 ∈ ℚ. 
III. Existe un elemento en ℚ 
cuyos puntos se encuentran 
sobre una recta de pendiente 
√3. 
 
A) VVV B) VVF C) VFV 
B) D) FVV E) FFF 
4. Con respecto a la construcción de los 
números racionales, se puede 
afirmar: 
I. ℚ = {[(𝑎, 𝑏)]: (𝑎, 𝑏) ∈ ℤ ×
ℤ∗ 𝑦 𝑀𝐶𝐷(𝑎, 𝑏) = 1}. 
II. ℚ = {[(𝑎, 𝑏)]: (𝑎, 𝑏) ∈ ℤ ×
ℤ∗ ʌ 𝑎 × 𝑏 ≥ 0}. 
III. ℚ = {[(𝑎, 𝑏)]: (𝑎, 𝑏) ∈ ℤ ×
ℤ∗ ʌ (𝑎 × 𝑏 ≥ 0 ⋁ 𝑎 × 𝑏 < 0)}. 
 
C) VVV B) VVF C) VFV 
D) D) FVV E) FVF 
5. Indique el valor de verdad de las 
siguientes proposiciones: 
I. El conjunto de los irracionales es 
cerrado bajo la operación suma. 
II. La gráfica de la clase de 
equivalencia de (1; 2) es una recta 
cuya pendiente es 0,5. 
III. Las fracciones (24, 39) y [0; 1, 1, 
1, 1, 1, 1] son equivalentes. 
A) FVV B) VVV C) FFV 
D) FVF E) FFF 
 
6. Indique el valor de verdad de las 
siguientes proposiciones: 
 
 
I. Toda recta que pasa por el origen 
distinta del eje X contiene a 
los representantes de una 
clase de equivalencia. 
II. Todo número racional posee 
inverso multiplicativo. 
III. El número 0,1011001110001111 
0000… (donde las cifras cero y 
uno van incrementándose 
indefinidamente) es un número 
irracional. 
A) VVV B) VFV C)FFF 
D) FFV E) VFF 
7. Indique el valor de verdad de las 
siguientes proposiciones: 
I. El menor ángulo formado por las 
rectas que contienen a las clases 
de equivalencia [(4; 3)] y [(–24; 
7)] es 53°. 
II. Si y 
 son 
representantes canónicos de sus 
respectivas clases de 
equivalencia entonces 
. 
III. Si es 
representante canónico 
entonces a y b son PESI y además 
. 
A) VVV B) VVF C) VFF 
D) FVV E) FVF 
8. Indique el valor de verdad de las 
siguientes proposiciones: 
I. La gráfica de toda clase de 
equivalencia, está dado por 
puntos que pertenecen a una 
misma recta, que pasa por el 
origen de coordenadas. 
II. La gráfica de con a y b 
diferentes de cero, intersectado 
con el eje X es no vacío. 
III. Si entonces el 
representante canónico de 
 es de la forma 
𝑎
1
 
donde 𝑎 es un entero. 
A) VFF B) FFV C) FVV 
 D) VVV E) VFV 
9. Sean las clases de equivalencia 
 
tal que ; 
y 
. Si 
 es el representante canónico 
de , calcule 
A) – 2 B) 0 C) 3 
D) 4 E) 5 
 
10. Indique el valor de verdad de las 
siguientes proposiciones: 
I. La clase es un 
representante canónico. 
II. La suma de las cifras del mayor 
término del representante 
canónico de la clase 
 es 16. 
III. El representante canónico de 
una clase de equivalencia 
[(𝑎, 𝑏)] es único. 
A) VVV B) VVF C)VFF 
D) FFV E) FFF 
 
( ) ( )a, b 6, 8  − 
( ) ( )c,d 12; 18  − − 
a c –1+ =
( ) ( )a, b c, d   
a b 0 
a
b
 
  
m 27
n 18
 
  − 
2m n
n m
− 
 + 
( ) ( ) ( ) ( ) a, b = a, b ; c, d ; b,a   
c d 0+ 
( ) ( ) ( ) p,q p, q ; 0, r ;   = 
( ) ( ) ( )s, t a, b p, q     = +     
( )m,n
( )s,t   (3m n)+
( )1;19  
( )6499,6901  
 
 
11. Las clases de equivalencias y 
, con 𝑎 el menor entero 
positivo posible tiene como 
representantes canónicos a e , 
respectivamente, se sabe además que 
 ; y n es 
impar, halle 
A) 6 B) 8 C) 10 
D) 11 E) 24 
 
12. Si 𝑛 ∈ ℤ+ es tal que 
; es el 
representante canónico de y 
además , halle . 
A) 5 B) 6 C)7 
D) 8 E) 9 
 
13. Si , 
además posee 16 divisores 
enteros positivos, calcule (a + b + c + 
d). 
A) 18 B) 19 C) 20 
D) 21 E) 22 
 
14. Si (p,q) es el representante canónico 
de ( )
2n 10
con n 5; r,t
15 3n
− 
 − 
es 
representante canónico de 
x
y
 
 
 
 . 
Además 
x p q
y q p
     
= +     
    
, entonces 
el valor de r 2t+ es. 
A) −2 B) −1 C) 1 
 D) 2 E) 3 
 
15. Indique el valor de verdad de: 
I. En las clases de equivalencia de 
las fracciones, si 
a c a c
b d b d
       
  → =       
       
 
II. El representante canónico de 
[
𝑎
𝑏
] ∈ ℚ es único. 
III. ∀ [
𝑎
𝑏
] ∈ ℚ, ∃ [
𝑎
𝑏
]
−1
∈ ℚ. 
A) FVV B) VVF C) FFV 
D) VVV E) VFV 
 
16. Si 
23 1
n 7 k
 

 −  
 donde ( ).K Z+ 
Calcule la suma de los valores que 
toma n con 3 cifras. 
A) 19 400 B) 20 000 C) 20 493 
D) 20724 E) 21 801 
 
17. Determine un elemento de  
  
54
74
 tal 
que el producto de sus términos sea 
un número capicúa de cinco cifras. Dé 
como respuesta la suma de estas 
cinco cifras. 
A) 24 B) 27 C) 30 
D) 31 E) 33 
 
18. Determinar un elemento de la clase 
de equivalencia de[
26
72
] tal que la 
diferencia de términos sea el menor 
número natural con exactamente 3 
a 2
6 a
− 
 + 
a 2
6 a
+ 
 − 
x
y
m
n
x y 14+ = m n 4+ = −
(a x m)+ +
83 12b
(n,1)
7
− 
   
p
q
b
n
 
  
n b 10+  (p q)+
( )ab; cd  ( )19845;11907  
ab cd
 
 
divisores primos. Dar como respuesta 
la suma de términos de dicho 
elemento. 
A) 220 B) 245 C) 268 
D) 294 E) 304 
19. ¿Cuántos elementos de 
21
66
 
  
 son 
tales que su numerador sea un 
número de 2 cifras y su denominador 
sea un número de 3 cifras? 
A) 7 B) 9 C) 10 
D) 12 E) 20 
 
20. Se tienen los números racionales 
(2n – 1; n – 2) y (n – 3; 2) que 
pertenecen a ℤ × ℤ∗ y también a una 
misma clase de equivalencia, luego la 
suma de las pendientes de las rectas 
que pasan par los pares ordenados 
que pertenecen a la misma clase de 
equivalencia es 
A) – 1,5 B) -0,6 C) -0,4 
D) 1,5 E) 2,5 
 
 
21. Indique V o F según corresponda: 
I. Si 𝑃 = {𝑝 ∈
ℤ: 𝑝 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜} entonces 
𝑃𝐶 es denso en ℝ. 
II. El complemento del conjunto {𝑥 ∈
ℝ: 𝑆𝑒𝑛𝑥 = 0} es denso en ℝ. 
III. El conjunto 𝐴 = ℚ ∪ {𝜋} ∪ {𝑒} es 
denso en ℝ. 
 
A) VVV B) VVF C) VFV 
 D) FVV E) FVF 
22. Sean 𝐴 y 𝐵 conjuntos densos en ℝ, 
determine la veracidad de las 
siguientes proposiciones: 
I. 𝐴 ∩ 𝐵 es denso en ℝ. 
II. 𝐴 ∪ 𝐵 es denso en ℝ. 
III. Si 𝐴 ⊂ 𝐵 entonces 𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐶 es 
denso en ℝ. 
A) VVV B) VFV C) FVV 
D) FVF E) FFF 
 
23. Determine la veracidad de las 
siguientes proposiciones: 
I. ℚ,I y ℝ son los únicos 
conjuntos densos en ℝ. 
II. El complemento de 𝐴 = {𝑥 ∈
ℝ: 𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0} es denso 
en ℝ. 
III. Si 𝐴 ⊂ ℝ es denso en ℝ 
entonces 𝐴𝐶 es denso en ℝ. 
 
A) VVV B) VVF C) VFV 
D) FVV E) FVF 
24. Determine la veracidad de las 
siguientes proposiciones: 
I. Para cualesquiera 𝑎, 𝑏 ∈ ℚ𝐶 con 𝑎 < 𝑏 
existe un 𝑐 ∈ ℚ tal que 𝑎 < 𝑐 < 𝑏. 
II. Entre √2 y √3 existen infinitos 
números racionales. 
III. Para cualesquiera 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ con 𝑎 < 𝑏 
existe un 𝑟2 ∈ ℚ tal que 𝑎 < 𝑟2 < 𝑏. 
A) VVVB) VVF C) VFV 
D) FVV E) FVF 
 
 
 
 
25. Indique V o F según corresponda: 
I. El complemento del conjunto 
ℚ(√2) = {𝑎 + 𝑏√2: 𝑎, 𝑏 ∈ ℚ} 
es denso en ℝ . 
II. No es cierto que el 
complemento del conjunto de 
divisores de 600 sea denso en ℝ. 
III. El conjunto de los número 
naturales es denso en ℝ. 
A) VVV B) VVF C) VFV 
D) FVV E) FVF