Integrales Multiples

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INTEGRALES MÚLTIPLES
𝐼 = න
𝑦=𝑐
𝑑
න
𝑥=𝑎
𝑏
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦
CALCULO DEL VOLUMEN
X
Y
Z El Volumen lo hallaremos construyendo
paralelepípedos que encajen o que
encierren al cuerpo en mención.
X
Y
Z
𝑉 ≈ 𝑓 𝑥0, 𝑦0 ∆𝑥 ∆𝑦 + 𝑓 𝑥0, 𝑦0 + ∆𝑦 ∆𝑥 ∆𝑦 + 𝑓 𝑥0, 𝑦0 + 2∆𝑦 ∆𝑥 ∆𝑦 +
𝑓 𝑥0 + ∆𝑥, 𝑦0 ∆𝑥 ∆𝑦 + 𝑓 𝑥0 + ∆𝑥, 𝑦0 + ∆𝑦 ∆𝑥 ∆𝑦 + 𝑓 𝑥0 + ∆𝑥, 𝑦0 + 2∆𝑦 ∆𝑥 ∆𝑦
𝑉 ≈ ෍
𝑗=0
𝑛𝑥−1
෍
𝑖=0
𝑛𝑦−1
𝑓 𝑥0 + 𝑗∆𝑥, 𝑦0 + 𝑖∆𝑦 ∆𝑥 ∆𝑦
X
Y
Z
𝑉 ≈ 𝑓 𝑥0, 𝑦0 + ∆𝑦 ∆𝑥 ∆𝑦 + 𝑓 𝑥0, 𝑦0 + 2∆𝑦 ∆𝑥 ∆𝑦 + 𝑓 𝑥0, 𝑦0 + 3∆𝑦 ∆𝑥 ∆𝑦 +
𝑓 𝑥0 + ∆𝑥, 𝑦0 + ∆𝑦 ∆𝑥 ∆𝑦 + 𝑓 𝑥0 + ∆𝑥, 𝑦0 + 2∆𝑦 ∆𝑥 ∆𝑦 + 𝑓 𝑥0 + ∆𝑥, 𝑦0 + 3∆𝑦 ∆𝑥 ∆𝑦
𝑉 ≈෍
𝑗=1
𝑛𝑥
෍
𝑖=1
𝑛𝑦
𝑓 𝑥0 + 𝑗∆𝑥, 𝑦0 + 𝑖∆𝑦 ∆𝑥 ∆𝑦
𝑉 ≈ ෍
𝑗=0
𝑛𝑥−1
෍
𝑖=1
𝑛𝑦
𝑓 𝑥0 + 𝑗∆𝑥, 𝑦0 + 𝑖∆𝑦 ∆𝑥 ∆𝑦
𝑉 ≈෍
𝑗=1
𝑛𝑥
෍
𝑖=0
𝑛𝑦−1
𝑓 𝑥0 + 𝑗∆𝑥, 𝑦0 + 𝑖∆𝑦 ∆𝑥 ∆𝑦
X
Y
Z
Ejemplo: Se tiene un recipiente de paredes laterales verticales de lados 2 m
(eje X) y 3 m (eje Y). La parte superior del recipiente se cierra con una
sección esférica de una esfera de radio 4m. El centro de la esfera coincide
con el vértice O que muestra la figura.
0
Hallar el volumen del recipiente 
utilizando paralelepípedos de sección 
transversal de 1 m2.
a) El mayor volumen.
b) El menor volumen.
X
Y
Z
0
𝑅2 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
X Y Z
0 0
0 1
0 2
0 3
1 0
1 1
1 2
1 3
2 0
2 1
2 2
2 3
𝑧 = 𝑅2 − 𝑥2 − 𝑦2
Las integrales múltiples se pueden calcular como
integrales iteradas.
Primero se evalúa la integral en una de las
dimensiones y el resultado de esta primera integración
se incorpora en la segunda dimensión. Una integral
numérica doble está basada en la misma idea. Primero
se aplica el método, como la regla de Simpson, a la
primera dimensión manteniendo constantes los
valores de la segunda dimensión. Después, se aplica el
método para integrar la segunda dimensión.
𝐼 = න
𝑦=𝑐
𝑑
න
𝑥=𝑎
𝑏
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝐼 = න
𝑦=𝑐
𝑑
න
𝑥=𝑎
𝑏
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝐼 ≈ ෍
𝑦=𝑐
𝑑
෍
𝑥=𝑎
𝑏
𝑓 𝑥, 𝑦 ∆𝑥∆𝑦
Integral = 0
Repetir y = c hasta d paso y
Repetir x = a hasta b paso x
integral=f(x,y)* y* x+integral
Fin x
Fin y
Ejemplo: Sea f(x) = x y, 
a) Mediante las reglas de la integral hallar
b) Utilizando la integración numérica hallar la integral 
anterior, con x = 0.5 y y = 0.2 
c) Utilizando la integración numérica hallar la integral 
anterior, con x = 0.1 y y = 0.1
d) Utilizando la integración numérica hallar la integral 
anterior, con x = 0.01 y y = 0.01
න
𝑦=1
3
න
1
2
𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦
Ejercicio: Suponga que la temperatura en una placa
rectangular se describe mediante la siguiente función:
T(x, y) = 2xy + 2x – x2 – 2y2 + 72
Si la placa tiene 8 m de largo (dimensión x) y 6 m de
ancho (dimensión y), calcule la temperatura
promedio.
84
3
6
X
Y