IGER-3 -Basico-Matematica-semana-10- (1)

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10
Progresión geométrica
¿Qué encontrará esta semana?
 La reproducción de las células
 Progresión geométrica
 Operaciones con la unidad seguida de ceros
 Problemas de progresiones geométricas
Competencia:
 Produce patrones aritméticos, algebraicos y geométricos, aplicando propiedades y 
relaciones. 
Esta semana logrará:
 Calcular el primer término, el último y la suma en una progresión geométrica.
 Resolver problemas aplicando las ecuaciones de la progresión geométrica.
 Practicar el cálculo mental operando con decimales.
 Completar secuencias lógicas.
 
141Matemática − Semana 10
¡Para comenzar!
¡A trabajar!
A. Responda a las preguntas. Ayúdese con la información que acaba de leer.
1) ¿Cuántas células se obtienen en la segunda división?
 
2) ¿Cuántas células se obtienen en la tercera división?
 
B. Escriba los tres términos que siguen en la serie numérica.
1 2 84
La reproducción de las células
Las células que forman nuestro cuerpo se reproducen mediante un proceso 
de división celular llamado mitosis. En cada mitosis el número de células se 
duplica.
Todo inicia con una célula madre que se divide en dos partes iguales para generar 
dos células hijas. Luego, estas células hijas se dividen para formar otras cuatro 
células y así sucesivamente. Este proceso continúa durante toda la vida, permi-
tiendo la renovación celular y el crecimiento del organismo. Vea la ilustración.
Podemos representar esta multiplicación celular mediante una serie numérica 
en la que cada término es el doble del anterior: 1, 2, 4, 8… Las series numéri-
cas de este tipo se conocen como progresiones geométricas. Nuestro tema de 
la semana.
1
2
4
8
142 IGER − Zaculeu
1. Progresión geométrica
En la actividad anterior vimos que las células se duplican en cada mitosis. La 
serie numérica siguiente muestra la cantidad de células que se producen desde 
la primera hasta la cuarta división.
1 2 4 8
x 2 x 2 x 2
primer término último término
Observe que cada valor se obtiene multiplicando por 2 el término anterior. Una 
serie como esta se llama progresión geométrica. 
Una progresión geométrica es una serie de números en la que cada resultado 
se obtiene multiplicando o dividiendo el término anterior por una misma 
cantidad llamada razón (r).
Las progresiones geométricas siempre se componen de:
• Primer término (a)
• Último término (u)
• Número de términos (n)
• La razón (r) (se calcula dividiendo dos términos consecutivos)
Le presentamos los componentes de la progresión de nuestro ejemplo en la tabla. 
Observe que, a diferencia de la progresión aritmética, el último elemento es (r). 
a u n r
1 8 4 2
	Ejercicio 1
Complete cada progresión geométrica con los términos correspondientes. Luego, escriba el elemento 
correcto en la tabla de la derecha.
1) 
2 4 16
 a u n r
2 16
2) 
15 45
 a u n r
4
3) 
10 30
 a u n r
270 4
143Matemática − Semana 10
El mundo de la matemática
1.1 Último término de una progresión geométrica
Hallar el valor del último término de una progresión geométrica sirve, entre 
otras aplicaciones, para proyectar el crecimiento de la población de un lugar 
o el crecimiento de los cultivos de bacterias en los exámenes de laboratorio 
clínico. También es útil para calcular los beneficios de los ahorros y proyectar las 
ganancias de una inversión o negocio. 
Se calcula con esta ecuación: 
u a r n 1:= -_ i
Veamos un ejemplo
En una muestra de laboratorio, se observa que el número de bacterias se duplica 
cada hora. Si al inicio de la observación hay 500 bacterias, ¿qué cantidad habrá 
después de 6 horas?
• Ordenamos los datos en la tabla
• Sustituimos los valores en la ecuación 
y operamos 
• Después de 6 horas habrá 16 000 bacterias.
	Ejercicio 2
Los miembros de una cofradía deciden ahorrar para la fiesta patronal del pueblo. El primer día depo-
sitan Q1.00 en una alcancía y cada día duplican la cantidad depositada el día anterior. ¿Cuánto dinero 
tendrán que depositar el séptimo día? 
• Ordene los datos en una tabla
• Sustituya los valores en la ecuación 
 
y opere
 u = 
 u = 
 u = 
 • El séptimo día tendrán que depositar Q .
a u n r
a u n r
500 ? 6 2
u
u a r
u
u
u
500 2
500 2
500 32
16 000
n
6 1
5
1:
:
:
:
=
=
=
=
=
-
-_
_
_
i
i
i
u a r n 1:= -
............................ ...........................u :=
............................ ..................
............................ ..................
u
u
:
:
=
=
....................................................u =
_ i
Recuerde:
Por jerarquía de 
operaciones debemos 
resolver la potencia 
antes de multiplicar.
144 IGER − Zaculeu
	Ejercicio 3
Calcule el término inicial en la progresión geométrica siguiente. 
La población de pollos de una granja avícola se duplica cada semana. Si después de 6 semanas hay 
1280 pollos, ¿cuántos había inicialmente?
• Ordene los datos en la tabla
• Sustituya los valores en la ecuación 
 
y opere
 a = 
 a = 
 a = = 
• Inicialmente había pollos.
1.2 Primer término de una progresión geométrica
Para obtener el primer término de una progresión geométrica, despejamos la 
variable a de la ecuación que ya conocemos y obtenemos:
a
r
u
n 1= -_ i
Resolvamos juntos este ejemplo
Un empleado triplicó sus ahorros durante 6 meses. Si en el último mes depositó 
Q2,430.00, ¿cuánto depositó el primer mes?
• Ordenamos los datos en la tabla
• Sustituimos los valores en la ecuación 
y operamos
 • El primer mes depositó Q10.00.
a u n r
? 2430 6 3
a u n r
a
r
u
n 1= -_ i
a
r
u
a
a
a
2430
243
2430
3
3
2430
( )
( )n
6 1
5
1
=
=
=
=
-
-
a 10=
145Matemática − Semana 10
	Ejercicio 4
Calcule la suma de los términos en las progresiones geométricas siguientes. 
1) Los miembros de un comité de vecinos triplicaron sus ahorros semanalmente durante cuatro 
semanas. La primera semana depositaron Q10.00 y la cuarta semana Q270.00. ¿Cuánto 
ahorraron en total de la primera a la cuarta semana?
 • Ordene los datos en la tabla
• Sustituya los valores en la ecuación 
y opere 
 s = 
 s = 
 s = = 
 • Los miembros del comité ahorraron Q .
1.3 Suma de los términos de una progresión 
Al igual que en la progresión aritmética, en la progresión geométrica también 
podemos obtener la suma de los términos aplicando esta fórmula:
s r
u r a
1-
-
=
^ h
Veamos un ejemplo
Un comerciante duplicó diariamente sus ganancias durante una semana de 
trabajo. El lunes ganó Q20.00 y el sábado Q640.00. ¿Cuánto ganó en la semana?
• Ordenamos los datos en la tabla
• Sustituimos los valores en la ecuación 
y operamos 
• De lunes a sábado el comerciante ganó un total de Q1,260.00.
s a u r
? 20 640 2
s r
u r a
2 1
640 2 20
1
1260
1= -
-
-
-
s
s
=
=
s 1260=
^
^
h
h
s a u r
s = u(r) - a
r - 1
146 IGER − Zaculeu
Resumen
2) En la primera semana de clases, un estudiante de mecanografía logró escribir 4 líneas de 
corrido y sin errores. Cada semana duplicó la cantidad de líneas escritas hasta que en la quinta 
semana logró escribir un párrafo de 64 líneas.
 ¿Cuántas líneas escribió en total de la primera a la quinta semana?
• Ordene los datos en la tabla
• Sustituya los valores en la ecuación 
y opere
 s = 
 s = 
 s = 
 s = 
• El estudiante escribió un total de líneas.
s a u r
s r
u r a
1= -
-
s =
s
s
=
=
..............................
..............................
............................
^ h
1. Una progresión geométrica es una serie de números en la cual cada término se obtiene 
multiplicando o dividiendo el término anterior por una cantidad constante llamada razón.
 Una progresión geométrica se compone siempre de: primer término (a), último término (u), 
número de términos (n) y razón entre términos (r).
2. Para calcular un término desconocido en una progresión geométrica, utilizamos las ecuaciones:
• Último término (u) u a r n 1:= -_ i
• Primer término(a) a
r
u
n 1= -_ i
• Suma de los términos (s) s r
u r a
1-
-
=
^ h
147Matemática − Semana 10
 Actividad 1. Demuestre lo aprendido
Rellene el círculo de la opción que completa correctamente cada enunciado.
1) De las siguientes secuencias numéricas, la que representa una progresión geométrica es…
 1, 2, 3, 4, 5
 1, 2, 3, 5, 8
 1, 2, 4, 8, 16
 Explique por qué: 
2) En la progresión 4, 16, 64… la razón entre los términos es… 
 1
 2
 4
 Explique por qué: 
3) En la progresión 5, 15, 45, 135… la razón entre los términos es…
 1
 2
 3
 Explique por qué: 
4) En la progresión x, 8, 32, 128… el valor del término x es…
 4
 2
 3
 Explique por qué: 
5) En la progresión 5, 25, 125, x… el valor del término x es…
 150
 225
 625
 Explique por qué: 
148 IGER − Zaculeu
Autocontrol
 Actividad 2. Practique lo aprendido
Aplique las fórmulas que aprendió en la semana para calcular el término desconocido de cada progre-
sión geométrica. Tiene un ejemplo.
0) 
u
u a r
u
u
u
8 2
8 2
8 32
256
n
6 1
5
1:
:
:
:
=
=
=
=
=
-
-^
^
^
h
h
h
a u n r
8 ? 6 2
 1) a u n r
10 ? 4 3
2) a u n r
5 ? 5 6
 3) a u n r
? 1944 5 3
4) a u n r
? 320 7 2
 5) a u n r
? 1000 4 10
6) s a u r
? 5 320 4
 7) s a u r
? 9 2187 3
149Matemática − Semana 10
 
 0) 2.5 x 10 = 
 1) 6.0 x 10 = 
 2) 3.6 x 10 = 
 3) 1.2 x 10 = 
 4) 0.8 x 10 = 
 5) 0.5 x 10 = 
 6) 15.8 x 10 = 
 7) 24.9 x 10 = 
 8) 13.6 x 10 = 
 9) 5.89 x 10 = 
10) 35.4 x 10 = 
11) 5.6 x 100 = 
12) 6.9 x 100 = 
13) 0.3 x 100 = 
14) 0.1 x 100 = 
15) 3.96 x 100 = 
16) 4.98 x 100 = 
17) 0.37 x 100 = 
18) 6.82 x 100 = 
19) 17.9 x 100 = 
20) 25.8 x 100 = 
21) 34.7 x 100 = 
22) 0.5 x 1000 = 
23) 3.4 x 1000 = 
24) 5.2 x 1000 = 
25) 44.6 x 1000 = 
26) 18.9 x 1000 = 
27) 25.69 x 1000 = 
28) 0.568 x 1000 = 
29) 0.981 x 1000 = 
30) 1.642 x 1000 = 
31) 3.184 x 1000 = 
32) 35.49 x 1000 = 
A. Resuelva las siguientes multiplicaciones con decimales. Recuerde que para multiplicar estas canti-
dades debe correr el punto decimal a la derecha, tantos lugares como ceros sigan a la unidad. 
Tiene un ejemplo.
B. Resuelva las siguientes divisiones. Recuerde que para dividir estas cantidades debe correr el 
punto decimal a la izquierda, tantos lugares como ceros sigan a la unidad. Tiene un ejemplo.
25
 0) 1.8 ÷ 10 = 
 1) 5.4 ÷ 10 = 
 2) 9.6 ÷ 10 = 
 3) 2.4 ÷ 10 = 
 4) 71.6 ÷ 10 = 
 5) 94.1 ÷ 10 = 
 6) 56.5 ÷ 10 = 
 7) 19.4 ÷ 10 = 
 8) 6.21 ÷ 10 = 
 9) 3.87 ÷ 10 = 
10) 9.45 ÷ 10 = 
11) 387 ÷ 100 = 
12) 253 ÷ 100 = 
13) 698 ÷ 100 = 
14) 44.7 ÷ 100 = 
15) 23.9 ÷ 100 = 
16) 6.48 ÷ 100 = 
17) 9.95 ÷ 100 = 
18) 491.3 ÷ 100 = 
19) 132.6 ÷ 100 = 
20) 14.36 ÷ 100 = 
21) 0.174 ÷ 100 = 
22) 68.7 ÷ 1000 = 
23) 34.9 ÷ 1000 = 
24) 518 ÷ 1000 = 
25) 236 ÷ 1000 = 
26) 51.33 ÷ 1000 = 
27) 44.64 ÷ 1000 = 
28) 236.5 ÷ 1000 = 
29) 452.3 ÷ 1000 = 
30) 489.7 ÷ 1000 = 
31) 23.61 ÷ 1000 = 
32) 94.28 ÷ 1000 = 
0.18
150 IGER − Zaculeu
Agilidad de cálculo mental
A. Calcule por simple inspección los términos que completan cada progresión geométrica. Luego, 
escriba en la tabla cada término en el lugar correspondiente. Tiene un ejemplo. 
0) 
6 18 54 486162
 a u n r
6 486 5 3
1) 
5 25 125 3125
 a u n r
2) 
7 14 11228
 a u n r
3) 
96 48 12
 a u n r
4) 
1/5 1/10 1/20 1/80
 a u n r
5) 
1/112 1/56 1/28
 a u n r
B. Aplique lo aprendido en la semana para resolver los problemas. 
1) El virus de la gripe Ah1n1 se duplica cada veinticuatro horas. Si tomamos una muestra de 10 
virus, ¿cuántos virus habrá al cabo de 8 días?
2) La población de conejos en una granja se duplica cada 4 meses. Si al inicio había 20 conejos, 
¿cuántos habrá después de 12 meses?
3) Una colonia de bacilos búlgaros utilizada para hacer yogur casero se triplica cada día. Si al 
principio de la observación hay 400 bacilos, ¿qué cantidad habrá después de 4 días?
4) Un corredor principiante elige un plan de entrenamiento de 6 semanas, en el que cada semana 
duplica el recorrido de la semana anterior. Si en la última semana de entrenamiento corre 6400 
metros, ¿cuántos metros corrió en la primera semana?
5) Una trabajadora duplicó sus ahorros cada semana, durante 6 semanas. La primera semana 
depositó Q5.00 y en la sexta semana Q160.00. ¿Cuánto dinero ahorró en total?
6) La primera semana de clases, un estudiante de idioma inglés aprendió el significado de 6 
palabras. Cada semana duplicó la cantidad de palabras aprendidas hasta que en la cuarta 
semana logró aprender 48 palabras. ¿Cuántas palabras aprendió en total de la primera a la 
tercera semana?
151Matemática − Semana 10
Razonamiento lógico
Marque con un cheque la casilla que mejor indique su rendimiento. logrado
en 
proceso
no 
logrado
D
es
pu
és
 d
e 
es
tu
di
ar
... Calculo el primer término, el último y la suma en una progresión 
geométrica.
Resuelvo problemas aplicando las ecuaciones de la progresión 
geométrica.
Practico el cálculo mental operando decimales.
Completo secuencias lógicas.
Desarrolle nuevas habilidades
¡Siga desarrollando su pensamiento abstracto! 
Resuelva las secuencias lógicas. Recuerde que debe descubrir cuál es la caracte-
rística que varía en una misma figura o de una figura a otra.
Marque con una equis (X) la opción que completa correctamente cada serie. 
Fíjese en el ejemplo.
0) 
 a. b. c. d.
En este caso cada triángulo gira 90° en sentido contrario a las manecillas del 
reloj. Entonces la figura que completa la serie es el triángulo b.
1) 
 a. b. c. d.
2) 
 a. b. c. d.
3) 
2
8
5
20
8
32
 
9
36
10
40
11
44
12
48
 a. b. c. d.
152 IGER − Zaculeu
Revise su aprendizaje