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Ecuación de primer grado
Una ecuación de primer grado o líneal o ecuación lineal es una igualdad
que involucra una o más variables a la primera potencia y no contiene
productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra
solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia.
Ecuación de primer grado y una variable
En todo anillo conmutativo pueden definirse ecuaciones de primer grado.
En una incógnita
En dos incógnitas
Formas alternativas
Ecuación lineal en el espacio n-dimensional
Sistemas de ecuaciones lineales
Linealidad
Véase también
Referencias
Enlaces externos
Una ecuación de una variable definida sobre un cuerpo , es decir, con donde x es la
variable, admite la siguiente solución:
Cuando tanto la incógnita como los coeficientes son elementos de un anillo que no es un cuerpo, el asunto es más complicado ya
que sólo existirán soluciones cuando m divide a n, si el anillo es un dominio de integridad:
Ejemplo gráfico de ecuaciones lineales.
Índice
En una incógnita
En dos incógnitas
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Variable_(matem%C3%A1ticas)
https://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_conmutativo
https://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matem%C3%A1ticas)
https://es.wikipedia.org/wiki/Dominio_de_integridad
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:FuncionLineal04.svg
En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de las ecuaciones lineales de dos variables es:
;
Donde representa la pendiente y el valor de determina el punto donde la recta corta al eje Y (la ordenada al origen).
Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:
Formas complejas como las anteriores pueden reescribirse usando las reglas del álgebra elemental en formas más simples. Las
letras mayúsculas representan constantes, mientras x e y son variables.
Ecuación general
Aquí A y B no son ambos cero. Representa una línea en el cartesiano. Es posible
encontrar los valores donde x e y se anulan.
Ecuación segmentaria o simétrica
Aquí ni E ni F no pueden ser cero. El gráfico de esta ecuación corta al eje X y al eje Y en
E y F respectivamente.
Forma paramétrica
1. 
2. 
Dos ecuaciones que deben cumplirse de manera simultánea, cada una en la variable t.
Puede convertirse a la forma general despejando t en ambas ecuaciones e igualando. En
esta representación puede afirmarse que la recta pasa por el punto y forma con
el eje de abcisas un ángulo cuya tangente satisface: 
Casos especiales:
Un caso especial es la forma estándar donde y . El gráfico es una línea
horizontal sin intersección con el eje X o (si F = 0) coincidente con ese eje.
Formas alternativas
https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas
https://es.wikipedia.org/wiki/Recta
https://es.wikipedia.org/wiki/Pendiente_de_una_recta
Otro caso especial de la forma general donde y . El gráfico es una línea
vertical, interceptando el eje X en E.
En este caso, todas las variables fueron canceladas, dejando una ecuación que es
verdadera en todos los casos. La forma original (no una tan trivial como la del ejemplo),
es llamada identidad. El gráfico es todo el plano cartesiano, ya que lo satisface todo par
de números reales x e y.
Nótese que si la manipulación algebraica lleva a una ecuación como 1 = 0 entonces la original es llamada inconsistente, o sea que
no se cumple para ningún par de números x e y. Un ejemplo podría ser: .
Adicionalmente podría haber más de dos variables, en ecuaciones simultáneas. Para más información véa: Sistema lineal de
ecuaciones.
Las ecuaciones lineales de varias variables admiten también interpretaciones geométricas, cuando los coeficientes de la ecuación
pertenecen a un cuerpo. Así una función lineal de dos variables de la forma siguiente
representa una recta en un plano. En varias variables asumiendo que tanto las variables y los coeficientes , donde 
 es un cuerpo entonces una ecuación lineal como la siguiente:
representa un hiperplano de n-1 dimensiones en el espacio vectorial n-dimensional .
Los sistemas de ecuaciones lineales expresan varias ecuaciones lineales simultáneamente y admiten un tratamiento matricial. Para
su resolución debe haber tantas ecuaciones como incógnitas y el determinante de la matriz ha de ser real y no nulo.
Geométricamente corresponden a intersecciones de líneas en un único punto (sistema lineal de dos ecuaciones con dos
incógnitas), planos en una recta (dos ecuaciones lineales de tres incógnitas) o un único punto (tres ecuaciones lineales de tres
incógnitas). Los casos en los que el determinante de la matriz es nulo no poseen solución.
Si se consideran n ecuaciones de primer grado linealmente independientes definidas sobre un cuerpo entonces existe solución
única para el sistema si se dan las condiciones del teorema de Rouché-Frobenius, que puede ser calculada mediante la regla de
Cramer que es aplicable a cualquier cuerpo. Si las ecuaciones no son linealmente independientes o no se dan las condiciones del
teorema la situación es más complicada. Si el sistema se plantea sobre un anillo conmutativo que no sea un cuerpo, la existencia
de soluciones es también más complejas.
Ecuación lineal en el espacio n-dimensional
Sistemas de ecuaciones lineales
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_lineal_de_ecuaciones
https://es.wikipedia.org/wiki/Plano_(geometr%C3%ADa)
https://es.wikipedia.org/wiki/Hiperplano
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_lineal_de_ecuaciones
https://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Rouch%C3%A9-Frobenius
https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Cramer
https://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_conmutativo
Una función definida sobre un espacio vectorial es lineal si y solo si se cumple con la siguiente proposición:
5x-10-3x+3+2x=20-x-4-3+3x
Donde α es cualquier escalar. También se llama a f operador lineal.
Función lineal
Ecuación de segundo grado
Ecuación de tercer grado
Ecuación de cuarto grado
Ecuación de quinto grado
Ecuación de sexto grado
Ecuación de séptimo grado
Ecuación de octavo grado
Weisstein, Eric W. «Ecuación lineal» (http://mathworld.wolfram.com/LinearEquation.html). En Weisstein, Eric W. MathWorld
(en inglés). Wolfram Research.
Ejercicios de ecuaciones de primer grado (http://www.ematematicas.net/ecuacion.php)
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Linealidad
Véase también
Referencias
Enlaces externos
https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial
https://es.wikipedia.org/wiki/Escalar_(matem%C3%A1tica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Operador_lineal
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_lineal
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_segundo_grado
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_tercer_grado
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_cuarto_grado
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_quinto_grado
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_sexto_grado
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_s%C3%A9ptimo_grado
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_octavo_grado
https://es.wikipedia.org/wiki/Eric_W._Weisstein
http://mathworld.wolfram.com/LinearEquation.html
https://es.wikipedia.org/wiki/MathWorld
https://es.wikipedia.org/wiki/Wolfram_Research
http://www.ematematicas.net/ecuacion.php
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ecuaci%C3%B3n_de_primer_grado&oldid=118323809
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