parciales-mate2

Vista previa del material en texto

Parciales Matemática II
Facultad de Informática - UNLP
Octubre 2013
1er parcial 1er fecha 10/10/2013
1. Sean f(x) = x3 y g(x) =
{
|x− 2| si x ≥ 0
1 si x < 0
Hallar (f ◦g)(x) expresándolo sin valor absoluto.
Rta: Primero hace falta expresar g(x) sin valor absoluto, para luego hacer la composición de
funciones.
g(x) =
{
|x− 2| si x ≥ 0
1 si x < 0
(1)
|x− 2| =
{
x− 2 si x− 2 ≥ 0
−x+ 2 si x− 2 < 0 (2)
|x− 2| =
{
x− 2 si x ≥ 2
−x+ 2 si x < 2 (3)
g(x) =

x− 2 si x ≥ 2
−x+ 2 si 0 ≤ x < 2
1 si x < 0
(4)
(f ◦ g)(x) =

(x− 2)3 si x ≥ 2
(−x+ 2)3 si 0 ≤ x < 2
13 si x < 0
(5)
2. (a) Defina qué es una aśıntota vertical y una aśıntota horizontal.
Rta: Aśıntota vertical: Si f(x) tiende a +∞ o −∞ cuando x tiende a x0 por la derecha
o por la izquierda, se dice que la recta de ecuación x = x0, es una aśıntota vertical de la
gráfica de f .
Aśıntota horizontal: Si lim
x→+∞
f(x) = L o lim
x→−∞
f(x) = L diremos que la recta de
ecuación y = L es una aśıntota horizontal de la gráfica de f(x)
(b) Decida si la función f(x) =
x
x2 + x− 2
tiene aśıntotas verticales. En caso que existan
indique cuáles son y por qué.
Rta:
Sea g(x) = x2 + x− 2, g(x) = 0 con x = 1 y x = −2.
1
lim
x→1+
x
x2 + x− 2
= lim
x→1+
x
(x− 1)(x+ 2)
= +∞ (6)
lim
x→1−
x
x2 + x− 2
= lim
x→1−
x
(x− 1)(x+ 2)
= −∞ (7)
lim
x→−2+
x
x2 + x− 2
= lim
x→−2+
x
(x− 1)(x+ 2)
= +∞ (8)
lim
x→−2−
x
x2 + x− 2
= lim
x→−2−
x
(x− 1)(x+ 2)
= −∞ (9)
La función f(x) tiene dos aśıntotas verticales, ya que el denominador se hace cero cuando
x = 1 ó x = −2, y el ĺımite de la función cuando x tiende a esos valores vale ±∞. Por lo
tanto las aśıntotas verticales son: x = 1 y x = −2.
3. Sean f y g funciones definidas en R y derivables, se define h(x) =
g(x) + 3/4
4g(x) + 1
.
Si g(1) = 1
4
, f ′(1
2
) = −1 y g′(1) = 2, hallar (f ◦ h)′(1)
Rta:
(f ◦ h)′(1) = f ′(h(1))h′(1) (10)
h′(x) =
(g(x) + 3/4)′(4g(x) + 1)− (g(x) + 3/4)(4g(x) + 1)′
(4g(x) + 1)2
(11)
h′(x) =
g′(x)(4g(x) + 1)− (g(x) + 3/4)(4g′(x))
16(g(x))2 + 8g(x) + 1
(12)
h′(1) =
2(4× 1/4 + 1)− (1/4 + 3/4)(4× 2)
16× 1/16 + 8× 1/4 + 1
(13)
h′(1) =
4− 8
4
= −1 (14)
h(1) =
1/4 + 3/4
4× 1/4 + 1
=
1
2
(15)
f ′(h(1))h′(1) = −1f ′(1/2) = −1×−1 = 1 (16)
4. (a) Definir continuidad de una función en un punto.
Rta:
Continuidad: una función f(x) se dice continua en x0, si se cumple que lim
x→x0
f(x) =
f(x0).
Por lo tanto deben satisfacerse las siguientes condiciones:
� f Debe estar definida en x0
� Debe existir el lim
x→x0
f(x), eso es, los ĺımites laterales de f(x) deben ser iguales
� El valor de dicho ĺımite debe coincidir con el valor de la función en el punto x0
(b) Sea α ∈ R, f : R→ R definida por: f(x) =
{
x− |x|
x
si x 6= 0
α si x = 0
Indicar si existe un valor de α para que f(x) sea continua en x = 0. Justifque.
Rta: Primero hace falta expresar f(x) sin el valor absoluto:
2
f(x) =
{
x− |x|
x
si x 6= 0
α si x = 0
(17)
f(x) =

x− x
x
si x > 0
α si x = 0
x+ x
x
si x < 0
(18)
f(x) =

0 si x > 0
α si x = 0
2 si x < 0
(19)
Para que la funcion f(x) sea continua en x = 0 debe ocurrir que los limites laterales en
el punto sean iguales:
lim
x→0−
f(x) = 2 (20)
lim
x→0+
f(x) = 0 (21)
lim
x→0−
f(x) 6= lim
x→0+
f(x) (22)
Dado que el valor de los limites laterales son diferentes, no es posible encontrar un valor
de α para que f(x) sea continua.
5. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva x2 + 2x + y2 − 2y − 2 = 0 en el punto
(0,
√
3 + 1).
Rta: Hace falta calcular la derivada impĺıcita de la curva:
x2 + 2x+ y2 − 2y − 2 = 0 (23)
d
dx
(x2 + 2x+ y2 − 2y − 2) = d
dx
0 (24)
2x+ 2 + 2y
dy
dx
− 2dy
dx
= 0 (25)
2x+ 2 + 2yy′ − 2y′ = 0 (26)
y′ =
−x− 1
y − 1
=
x+ 1
1− y
(27)
Teniendo la derivada de la curva podemos calcular la pendiente en el punto (0,
√
3 + 1):
y′ =
0 + 1
1− (
√
3 + 1)
=
1
−
√
3
= −
√
3
3
(28)
Esta es la pendiente en el punto. Por último escribimos la ecuación de la recta tangente:
y − y0 = m(x− x0) (29)
y − (
√
3 + 1) = −
√
3
3
(x− 0) (30)
y = −
√
3
3
x+
√
3 + 1 (31)
3
1er parcial 2da fecha 21/10/2013
1. (a) Sea f : [−a, a]→ R y g : [−a, a]→ R, definida por g(x) = f(x) + f(−x)
2
, demostrar que
la función h(x) = f(x)− g(x) es una función impar.
Rta: Función impar: si ∀x ∈ [−a, a], f(−x) = −f(x)
Verificar si h(x) es impar significa verificar que se cumpla la igualdad:
h(−x) = −h(x), ∀x ∈ [−a, a] (32)
Entonces:
h(−x) = f(−x)− f(−x) + f(x)
2
(33)
h(−x) = f(−x)− 1
2
f(−x)− 1
2
f(x) =
1
2
f(−x)− 1
2
f(x) (34)
h(−x) = f(−x)− f(x)
2
(35)
Por otro lado,
−h(x) = −f(x) + f(x) + f(−x)
2
= −f(x) + 1
2
f(x) +
1
2
f(−x) (36)
−h(x) = −1
2
f(x) +
1
2
f(−x) = f(−x)− f(x)
2
(37)
Por lo tanto, se cumple lo siguiente:
h(−x) = −h(x), ∀x ∈ [−a, a] (38)
(b) Ejemplificar definiendo f, g, h.
Rta: Ejemplo, sea f(x) = x:
g(x) =
x− x
2
= 0 (39)
h(x) = x (40)
Verificamos si es impar:
h(−x) = −h(x)→ −x = −x (41)
Por lo tanto, se cumple que h(x) es impar para f(x) = x.
2. (a) Enunciar el Teorema del valor intermedio, y hacer una interpretación geométrica.
Rta. Sea f(x) continua en [a, b] y sea w un valor cualquiera entre f(a) y f(b), entonces
existe c, c ∈ [a, b] tal que f(c) = w. Como interpretación geométrica se puede hacer el
gráfico que está en el módulo.
(b) ¿Puede aplicarse el teorema a f(x) =
{
x+ 1 si x ≤ 0
x− 1 si x > 0 en [−1, 1]?
Justifique lo que afirma.
Rta. No, porque f(x) en x = 0 no es continua.
lim
x→x−
f(x) = lim
x→x−
x+ 1 = 1 (42)
lim
x→x+
f(x) = lim
x→x+
x− 1 = −1 (43)
Dado que los ĺımites laterales en f(x) con x = 0 son diferentes, la función no es cont́ınua,
y por lo tanto no puede aplicarse el teorema del valor intermedio.
4
3. (a) Enunciar el Teorema del Encaje.
Rta. Sean f, g, h tres funciones definidas en un intervalo abierto (a, b) que contiene al
punto c, tales que :
h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) ∀x, x ∈ (a, b)
Excepto posiblemente en c. Luego si:
lim
x→c
h(x) = L y lim
x→c
G(x) = L entonces ⇒ lim
x→c
f(x) = L
(b) Calcular lim
x→−3
g(x) si |g(x) + 4| ≤ 2(x+ 3)4 ∀x ∈ R
Rta. Hace falta usar el teorema del encaje.
|Q(x)| ≤ W (x)⇐⇒ −W (x) ≤ Q(x) ≤ W (x) (44)
|g(x) + 4| ≤ 2(x+ 3)4 (45)
−(2(x+ 3)4) ≤ g(x) + 4 ≤ 2(x+ 3)4 (46)
−(2(x+ 3)4)− 4 ≤ g(x) ≤ 2(x+ 3)4 − 4 (47)
lim
x→−3
−(2(x+ 3)4)− 4 ≤ lim
x→−3
g(x) ≤ lim
x→−3
2(x+ 3)4 − 4 (48)
lim
x→−3
−(2(x+ 3)4)− 4 = −4 (49)
lim
x→−3
2(x+ 3)4 − 4 = −4 (50)
−4 ≤ lim
x→−3
g(x) ≤ −4 (51)
Por lo tanto, por el teorema del encaje:
lim
x→−3
g(x) = −4 (52)
4. Dada f(x) =
{
3x2 + 8kx si x ≥ 0
5x si x < 0
Hallar el valor de k para f resulte derivable en x = 0.
Rta. Hace falta, primero, comprobar la continuidad de f(x) en x = 0 para luego hacer la
derivada en dicho punto mediante el ĺımite del cociente incremental.
Para que f(x) sea continua en x = 0:
lim
x→0−
f(x) = lim
x→0+
f(x) (53)
lim
x→0−
f(x) = lim
x→0−
5x = 0 (54)
lim
x→0+
f(x) = lim
x→0+
3x2 + 8kx = 0 (55)
0 = 0 (56)
5
La función es continua ∀k. Ahora hace falta calcular su derivada:
lim
h→0−
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0+
f(x+ h)− f(x)
h
(57)
lim
h→0−
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0−
5(x+ h)− 5x
h
= lim
h→0−
5x+ 5h− 5x
h
= (58)
lim
h→0−
5h
h
= 5 (59)
lim
h→0+
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0+
3(x+ h)2 + 8k(x+ h)− (3x2 + 8kx)
h
= (60)
lim
h→0+
3(x+ h)2 + 8k(x+ h)− (3x2 + 8kx)
h
= (61)
lim
h→0+
3x2 + 6xh+ 3h2 + 8kx+ 8kh− 3x2 − 8kx
h
= (62)
lim
h→0+
h(6x+ 3h+ 8k)
h
= lim
h→0+
6x+ 3h+ 8k) = 6x+ 8k (63)
Para x = 0:
6× 0 + 8k = 5 =⇒ k = 5
8
(64)
5. ¿En qué punto la tangente a y = −x2 +2x−3 es paralela a la recta de ecuación 3x+y−1 = 0?
Rta. Hace falta encontrar la pendiente de la ecuación 3x+ y− 1 = 0 para luego igualarla a la
derivada de y = −x2 + 2x− 3.
x+ y − 1 = 0 −→ y = −x+ 1, ∴ m = −1 (65)
dy
dx
=
d(−x2 + 2x− 3)
dx
= −2x+ 2 (66)
−2x+ 2 = −1 −→ x = −3
−2
=
3
2
(67)
px =
3
2
(68)
py = −
(
3
2
)2
+ 2
(
3
2
)
− 3 = −9
4
(69)
Por lo tanto, en el punto P (3/2, − 9/4) la tangente a y = −x2 + 2x− 3 es paralela a la recta de
ecuación3x+ y − 1 = 0
6