Geometria_descriptiva_I-Parte3

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UNIDAD 5 
 
INTERSECCIONES 
 
OBJETIVO 
 
Comprender los conceptos que permitan visualizar las intersecciones de 
elementos geométricos en el espacio. 
 
TEMARIO 
Mapa Conceptual………………………………………………………………………... 
Introducción 
5.1 Intersección de dos rectas 
Actividades de Aprendizaje 
5.2 Intersección de una recta con un plano 
Actividades de Aprendizaje 
5.3 Intersección de una recta con un volumen 
Actividades de Aprendizaje 
5.4 Intersección de una plano con un volumen 
Actividades de Aprendizaje 
5.5 Intersección de volúmenes 
Actividades de Aprendizaje 
Autoevaluación 
 
 
84 
 
MAPA CONCEPTUAL 
 
 
 
 
 
 
 
85 
 
INTRODUCCIÓN 
 
Cuando dos o más elementos se cruzan en el espacio, hay que ubicar el punto, 
una línea o un plano; estos serán resultado de una intersección, este concepto 
lo define claramente Mario Diz así: “Si dos elementos geométricos están en 
contacto, este contacto significa una tercer elemento geométrico, común a los 
dos.”17 Las intersecciones son las referencias básicas en el estudio de las 
formas, ya que permitirán conocer más a fondo las características y la 
multiplicidad de las mismas. 
La intersección de dos rectas en el espacio localiza un punto, este punto 
es indispensable conocerlo si se quiere estudiar mas a fondo las fuerzas que lo 
integra. La intersección de una recta con un plano origina puntos de 
intersección, también es posible la intersección de una recta con un volumen 
para el caso es un poco más complicado ya que necesitarán referencias y 
trazos y movimiento de planos en el espacio. 
La intersección de un plano con un volumen es un poco más compleja y 
se requiere proponer una serie de referencias que se traduzcan en puntos de 
intersección para así poder conocer la forma del plano que resulta de la 
intersección. 
Lo volúmenes también pueden llegar a producir una intersección si se 
traslapan por lo menos dos y el resultado depende de las características de los 
objetos para conocer los puntos de intersección, también hay que proponer una 
serie de consideraciones que permitan conocer los puntos de intersección y la 
forma que adquiere. 
 
 
17 Hugo Mario Diz Finck, Geometría descriptiva 1, p. 191. 
 
86 
 
5.1 INTERSECCIÓN DE DOS RECTAS 
 
 
 
Es uno de los problemas geométricos más sencillos. Tenemos que dos 
rectas que se cruzan sólo pueden tener en común un punto, coincidente en la 
misma referencia, en una montea dada. Por lo que el procedimiento plantea 
localizar tanto el punto en donde coinciden las dos rectas y los extremos de 
ambas rectas. 
 
Fig. 82. Montea. 
 
Al trazar dos rectas sobre el plano horizontal, a-b y c-d se localiza el 
punto de intersección denominado p, el punto p se proyectará al igual que los 
puntos de las rectas sobre el plano vertical encontrando los puntos a-b así 
como los puntos c´-d´, la intersección se localiza en el punto p (ver figura. 82). 
 
Para trazar la intersección de las dos rectas en el espacio se requieren 
por lo menos dos planos, en donde se proyectan los puntos de las rectas del 
87 
 
plano vertical y del plano horizontal perpendiculares a los planos, donde 
coincidan en los punto de la recta a-b y la recta c-d, la intersección se localizará 
sobre el punto P. Como se puede apreciar el la figura 83. 
 
Fig. 83. Intersección de dos rectas en el espacio. 
 
88 
 
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 
 
Elaborar la Práctica No. 15 “intersección de dos rectas” del Manual de 
Prácticas. 
 
89 
 
5.2 Intersección de una recta con un plano 
 
 
 
En una intersección de una recta y un plano también existe un elemento 
en común, el punto; este punto pertenece a la recta y a una de las rectas del 
plano de forma simultanea y en la misma referencia. 
 
Intersección de una recta sobre un plano horizontal. 
Al realizar la montea, la proyección vertical del plano horizontal es una recta 
paralela sobre la línea de tierra, así pues la intersección se realizará en un sólo 
punto de contacto entre la recta y el plano. En el momento que se detecta el 
plano vertical, se puede referenciar a las proyecciones horizontales de la recta, 
para así poder completar la montea. 
La intersección de una recta y un plano en el espacio se analiza a partir 
de un plano p sobre la horizontal y un plano p´ para ubicar el plano denominado 
P; este plano se intercepta con una recta r, sobre la horizontal y una recta r´ 
sobre la vertical para encontrar una recta denominada R. La intersección de 
obtienen localizando el punto i, sobre el plano horizontal y el punto i´ a partir del 
punto vertical. Para localizar finalmente el punto I, donde se realiza la 
intersección en el espacio. Se puede apreciar el la figura 84 y 85. 
 
90 
 
 
Fig. 84. Intersección de una recta con un plano. 
 
 
Fig. 85. Isometría. 
91 
 
Intersección de una recta sobre un plano vertical. 
Al realizar la montea, la proyección vertical del plano vertical es una recta 
oblicua sobre la línea de tierra, así pues la intersección se realizará en un sólo 
punto de contacto entre la proyección de la recta y el plano en el plano 
horizontal, una vez localizado se deberá proyectar el punto sobre el plano 
vertical, para así completar la montea. 
 
 
Fig. 86. Intersección de una recta con un plano vertical. 
 
 
La intersección de una recta y un plano vertical en el espacio se analiza a 
partir de un plano a-b-c sobre la horizontal, al colocar la línea d-c aparece la 
intersección i, para poder ubicar la intersección en el plano vertical se desplaza 
hacia un punto i´, a partir del plano a´-b´-c´ y la línea d´-e´; para así poder 
localizar el punto I, de plano A-B-C y la línea D-E de, tal y como se aprecia el la 
figura 87. 
92 
 
 
Fig. 87. Isometría. 
 
 
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 
Elaborar la Práctica No. 16 “Intersección de una recta con un plano” del Manual 
de Prácticas. 
93 
 
5.3 INTERSECCIÓN DE UNA RECTA CON UN VOLUMEN 
 
 
 
Una línea recta se puede intersectar con un volumen, en tal caso la línea 
recta atravesara el cuerpo del volumen y deberá localizar dos puntos uno de 
salida y otro de entrada. Es necesario analizar las características del volumen 
que intersecta, así como de las rectas que limitan el plano. Que sean visibles en 
la montea. 
En la figura 88. Se aprecia el dibujo de un cilindro cortado por una línea 
a-b, en la que se logran dos puntos de intersección denominados z y x de los 
cuales son transportados al plano vertical, encontrando los puntos a´- b´ y las 
intersecciones; z´ - y´ de la línea con el cilindro. 
 
Fig. 88. Línea que corta un cilindro circular recto.. 
94 
 
 
Fig. 89. Isometría. 
 
En la figura 89 se ve el isométrico y la línea atravesando el cilindro sobre 
dos puntos de su superficie. 
 
 
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 
 
Elaborar la Práctica No. 17 “intersección de una recta con un plano” del Manual 
de Prácticas. 
 
95 
 
5.4 INTERSECCIÓN DE UN PLANO CON UN VOLUMEN 
 
 
 
El resultado de la intersección de un plano con un volumen es otro plano, 
sin embargo, es necesario analizar la posición de la recta o rectas que 
intersectan el volumen, así como las características del propio volumen. 
 
 
Fig. 90. Intersección de un plano con un volumen. 
 
En la figura 90 se observan tres vistas, una superior, una frontal y otra lateral, 
de las cuales en la vista lateral se aprecia un plano de canto. En la vista 
superior se aprecian los puntos a-b-c-d y en el plano lateral los mismos puntos 
proyectando el plano oblicuo. 
Las proyecciones de los puntos a-b-c-d del plano vertical junto con las 
del plano lateral a´´- b´´- c´´ - d´´, al unirlas en el plano frontal encontramos los 
96 
 
puntos a´- b´- c´- d´, así determinamos la visibilidad de la vista frontal. Como se 
aprecia en la figura 91. 
 
 
Fig. 91. Intersección de un plano con un volumen.18 
 
 
 
 
Intersecciónde un plano y un cono 
La intersección de un cono y un plano resulta ser un poco más complicada, ya 
que la curvatura del cono producirá una elipse, la cual tendrá muchos puntos de 
18 Silvestre Fernández Calvo. La Geometría Descriptiva aplicada al dibujo arquitectónico. Pág. 53. 
 
97 
 
intersección. En la figura 92 se aprecia un plano cuadrangular oblicuo que 
atraviesa cono del cual debemos encontrar la intersección. Para ello, se tiene 
que trazar en la vista frontal una serie de planos secantes perpendiculares al 
eje vertical del cono, y proyectar a la vista superior donde determinaremos las 
secciones cónicas con círculos concéntricos, como se puede ver en la figura. 
93. 
 
. 
Fig. 92. Intersección de un plano y un cono.19 
 
19 Silvestre Fernández Calvo, La Geometría descriptiva aplicada al dibujo arquitectónico. P. 60. 
 
 
98 
 
. 
Fig. 93. Intersección de un plano y un cono.20 
. 
Fig. 94. Intersección de un plano y un cono.21 
 
20 Silvestre Fernández Calvo, op. cit., p. 61. 
 
21 Idem. 
 
99 
 
Posteriormente se deben de localizar los puntos de intersección del plano 
secante en su respectivo círculo, línea con línea (A con A´, B con B´). Cuando 
se unan los puntos se obtiene la línea de intersección de la vista superior, que 
mas tarde proyectamos a la vista frontal. Como apreciamos en la figura 94. 
Por último, se observa en la figura 95 el análisis de las vistas frontal y superior 
indicando la visibilidad. 
. 
Fig. 95. Intersección de un plano y un cono.22 
 
 
 
 
 
22 Idem. 
 
 
100 
 
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 
Elaborar la Práctica No. 18 “intersección de un plano con un volumen” del 
Manual de Prácticas. 
 
101 
 
 
5.5 INTERSECCIÓN DE VOLÚMENES 
 
 
 
La intersección de volúmenes se puede dar en forma directa, para este 
caso los sólidos generados a partir de proyecciones ortogonal y cónica las 
aristas e intersecciones debe de mostrarse lo más claro posible entre los puntos 
y las rectas. El análisis permite localizar estas intersecciones fácilmente, 
llevando la referencia apropiada a la vista frontal y superior. 
En la figura 96 se aprecia la intersección de dos prismas, uno rectangular 
y otro triangular, en donde los puntos de intersección de ambos forman puntos y 
líneas fácilmente identificables. 
 
Fig. 96. Intersección directa de volúmenes. 
 
La intersección de dos cilindros, las proyecciones deberán contempla 
una serie de líneas de referencia que permitan localizar los puntos de 
intersección. 
102 
 
Para este caso se trata de un cilindro horizontal y otro vertical, 
incrustándose el cilindro vertical sobre el horizontal exactamente a la mitad de 
éste. 
 
Fig. 97. Intersección de dos cilindros. 
 
 
Fig. 98. Axonometría. 
 
 
103 
 
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 
 
Elaborar la Práctica No. 19 “intersección de dos cono oblicuos “del Manual de 
Prácticas. 
 
104 
 
AUTOEVALUACIÓN 
 
Instrucciones: señala la respuesta correcta con alguna de las opciones que se 
le proporcionan. 
1. Dos rectas que se cruzan solo pueden tener en común ____________, 
coincidente en la misma referencia, en una montea dada. 
a) Un Punto. 
b) Una Línea. 
c) Un Plano. 
d) Un volumen. 
 
2. ¿En la siguiente figura se observa la montea de? 
 
a) La intersección de dos rectas. 
b) La intersección de una recta con un plano. 
c) La intersección de una recta con un volumen. 
d) La intersección de un plano con un volumen. 
 
 
3. Para trazar la intersección de las dos rectas en el espacio se requieren 
por lo menos _______________ en el espacio. 
a) Un Plano. 
b) Dos Planos. 
c) Tres Planos. 
d) Cuatro Planos. 
 
105 
 
4. ¿En la siguiente montea la intersección de la recta con el plano se realiza 
sobre le plano? 
 
a) Paralelo. 
b) Horizontal. 
c) Vertical. 
d) Frontal. 
 
5. Una línea recta puede intersectar con un ________, en tal caso la línea 
recta atravesara el cuerpo del volumen y deberá localizar dos puntos uno de 
salida y otro de entrada. 
a) Punto. 
b) Línea. 
c) Plano. 
d) Volumen. 
 
6. ¿En la siguiente dibujo se aprecia que tipo de intersección? 
 
a) La intersección de dos rectas. 
b) La intersección de una recta con un plano 
c) La intersección de una recta con un volumen. 
d) La intersección de un plano con un volumen. 
 
106 
 
7. La intersección de un cono y un plano resulta ser un poco más 
complicada, ya que la curvatura del cono producirá _________________. 
a) Un círculo. 
b) Una elipse. 
c) Una curvatura. 
d) Una línea curva. 
 
8. ¿En la siguiente montea se puede apreciar? 
 
a) La intersección de dos rectas. 
b) La intersección de una recta con un plano. 
c) La intersección de una recta con un volumen. 
d) La intersección de un plano con un volumen. 
	Red Tercer Milenio
	JULIO CESAR DIAZ ZUÑIGA
	Red Tercer Milenio
	ÍNDICE
	UNIDAD 1
	INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
	OBJETIVO
	Adquirir los conocimientos generales para comprender el proceso histórico de la geometría descriptiva, así como la finalidad y objetivos.
	TEMARIO
	MAPA CONCEPTUAL
	INTRODUCCIÓN
	1.1 Orígenes y definiciones de los elementos geométricos: punto, línea, plano y volumen
	Definición de geometría descriptiva
	Elementos
	ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
	AUTOEVALUACIÓN
	UNIDAD 2
	TIPOS DE MONTEAS
	OBJETIVO
	Adquirir el conocimiento que le permita comprender y dominar la representación espacial de los elementos geométricos en dos dimensiones utilizando convencionalismos de la geometría descriptiva.
	TEMARIO
	MAPA CONCEPTUAL
	INTRODUCCIÓN
	2.1 Visibilidad en monteas
	Proyección Ortogonal
	ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
	AUTOEVALUACIÓN
	UNIDAD 3
	PROYECCIONES
	OBJETIVO
	Identificar la ubicación y representación de los elementos geométricos en los diferentes cuadrantes de la montea.
	TEMARIO
	MAPA CONCEPTUAL
	INTRODUCCIÓN
	3.1 El punto y la recta en el espacio
	El punto en el espacio
	La recta en el espacio
	ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
	3.2 El plano en el espacio
	ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
	3.3 Volumen en el espacio
	ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
	AUTOEVALUACIÓN
	UNIDAD 4
	FORMAS GEOMÉTRICAS
	OBJETIVO
	Comprender los conceptos que permita visualizar las formas geométricas de elementos en el espacio.
	TEMARIO
	MAPA CONCEPTUAL
	INTRODUCCIÓN
	4.1 Proyección de formas geométricas
	El cubo
	El cubo es la forma geométrica más básica y una de las más utilizadas, si uno es capaz de representar un cubo, es mucho más sencillo poder representar cualquier cosa ya que la mayoría de las formas parten de un cubo. Se define como un ortoedro donde ...
	El cono
	La vista superior del cono se aprecia como un círculo, y las vistas frontal y lateral se perciben como un triangulo por lo que es necesario, para apreciar el cono, utilizar algún tipo de representación que permita apreciar la redondez del cono.
	La pirámide
	La pirámide es similar al cono, sólo que la vista superior se aprecia como un cuadrado, por lo que las caras de la vista frontal y lateral son planas. La base de la pirámide al ser cuadrada, requiere de una altura en la que coincidan los puntos a-b-c-...
	El cilindro
	El cilindro está delimitado por la superficie que genera una recta, denominada generatriz, esta se mueve paralelamente sobre sí misma y se apoya en la línea curva cerrada que le sirve de directriz. Existen también dos planos paralelos que sirven de ba...
	En el cilindro la vista superior es un circulo y la vista frontal y lateral son rectangulares, así, para que no se aprecien planos es necesario utilizar una representación en donde se aprecie la curvatura, esto se logra colocando líneas verticales en ...
	La esfera
	La proyección de la esfera es una de las más complicadas, sobre todo para localizar puntos a lo largo de su superficie curva, sin embargo, nos puede ayudar mucho trazarlo a partir de un cubo. La axonometríase logra utilizando como base un cubo.
	ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
	4.2 Cuerpos geométricos en el espacio
	Prisma, éste puede ser cuadrangular o rectangular y se obtienen de la limitación de una superficie cilíndrica, generada por una recta o generatriz, esta se mueve paralelamente sobre sí misma y se apoya sobre una base que puede ser cuadrada, rectangula...
	Cono: Es un cuerpo geométrico, que esta limitado por el movimiento de una recta, generatriz que esta sujeta a uno de los vértices y en el otro extremo se apoya de una línea curva que esta cerrada, esta línea curva forma una base circular (figura 68). ...
	Pirámide: Es un cuerpo geométrico que está limitado por una superficie cónica, que se genera con el movimiento de una recta generatriz, que se sujeta al extremo o vértice y se apoya en una recta quebrada poligonal, que le sirve de directriz.
	Conoide: Para formarlo existe un desplazamiento a lo largo de una recta y de una directriz curva que mantiene la paralela a un plano fijo.
	Hiperboloide de revolución: Se forma cuando las generatrices rectas dividen dos de las curvas límites en segmentos que son iguales, a con a, b con b, d con d.
	Paraboloide hiperbólico: Para formarlo se basa en una superficie reglada alabeada, que la genera una recta generatriz que se mueve sobre dos rectas cualesquiera no coplanares y se conserva paralela a un plano director.
	Helicoide: Se obtiene teniendo una superficie generada a partir de una recta que se mueve apoyándose sobre una hélice y su eje, que se conserva paralela a un plano rector.
	Esfera: Se forma con un círculo que girando sobre un eje alrededor de sus diámetros. Es simétrica en todas direcciones y todos sus puntos son equidistantes de su centro.
	Elipsoide de revolución: Es generada por el giro de una elipse alrededor de un eje mayor llamando: elipsoide peraltado y cuando gira sobre el eje menor se le denomina elipsoide rebajado.
	Toro: Esta superficie es generada por un circulo alrededor de un eje, exterior a el, sobre el mismo plano. Se pueden utilizar otras formas como un pentágono o un cuadrado y se sigue llamando igual.
	ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
	AUTOEVALUACIÓN
	UNIDAD 5
	INTERSECCIONES
	OBJETIVO
	Comprender los conceptos que permitan visualizar las intersecciones de elementos geométricos en el espacio.
	TEMARIO
	MAPA CONCEPTUAL
	INTRODUCCIÓN
	5.1 Intersección de dos rectas
	ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
	Intersección de una recta sobre un plano horizontal.
	Intersección de una recta sobre un plano vertical.
	ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
	5.3 Intersección de una recta con un volumen
	ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
	5.4 Intersección de un plano con un volumen
	ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
	5.5 Intersección de volúmenes
	ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
	AUTOEVALUACIÓN
	UNIDAD 6
	SUPERFICIES GEOMÉTRICAS
	OBJETIVO
	Adquirir los conocimientos que permitan aplicar y representar espacialmente las superficies geométricas.
	TEMARIO
	MAPA CONCEPTUAL
	INTRODUCCIÓN
	6.1 El espacio a partir de superficies planas
	ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
	6.2 Superficies Desarrollables
	6.3 Superficies no desarrollables
	ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
	6.4 Superficies de generación espacial
	AUTOEVALUACIÓN
	UNIDAD 7
	INTRODUCCIÓN AL DISEÑO BIDIMENSIONAL
	OBJETIVO
	Comprender los conceptos que permitan visualizar las intersecciones de elementos geométricos en el espacio.
	TEMARIO
	MAPA CONCEPTUAL
	INTRODUCCIÓN
	7.1 Elementos de diseño bidimensional
	7.2 Fondo figura
	ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
	ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
	7.4 Equilibrio, simetría, secuencia, dirección y movimiento
	ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
	ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
	AUTOEVALUACIÓN
	BIBLIOGRAFÍA BÁSICA
	BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA
	GLOSARIO
	MANUAL DE PRÁCTICAS.