8 Antiderivada guía 1

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO 
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA 
CURSO: MATEMÁTICA II 
 PROFESOR: Lic. RICARDO A. GUTIÉRREZ TIRADO 
 
GUIA DE ESTUDIO N° 1 
CONTENIDO : 
 
1. Introducción al curso. 
 • Visión panorámica del contenido del curso. 
 
2. La Antiderivada de una función. 
 • Ejemplos. 
 
3. La Integral Indefinida. 
 • Definición, propiedades y ejemplos. 
 
4. La Integral Definida. 
 • Definición, propiedades y ejemplos. 
 
5. Integrales inmediatas más usuales. 
 
6. Métodos de Integración. 
 • Resumen de los métodos a desarrollar en el presente curso. 
 • Ejercicios. 
 
OBJETIVOS : 
 
1. Hacer que el alumno conozca la importancia del curso, así como también la 
metodología de su desarrollo. 
2. Precisar al alumno, la idea que para resolver un ejercicio de integrales indefinidas, 
 debemos de elegir el mejor método según la experiencia que tengamos. 
 
INTRODUCCIÓN : 
 
El curso de matemática II o cálculo integral, es la principal herramienta para calcular 
problemas sencillos tales como: Áreas, longitud de arco, volúmenes y superficies, así también 
se hace indispensable para la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O.) con lo 
cual juega un importante papel en el desarrollo de los modelos matemáticos tales como: La 
segunda ley de Newton, la segunda ley de Kirchhoff, sistemas dinámicos, en probabilidades y 
estadística para la función error, crecimiento demográfico, desintegración radiactiva, interés 
compuesto continuamente, etc. 
En esta oportunidad pienso desarrollar el curso en forma sencilla y práctica, sin olvidar la 
diversidad de problemas y el grado de dificultad, trataré como parte introductoria a las 
integrales indefinidas, definidas e impropias y como parte terminal: Áreas, longitud de arco y 
volúmenes, en los tres sistemas de coordenadas (cartesiano, polar y paramétrico). 
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CONTENIDO Y REQUISITOS DEL CURSO DE MATEMATICA II 
 
 FORMA : REQUISITOS : 
 
 
 INTEGRALES 
  dx f(x) 
 INDEFINIDAS 
 
 
 
 
 INTEGRALES 
 
 DEFINIDAS 
 
 
 
 
 
+
−
+
−
f(x)dx ; f(x)dx ; f(x)dx 
a
b
 
 
MAT. II INTEGRALES 
F :IR→IR 
 IMPROPIAS 
 
 
−
b
f(x)dx ; donde f (x) es 
 discontinua en algún c   a , b  
 
 
 
 
 CÁLCULO DE ÁREAS 
 VOLÚMENES 
 LONGITUD DE ARCO 
 
 
 
 
 
 Nota : Cuando las integrales definidas no se pueden calcular mediante las integrales 
 indefinidas, hay que utilizar algunos resultados provenientes de series o hay que 
 aproximarlas mediante Métodos Numéricos. 
 
 
COORDENADAS 
CARTESIANAS 
 
 
COORDENADAS 
POLARES 
 
 
COORDENADAS 
PARAMÉTRICAS 
 
 
● Métodos de 
 integración. 
 
● Gráficas 
 
● Puntos de 
 intersección 
 entre curvas. 
 
● Cálculo de 
 límites 
MÉTODOS 
DE 
INTEGRACIÓN 
MÉTODOS 
DE 
INTEGRACIÓN 
MÉTODOS 
DE 
INTEGRACIÓN 
LÍMITE 
AL 
INFINITO 
CRITERIOS 
DE 
CONVERGENCIA 

b
a
dx f(x)
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LA ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN 
 
 
Recuerdo de algunas derivadas : 
 
 
 Antiderivada 
 
 
 
1. Si : f(x) = 3x2  f '(x) = 6x 
 
 
 Derivada 
 
 
 
 Antiderivada 
 
 
 
2. Si : f (x) = Sen (3x2 + 2 )  f ' (x) = 6x Cos (3x2 + 2 ) 
 
 
 Derivada 
 
 
 
 Antiderivada 
 
 
 
3. Si : f(x) = e2x  f '(x) = 2e2x 
 
 
 Derivada 
 
 
 Antiderivada 
 
 
 
4. Si : f (x) = Tgx  f ' (x) = Sec2x 
 
 
 Derivada 
 
 
 Antiderivada 
 
 
 
5. Si : f (x) = 2 2 Senh (
2
x
)  f '(x) = 1Coshx+ 
 
 Derivada 
 
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ALGUNOS PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN USANDO LA ANTIDERIVADA : 
1. El punto ( 0,2 ) está en una curva f(x) cuya pendiente es 2x – 3 . Hallar la ecuación de 
 la curva. 
 Resolución: 
 Por datos : 1) f ' (x) = 2x - 3  f (x) = x2 – 3x + C 
2) f (0) = 2  C = 2 
 f (x) = x2 – 3x + 2 
2. La pendiente de una curva f(x) en cualquier punto es 3. Si el punto (2 , 20 ) está sobre 
 la curva. Hallar la ecuación de dicha curva. 
 Resolución: 
 Por datos : 1) f ' (x) = 3  f (x) = 3x + C 
2) f (2) = 20  6 + C = 20  C = 14 
 f (x) = 3x + 14 
3. Se conoce que f '' (x) = 2 – 4x y que los puntos ( -1 , 3 ) y ( 0 , 2 ) están en una curva 
 f (x). Hallar dicha ecuación. 
 Resolución: 
 Por datos : 1) f '' (x) = 2 – 4x  f ' (x) = 2x – 2x2 + C1 
  f (x) = x2 – 3
3
2
x + C1x + C2 
2) f (-1) = 3  1 + 
3
2
 – C1 + C2 = 3  C1 – C2 = 
3
4
− …(I) 
3) f (0) = 2  C2 = 2…. (II) 
De (I) y (II) tenemos : 
C1 – C2 =
3
4
−  C1 = 2 
3
4
−  C1 = 
3
2
 
f (x) = x2 – 
3
3
2
x +
3
2
 x + 2 ó  3 f (x) = 3x2 – 2x3 + 2x + 6 
Una pregunta natural sería la siguiente : 
¿ Cómo encontraríamos la función que nos dio origen a la derivada 
Rpta : Antiderivando  
Nota: 
- Si a las antiderivadas le agregamos una constante su derivada no varía, es decir : 
- La antiderivada de 6x es 3x2 + C 
- La antiderivada de 6x Cos (3x2 + 2 ) es Sen ( 3x2 + 2 ) + C 
- La antiderivada de 2e2x es e2x + C 
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- La antiderivada de 1 hx Cos + es 2 C+





2
x
Senh 2 
- La antiderivada de Sec2x es Tgx + C 
 
La antiderivada vista de esta forma es llamada antiderivada general y esta función se define 
como : LA INTEGRAL INDEFINIDA. 
Nota : 
• Para el cálculo de las integrales indefinidas existen muchas fórmulas llamadas técnicas 
 de integración. 
• Según las características de las funciones a integrar debemos de escoger la técnica de 
 integración más apropiada. 
• No siempre es posible encontrar la antiderivada de una función de manera sencilla, en 
 algunos casos es imposible. 
 
DEFINICIONES 
1. Antiderivada de una función. 
 Decimos que una función F(x) es una antiderivada de otra función f (x), continua en 
 un intervalo I, si cumple: 
 F' (x) = f (x) ,  x  I 
2. Antiderivadageneral de una función. 
 Si F(x) es una antiderivada de f (x), sobre el intervalo de I, es decir: 
 F’(x) = f (x) sobre I, entonces la función G(x) = F(x) + C es la antiderivada general 
 de f (x) y se denota por: 
  f (x)dx = F (x) + C,  x  I 
Nota. La antiderivada general es llamada también integral indefinida. 
Propiedades : Sean f(x) , g(x) dos funciones continuas en I ; entonces se cumple: 
1) (  f (x) dx )' = f (x) 
2)  ( f(x)  g (x) ) dx =  f (x)dx   g (x)dx 
3)  Kf (x) dx = K  f (x)dx 
4) Si u = u(x)   f (u) du =  





dx
dx
du
u 
5) Supongamos que:  f (x) dx = F (x) + C , entonces: 
 F(a)F(b)F(x)f(x)dx
b
a
b
a
−== , ...más adelante se definirá una integral definida. 
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6)  −=
a
b
b
a
f(x)dxf(x)dx 
 
7) 
+
+
−=
cb
ca
b
a
c)dxf(xf(x)dx ;  c  IR.. 
 
8) 
−
−
+=
cb
ca
b
a
c)dxf(xf(x)dx ;  c  IR . 
 
9)  











=
b.c
a.c
b
a
dx 
c
x
 f 
c
1
f(x)dx ;  c  IR - 0 
 
10)  =
c
b
c
a
b
a
dx x)(c f cf(x)dx ;  c  IR - 0 
 
INTEGRALES INMEDIATAS 
Son aquellas que no necesitan de muchos cálculos para su solución, éstas integrales 
acompañadas de los métodos de integración son las que darán respuestas a muchos problemas 
complejos. 
 
Algunas integrales inmediatas: 
1)  xndx = C
1n
x 1n
+
+
+
 ; n  - 1 
2)  dx / x = Ln  x  + C ; x  0 
3)  axdx = C
 a Ln
a x
+ ; 
4)  ex dx = ex + C 
5)  Senx dx = - Cosx + C 
6)  Cosx dx = Senx + C 
7)  Sec2x dx = Tgx + C 
8)  Secx Tgx dx = Secx + C 
9)  Csc2x dx = - Ctgx + C 
10)  Cscx Ctgx dx = - Cscx + C 
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11)  Tgx dx = Ln  Secx  + C 
12)  Ctgx dx = Ln  Senx  + C 
13)  Secx dx = Ln  Secx + Tgx  + C 
14)  Cscx dx = Ln  Cscx – Ctgx  + C 
15)  +
+
−
=
−
C 
ax
ax
 Ln
a2
1
ax
dx
22
 
16)  +=
+
C
a
x
rcTg
a
1
ax
dx
22
a ; a  0 
17)  +=
−
Ca
a
x
rcSen
xa
dx
22
 
18)  ++=

C ax xLn
ax
dx 22
22
 
19)  Senhx dx = Coshx + C 
20)  Coshx dx = Senhx + C 
21)  Sec2hx dx = Tghx + C 
22)  Sechx Tghx dx = - Sechx + C 
23)  Csc2hx dx = - Ctghx + C 
24)  Cschx Ctghx dx = - Cschx + C 
 
Algunas fórmulas importantes: 
1) 
−
− −
+−= xdxSen
n
1n
n
xCosxSen
xdxSen 2n
1n
n 
2) 
−
− −
+= xdxCos
n
1n
n
xSenxCos
xdxCos 2n
1n
n 
3) 
−− −
−
= xdxTgxTg
1n
1
xdxTg 2n1nn 
4) 
−− −
−
−= xdxCtgxCtg
1n
1
xdxCtg 2n1nn 
5) 
−
−
−
−
+
−
= xdxSec
1n
2n
1n
xTgxSec
xdxSec 2n
2n
n
 ; ......... n  2 
6) 
−
−
−
−
+
−
−= xdxCsc
1n
2n
1n
xCtgxCsc
xdxCsc 2n
2n
n
 ; ....... n  2 
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7) 
−+−= CosxdxxnCosxxSenxdxx 1nnn ; ..... n  0 
8)  Senmx Cosnx dx = 
nm
1n
nm
xCosx Sen 1n1m
+
−
+
+
−+
 Senmx Cosn – 2x dx ; 
 ó 
  Senmx Cosnx dx = 
nm
1m
nm
xCosx Sen 1n1m
+
−
+
+
−
+−
 Senm -2x Cosnx dx 
 k 
9)  Senmx Cosnx dx = − 







 k
j
 ( - 1 ) j 
1n2j
x Cos 1 n 2j
++
++
; m, n  IN ; Siendo : m = 2k + 1 
 j = 0 ; k + 
10)  Secmx Tgnx dx = 
1nm
1n
1nm
xTgx Sec 1nm
−+
−
−
++
−
 Secmx Tgn - 2x dx ; 
 ó 
  Secmx Tgnx dx = 
1nm
2m
1nm
xTgx Sec 1n2m
−+
−
−
−+
+−
 Secm -2x Tgnx dx 
 n 
11) Si Q(x) =  (x – a i ) a i  a i+1 , i = 1 , 2 , 3 ,..., n y P(x) es un polinomio tal que 
 i = 1 
 cumple que Grad  P(x)  Grad  Q(x) ; entonces : 
 
   +−=
=
C a xLn
)Q´(a
)P(a
dx
Q(x)
P(x) n
1 i
i
i
i ; i = n,1 
12) C...
a
´´´(x) P
a
´´(x) P
a
(x)P'
P(x)
a
e
dxP(x)e
32
ax
ax +





+−+−= 
13)  =)dxP(x)Sen(ax 





−+−− ...
a
(x)P
a
´´(x) P
P(x)
a
Cos(ax)
4
IV
2
 
 + C...
a
(x)P
a
´´´(x) P
a
´(x) P
a
Sen(ax)
5
V
3
+





−+− 
14)  =)dxP(x)Cos(ax 





−+− ...
a
(x)P
a
P´´(x)
P(x)
a
Sen(ax)
4
IV
2
 
 + C...
a
(x)P
a
P´´´(x)
a
P´(x)
a
Cos(ax)
5
V
3
+





−+− 
15)   −− +−
−−
+
+−
=
+ 1nk1nknk a)(z
dz
1)ak(n
1kkn
a)1)(zak(n
z
a)(z
dz
 ; n , k y a IR +   
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16)  x n e ax dx = 
a
1
a
ex axn
−  x n – 1 e ax dx 
NOTA: 
* 







−
−
==
2
π
0
n
2
π
0
n
 IMPAR esn Si ... ; 
!!n 
!1)!(n
PAR esn Si ... ; 
2
π
!!n 
!1)!(n
xdxCosxdxSen 
 
* Si n es PAR, se cumple: 
 
!!n 
!1)!(n
πk xdxSen2kxdxCosxdxSen
kπ
0
2
π
0
nn
kπ
0
n −
===  
Donde: 6!! = 2 x 4 x 6 
 7!! = 1 x 3 x 5 x 7 
 
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 
Son sugerencias o reglas prácticas que se hacen para solucionar muchas veces en forma más 
corta algunos ejercicios, se dan de acuerdo a la forma en que se presentan las integrales. 
Algunos métodos de integración: 
 
Si la integral tiene alguna expresión como ésta: Hacer : 
 ( EJERCICIO) ( MÉTODO) 
1)  (producto de funciones) dx 
Ejm:  xSen(x)dx 
  (funciones logarítmicas) dx 
Ejm:  dxLnx x 2 Integración 
  (funciones trigonométricas) dx por  udv = uv -  vdu 
Ejm:  (x)dxSec3 partes 
  (funciones exponenciales) dx 
Ejm:  dxe Sen(x) x 
  (func. trigonométricas inversas) dx 
 Ejm: ArcTg(x)dx 
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2)   x 2 + a 2 dx x = a Tgu ó x = a Ctgu ó 
 x = a Senhu ó x = a Cschu 
 
3)   x 2 – a 2 dx x = a Secu ó x = a Cscu ó 
 x = a Ctghu ó x = a Coshu 
 
4)   a 2 – x 2 dx x = a Senu ó x =a Cosu ó 
 x = a Tghu ó x = a Sechu 
5)  Sen(Ax)Cos(Bx)dx Sen(Ax)Cos(Bx) =
2
1
Sen (A + B)x + Sen (A – B)x  
6)  Sen(Ax)Sen(Bx)dx Sen(Ax)Sen(Bx) =
2
1
Cos (A – B)x – Cos (A+ B)x  
7)  Cos(Ax)Cos(Bx)dx Cos(Ax)Cos(Bx) =
2
1
cos (A + B)x + cos (A – B)x  
 
 
8)  xdxSen n 
 
 
9)  xdxCosnm ó n Sen 2x = 1 – Cos 2x 
 impar  0 Cos 2x = 1 – Sen 2x 
10)  Senmx Cosnx dx 
 m y n 
 par  0 
 
11)  Tg nx dx Tg 2x = Sec 2x – 1 
12)  Ctg nx dx Ctg 2x = Csc 2x – 1 
 
2
2Cos1
xSen2 x−
= 
2
Cos2x1
xCos2 +
=
 
par:n
2
Cos2x1
xSen2 −
=
2
Cos2x1
xCos2 +
=
impar:n
xCos1xSen 22 −=
xSen1xCos 22 −=
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 n  0; par Sec2x = Tg2x + 1 
 recuerde que: d(Tgx) = Sec2 xdx 
13)  Sec nx dx 
 n  0; impar integración por partes 
 
 n  0; par Csc 2x = Ctg 2x + 1 
 recuerde que: d(Ctgx) = - Csc2 xdx 
14)  Csc nx dx 
 n  0; impar integración por partes. 
 
 n  0; par caso 13 
 
15)  Tg mxSec nx dx 
 descomponer de tal manera 
 m  0 que aparezcan productos: 
 SecxTgx 
 recuerde que: d(Secx) = SecxTgxdx 
 
 
 n  0; par caso 14 
16)  Csc nxCtg mx dx 
 
 descomponer de tal manera 
n  0; impar que aparezca productos: 
 CscxCtgx 
 recuerde que: d(Cscx) = - CscxCtgxdx 
  ++++
+
dx
c)xb)(x(xa)(x
dx
2.2
; ... Fracciones Parciales 
 dx
a)(x
bx
33 −
+
; .............................. Ostrogradski 
17) 
 dx)bx(ax
p
nm
 + ; ........ mQ , nQ , pQ ; Chebishev
 
  +
;
Senxa
dx
 …………………… u
2
x
Tg =





 
Obs: 
 *1 Los métodos que se mencionan se desarrollarán con detalle en nuestro curso. 
 *2 Las integrales de funciones hiperbólicas se desarrollarán siguiendo los mismos 
 criterios que las integrales de las funciones trigonométricas. 
 
 dx
Q(x)
P(x)
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EJERCICIOS: 
1. El punto ( 3,2 ) está en una curva y en un punto cualquiera ( x, y ) en la curva, la recta 
tangente tiene una pendiente igual a 2x – 3 ; encontrar la ecuación de la curva. 
2. La pendiente de la recta tangente en cualquier punto (x , y) de esta curva es 3 x .Si el 
punto ( 9,4 ) está en la curva; hallar la ecuación de la curva. 
3. La recta tangente a una curva en el punto ( 1,3 ) es y = x + 2 , si en cualquier punto 
 ( x, y ) de la curva f '' (x) = 6x , encontrar la ecuación de la curva. 
4. En cualquier punto (x , y ) de una curva f '' (x) = 1 – x 2 y una ecuación de la recta 
tangente a la curva en un punto ( 1 , 1 ) es y = 2 – x ; encontrar la ecuación de la curva. 
5. En un punto cualquiera ( x , y ) de una curva f ''' (x) = 2 y (1 , 3 ) es un punto de 
inflexión en el que la tangente es –2, encontrar la ecuación de dicha curva. 
6. La pendiente de una curva en el punto (x , y ) es 4x + 6. Si la curva pasa por (1, 1), 
encontrar la ecuación de dicha curva. 
7. La pendiente de una curva en cualquier punto (x , y ) es igual a cos x. Encontrar la 
ecuación de dicha curva si ésta pasa por el punto 




 
2,
2
 
8. En cada punto de la curva cuya ecuación es y = f (x) ; f '' (x) = 6x – 2 , y en el punto 
 (1,2 ) la pendiente de la curva es 8. Hallar la ecuación de la curva. 
 
9. Hallar una antiderivada de cada una de las siguientes funciones: 
 
 a) f (x) = 3x + 2 j) f(x) = 3 Sec 4x 
 b) f(x) = x 2 + 2x 3 k) f(x) = 
3
2
x31
x
+
 
 c) f (x) = 
3
4
x
x3x2 +
 l) f (x) = 2Sen (2x + 5) 
 d) f (x) = 3Cos 4x m) f (x) = 
bax
1
+
 
 e) f (x) = 
4x
2
x
3
32 +
− n) f (x) = (x +1) xx 42 2 + 
 f) f (x) = Sen 2xCosx o) f (x) = (a – bx )3/2 
 
 g) f (x) = 4Sec 2x p) f (x) = (2x +3) 4 
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 h) f (x) = - SecxTgx 
 
 i) f (x) = 4x Sec 4xTg 2 x 
 
10. Encontrar la función f(x) tal que: 
 
 a) f ' (x) = 3x 2 f (1) = 2 
 b) f ' (x) = 
x
2
 f (1) = 4 
 c) f ' (x) = Sen2x 
π
f
3
 
 
 
 = 1 
 d) f ' (x) = 2x9x − =)5(f 1 
 e) f ' (x) = x Sen 2x 
π
f
2
 
=  
  2
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 
 
1) El punto (3,2) está en una curva y en punto cualquiera (x,y) de la curva, la recta 
tangente tiene una pendiente igual a 2x – 3; encontrar la ecuación de la curva. 
 
Resolución: 
 
Por datos: 
1) f´ (x) = 2x – 3  f(x) = x2 – 3x + C 
 
2) f(3) = 2 
 
f(3) = 32 –3 (3) + C = 2  C = 2 
 
  f(x) = x2 – 3x + 2 
 
2) La pendiente de la recta tangente en cualquier punto (x,y) de estas curva es 3 x y si 
el punto (9,4) esta en la curva; hallar la ecuación de la curva. 
 
Resolución: 
 
Por datos: 
 
 1) f´(x) = 3x1/2  f(x) = 2x3/2 + C 
 
 2) f(9) = 4 
 
 f(9) = 2(9)3/2 + C = 4  C = –50 
 
  f(x) = 2x3/2 – 50 
3) La recta tangente a una curva en el punto (1,3) es y = x + 2, si en cualquier punto (x,y) 
de la curva f´´(x) = 6x, encontrar la ecuación de la curva 
 
Resolución: 
 
Por datos: 
 1) f´´(x) = 6x  f´(x) = 3x2 + C1 
Si la tangente es : y = x + 2  f´(x) = 1 
 1 = 3(1)2 + C1  C1 = -2 
 
 2) f´(x) = 3x2 – 2  f(x) = x3 – 2x + C2 
 f(1) = 3  1–2(1) + C2 = 3  C2 = 4 
 
 f(x) = x3 – 2x + 4 
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4) En cualquier punto (x, y) de una curva f ”(x) = 1 – x2 y una ecuación de la recta 
tangente a la curva de un punto (1,1) es y = 2 – x ; Encontrar la ecuación de la curva. 
 
Resolución: 
 
Por datos: 
 1) f ́ ´(x) = 1 – x2  f ́ (x) = 
1
3
C
3
x
x +− 
 Si : y = 2 – x  f ́ (1) = –1 
 
 f´(1) = 
1
1
1 C
3
− + = –1  
3
5
C1 −= 
 
2) f ́ (x) = 
3
5
3
x
x
3
−−  f (x) = 
2 4
2
x x 5x
C
2 12 3
− − + 
 f (1) = 
2
1 1 5
C 1
2 12 3
− − + =  C2 =
9
4
 
  f (x) = 
2 4x x 5x 9
2 12 3 4
− − + 
 
5) En un punto cualquiera (x,y) de la curva f ”(x) = 2 y (1,3) es un punto de inflexión en 
el que la tangente es –2, encontrar la ecuación de dicha curva. 
 
Resolución: 
 
Por datos: 
1) f´´´(x) = 2  f´´(x) = 2x + C1 
Punto de Inflexión (1,3)  f ́ ´(x) = 0 
 Luego: 2(1) + C1 = 0  C1 = 2  f ”(x) = 2x – 2 
 
2) f ́´(x) = 2x – 2  f ́ (x) = x2 –2x + C2 
 Si: f´(1) = –2  f´(1) = 1 – 2(1) + C2 = –2 
 
 f´(x) = x2 –2x –1  C2 = –1 
 
3) f´(x) = x2 –2x –1  f(x) = +−− xx
3
x 2
3
C3 
 Si: f(1) = 3  f(1) = 
1
1
3
− –1 + C3 = 3 
 C3 = 
3
14
 
 f(x) = 
3
14
xx
3
x 2
3
+−− 
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6) La pendiente de una curva en el punto (x,y) es 4x+6 si la curva pasa por (1,1), 
encontrar la ecuación de dicha curva. 
 
Resolución: 
 
Por datos: 
 1) f´(x) = 4x + 6  f(x) = 2x2 + 6x + C1 
 2) f(1) = 1 
 f(1) = 2 (1)2 + 6(1) + C1 = 1  C1 = –7 
 
f(x) 2x2 + 6x – 7 
 
7) La pendiente de una curva en cualquier punto (x,y) es igual a Cos x. Encontrar la 
ecuación de dicha curva si esta pasa por el punto (/2,2) 
 
Resolución: 
 
Por datos: 
 1) f´(x) = Cos x  f(x) = Sen x + C1 
 2) f(/2) = 2 
 f(/2) = Sen(/2) + C1 = 2  C1 = 1 
 f(x) = Sen x + 1 
 
8) En cada punto de la curva cuya ecuación es y = f(x) ; f ´´(x) = 6x–2 y en punto (1,2) la 
pendiente de la curva es 8. Hallar la ecuación de la curva. 
 
Resolución: 
 
Por datos: 
 1) f ́ ´(x) = 6x – 2  f ́ (x) = 3x2 – 2x + C1 
 f ́ (1) = 8 
 f´(1) = 3(1)2 – 2(1) + C1 = 8 → C1 = 7 
 
 2) f ́ (x) = 3x2 – 2x + 7  f(x) = x3 – x2 + 7x + C2 
 f(1) = 2 
 f(1) = 13 –12 + 7(1) + C2 = 2 
 C2 = -5 
f(x) = x3 – x2 + 7x – 5 
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9) Hallar una antiderivada de cada una de las siguientes funciones 
a) F´(x) = 3x + 2 
Su antiderivada es F(x) = Cx2
2
x3 2
++ 
 
b) F´(x) = x2 + 2x3 
Su antiderivada es F(x) = C
2
x
3
x 43
++ 
 
c) F´(x) = 
3
4
x
)x3x2( +
 
F´(x) = =+
3
4
3 x
x3
x
x2
2x -2 + 3x 
Su antiderivada es F(x) = –2x –1 + C
2
x3 2
+ 
 
d) F´(x) = 3 Cos 4x 
Su antiderivada es F(x) = 
3
Sen(4x) C
4
+ 
 
e) F´(x) = 4
x
2
x
3
32
+− 
Su antiderivada es F(x) = –3x –1 + x –2 + 4x + C 
 
f) F´(x) = Sen2x Cos x 
Su antiderivada es F(x) = C
3
xSen3
+ 
 
g) F´(x) = 4 Sec2x 
Su antiderivada es F(x) = 4 Tg x + C 
 
h) F´(x) = – Sec x Tg x 
Su antiderivada es F(x) = – Sec x + C 
 
i) F´(x) = 4 Sec5 x Tgx 
Su antiderivada es F(x) = CxSec
5
4 5 + 
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j) F´(x) = 3 Sec4x 
Su antiderivada es F(x) = 3 Tg x + Tg3x + C 
 
k) F´(x) = 
3
2
x31
x
+
 
Su antiderivada es F(x) = C)x31(
9
2 2/13 ++ 
 
l) F´(x) = 2 Sen (2x+5) 
Su antiderivada es F(x) = – Cos (2x + 5) +C 
 
m) F´(x) = 
6ax
1
+
 
Su antiderivada es F(x) = C)6ax(
a
2 2/1 ++ 
 
n) F´(x) = ( x + 1 ) x4x2 2 + 
Su antiderivada es F(x) = C) 42 (
6
1 2/32 ++ xx 
 
o) F´(x) = (a – bx )3/2 
Su antiderivada es F(x) = C)bxa(
b5
2 2/5 +−− 
 
p) F´(x) = (2x + 3)4 
Su antiderivada es F(x) = C)3x2(
10
1 5 ++ 
 
10) Encontrar la función f(x) tal que: 
 
a) f ́ (x) = 3x2 f(1) = 2 
 
Resolución: 
 f(x) = x3 + C1  f(1) = 13 + C1 = 2  C1 = 1 
 f(x) = x3 + 1 
 
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b) f ́ (x) = 
x
2
 f(1) = 4 
 
Resolución: 
 
 f ́ (x) = 2x –1/2 
 f(x) = 4x1/2 + C1  f(1) = 4(1)1/2 + C1 = 4 
 4 + C1 = 4 
  C1 = 0 
 f(x) = 4x1/2 
 
c) f ́ (x) = Sen2x f(/3) = 1 
 
Resolución: 
 
 f ́ (x) = Sen 2x 
 f(x) = 
1Cx2cos
2
1
+−  f
π
3
 
 
 
 = 
1
1 π
cos(2 ) C 1
2 3
− + = 
 
4
3
C
1C
4
1
1
1
=
=+
 
f(x) = 
4
3
x2cos
2
1
+− 
d) f ́ (x) = 
2x9x − ( ) 15f = 
 
Resolución: 
f ́ (x) = 
2x9x − 
 f(x) = 1
2/32 C)x9(
3
1
+−−  ( ) ( )
3/ 2
2
1
1
f 5 9 ( 5) 1
3
C= − − + = 
  C1 = 
11
3
 
 f(x) = 2 3/ 21 11
(9 x )
3 3
− − + 
 
 
 
 
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e) f ́ (x) = x Sen2x 
π 1
f
2 2
 
=  
 
 
Resolución: 
 
f ́ (x) = x Sen2x 
f(x) = 
2
2 2
1
x x 1 1
Senx Cosx Cos x Sen x C
4 2 8 8
− − + + 
Además: 
π 1
f
2 2
 
=  
 
 
  
2 2 2ππ
2 2
1
π π 1 π 1 π 1
Sen Cos Cos Sen C
4 2 2 2 8 2 8 2 2
       
− − + + =              
       
 
 
Luego: 
2
1
C0.11π0.11
8
π
1 =+−− 
  C1 = 0.61 + 0.11
8
π
π −  C1 = 0.41 
 f(x) = 
2
2 2x 1 1
x Senx Cosx Cos x Sen x 0.41
4 8 8
− + +