cálculo - Problemas resueltos de cálculo para ingenieros_Daniel Franco Leis

Vista previa del material en texto

Sólo fines educativos - FreeLibros
Problemas Resueltos de 
Cálculo para Ingenieros
Daniel Franco Leis 
Esther Gil Cid 
Luis Manuel Ruiz Virumbrales
U f l E D 0 
sanz y torres
Sólo fines educativos - FreeLibros
Sólo fines educativos - FreeLibros
Prólogo
1. El paso al límite
2. Fundones derivables
3. Aplicaciones de la derivada
4. Integral de Riemann
5. Funciones de varias variables
6. Aplicaciones de la diferencial
Í N D IC E G E N E R A L
7
9
51
87
131
175
205
V
Sólo fines educativos - FreeLibros
Sólo fines educativos - FreeLibros
P r ó l o g o
"Comienza en el principio," dijo el rey, muy seriamente, "y contimía 
hasta que llegues al final: entonces detente."
Lewis Carroll: Alicia en el País de las Maravillas.
Uno de los principales objetivos que nos planteamos cuando decidimos 
elaborar el material que tiene entre las manos fue que nuestros estudiantes 
pudieran familiarizarse y llevar a la práctica las ideas expuestas en nuestro 
libro Cálculo para Ingenieros, editado por Sanz y Torres. No entendemos un 
texto sin el otro. Ambos son complementarios en el estudio de Cálculo, de 
los grados en Ingeniería Eléctrica, Mecánica, en Electrónica Industrial y Au­
tomática y en Tecnologías Industriales que impartimos en la Universidad 
Nacional de Educación a Distancia. Ambos tienen similar forma de expli­
car y de entender los conceptos y resultados. Ambos contienen los mismos 
módulos y siguen el mismo orden de desarrollo de los temas, y su nivel es 
similar.
Los capítulos de este libro no se han dividido en apartados. No obs­
tante, se ha seguido el mismo orden que en el libro Cálculo para Ingenieros, 
volviendo a veces "atrás", para abordar problemas ya tratados, cuando las 
nuevas técnicas y resultados estudiados permiten un nuevo enfoque del 
problema. Por eso, no es necesario (ni recomendable) haber estudiado un 
tema completo del libro de teoría para empezar a resolver los ejercicios. 
Una buena forma de trabajar es ir simultaneando ambos textos.
Observará que hay tres tipos de ejercicios: cuestiones cortas, pregun­
tas tipo test y problemas para desarrollar, que coinciden con los tipos de 
preguntas que se plantean en los exámenes y en las pruebas de evaluación 
continua y de autoevaluación. Cada uno debe intentar resolverse de forma 
distinta. Las cuestiones cortas son a menudo "pinceladas" que nos van a 
ayudar a plantearnos y a asimilar la teoría, o pequeñas preguntas que nos 
ayudan a adquirir destreza algorítmica. Las preguntas tipo test se deben 
abordar con toda la información que se da, es decir, sabiendo las posibles 
respuestas e intentando corroborarlas o desestimarlas. Los problemas son 
un todo donde hemos de decidir qué resultados aplicar, cómo hacerlo y
7
Sólo fines educativos - FreeLibros
dónde se busca una respuesta a una pregunta. En ellos hay que estar aten­
tos no sólo al método que se aplica, sino también a que el desarrollo sea 
correcto.
Algunas preguntas y problemas de este texto están acompañados, en el 
margen, por dibujo de un disco con la palabra MAXIMA. Esto indica que 
este ejercicio se ha resuelto también con el programa de cálculo simbóli­
co Maxima. En el blog http://calculoparaingenieros.wordpress.com están 
las soluciones. Es muy recomendable utilizar este programa tanto como se 
pueda, porque ayudará a comprobar los cálculos y los resultados, a desa­
rrollar la intuición, y a comprender los conceptos y resultados.
Es aconsejable, después del estudio de una sección del libro Cálculo pa­
ra Ingenieros, una primera lectura de los ejercicio correspondientes, refle­
xionando sobre el enunciado, qué resultados se pueden aplicar y cómo se 
podría resolver, pero sin dar mucha importancia a si se llega a la solución 
o no. Ya habrá tiempo de llegar a la solución más adelante, esto no debe 
preocuparnos en la primera aproximación. Y desde luego es imprescindi­
ble estudiar los ejercicios anotando, escribiendo, viendo en un papel lo que 
se piensa, lo que se hace y prestando atención (incluso más que si se llega 
a la solución correcta) a lo que se hace mal y a lo que no se sabe hacer, por­
que éstas son las claves de una asimilación correcta de los contenidos. Es 
tan importante llegar a la solución de los problemas, como identificar y ser 
conscientes de los errores y corregirlos, porque esto hará que no volvamos 
a cometerlos.
Los autores.
Sólo fines educativos - FreeLibros
1 E l p a s o a l l í m i t e
En el módulo "El paso al límite" se introducen sucesiones, funciones y 
sus límites y se trabaja con ellos y con resultados relacionados, básicos para 
el cálculo infinitesimal. Estos conceptos no sólo deben ser conocidos, sino 
que deben ser comprendidos y dominados para avanzar en esta materia.
Recuerde...
■ El conjunto de los números reales R "completa" a los números racio­
nales y su representación en la recta, lo que ayuda a su comprensión.
■ El valor absoluto permite definir una distancia entre dos números.
■ Para conjuntos de números reales se definen cota superior, inferior, 
conjunto acotado, supremo e ínfimo.
■ Una sucesión { a n} es una aplicación de N en R. Se define su límite. 
Es importante darse cuenta de que para determinarlo no es relevan­
te el valor de los primeros términos, sino lo que ocurre para valores 
grandes de n.
■ Se puede ampliar la recta real considerando que oc y — oo forman 
parte de R y utilizar una aritmética ampliada para calcular límites.
■ Una función es una aplicación de un subconjunto de R en R. Así es 
fácil entender el concepto de límite de una función en un punto y por 
qué muchos resultados relativos a sucesiones tienen equivalente en 
funciones.
■ La representación gráfica de sucesiones y de funciones ayuda a en­
tender conceptos (dominio, límite,.. . ) y propiedades (unicidad del 
límite, propiedad del emparedado,...) .
■ En las funciones continuas (en las que nos centramos) son aplicables 
resultados (como el Teorema de Bolzano, de los valores intermedios o 
de Weierstrass) que las convierten en una herramienta muy potente.
■ Es normal (y necesario) realizar muchos ejercicios para llegar a tener 
habilidad algorítmica, tan importante en ingeniería.
Sólo fines educativos - FreeLibros
10 C a p í t u l o 1 / El paso al límite
Contraejemplo: ejem plo con 
el que se m uestra que una 
afirm ación es falsa.
Ejercicios
Ejercicio 1. Sean I\ e h los intervalos dados por
II = ( -3 ,5 ] , I2 = {x € R : ¡x - 3| < 4}.
Elija la o las opciones correctas:
a) Los dos intervalos tienen el mismo radio.
b) El centro de I\ es menor que el centro de L¿.
c) Se cumple I\ c h -
d) Ninguna de las anteriores.
Solución.- Son correctas las opciones a) y b). Vamos a demostrarlo; tenemos 
que determinar el centro y el radio de los dos intervalos.
Determinamos el centro y el radio de de forma inmediata por la ex­
presión de I-2 - su centro es <■■> = 3 y su radio es r-> = 4. Calculamos el centro 
c.\ y el radio ? t del intervalo I\ por:
Vemos que los dos intervalos tiene el mismo radio. También es cierta la 
segunda opción porque:
c\ = 1 < 3 = co-
Para saber si es correcta la opción c), escribimos I 2 en la forma habitual:
I 2 = (c - r. c + r) = (3 - 4. 3 + 4) = ( - 1 . 7) .
Con esta expresión, es inmediato comprobar que I¡ y L.
Ejercicio 2. Sean x e y dos números reales tales que |x| < |y|. ¿Debe ser
\x + 2| < \y + 4|?
Solución.- No necesariamente. Lo demostraremos con un contraejemplo. 
Buscamos números x, y tales que |.r| < \y \ que no cumplan |.r + 2| < // - 1 . 
Sabemos que al menos uno debe ser negativo, porque si los dos son positi­
vos sí lo cumplen: el valor absoluto de un número positivo es el mismo y
Sólo fines educativos - FreeLibros
11
entonces \x\ = x < y = \y\, por lo que también se cumple:\x + 2| = x + 2 < x + 4 < y + 4 = \y + 4| .
Elegimos los dos negativos, por ejemplo, x = —5, y = —6 y se verifica que 
5 = | —5 < |—6 | = 6 . Y además
\x + 2| = |—5 + 21 = 3.
\y + 4| = |-6 + 4| = 2,
y no se cumple \x + 2\ < \y + 4| , como queríamos demostrar.
La idea para elegir los números nos la puede dar la representación 
gráfica del problema. Como son números negativos y se tiene que cum­
plir ./' < \y\, entonces será y < x. Además, podemos representar lo que 
significa sumar 4 a y y 2 a x y nos podemos imaginar cómo debemos "des­
plazarlos" por la recta real para que se cumpla \x + 2| < [y + 4|:
!
1 i 1 —Y i I i T I
x x + 2
Ejercicio 3. Dado el conjunto .4 ~ {a: G E : Ü < x 2 < 1}, se pide elegir la 
opción correcta:
a) ínf A — U. b) A tiene supremo pero no tiene ínfimo,
c) A está acotado, d) Ninguna de las anteriores.
Solución.- Vamos a escribir el conjunto A de una forma que nos resulte más 
cómodo trabajar en él. Por definición:
x G A 0 < x 2 < 1.
Esto significa:
0 < Ix'l < 1.
Los puntos que cumplen esta condición son los del conjunto (— 1. 0) LJ (0 ,1 ) . 
Su supremo es 1 y su ínfimo es —1. Por eso, la única opción correcta es la 
opción c): A es un conjunto acotado.
Sólo fines educativos - FreeLibros
12 C a p í t u l o 1 / El paso al límite
Reducción al absurdo: es un
procedimiento utilizado pa­
ra demostrar una afirmación. 
Suponemos lo contrario de 
lo que queremos demostrar 
y llegamos a una contradic­
ción. Entonces se concluye 
que lo que hemos supuesto 
es falso.
Ejercicio 4. Sea S el conjunto dado por
f H ! i-}-
Se pide encontrar su ínfimo y su supremo. ¿Están en S ?
Solución.- Podemos ver S como la sucesión de números reales cuyo término 
general an está dado por:
1
n
para n E N. Determinamos, por ejemplo, los siete primeros términos de la 
sucesión, que son:
l i l i l í 
' 2 ' 3 4 ' 5 ' 6 ' 7'
Por su definición, todos estos términos son menores o iguales a 1, porque 
como para n E N se tiene n > 1, entonces:
1- < 1 .n
Esto significa que 1 es una cota superior, que además está en S. Por eso, es 
su supremo (cualquier otra cota superior no puede ser menor, porque si lo 
fuera, no sería mayor que el 1, que es un elemento de S).
Los números del conjunto son mayores o iguales que 0, porque n > 0. 
Por eso, 0 es una cota inferior. Pero además es la mayor de estas cotas, por 
lo que es el ínfimo del conjunto.
Lo demostramos por reducción al absurdo. Suponemos que hay una 
cota inferior c que es mayor que 0. Entonces existe un número m E K con:
1
c > — m
(basta tomar m > 1/c). Llegamos a una contradicción. Por eso, no puede 
existir esta cota inferior mayor que 0 y este número es el ínfimo de S (es 
la mayor de las cotas inferiores). Pero no pertenece a S, porque no existe 
ningún número natural n tal que su inverso sea 0 .
Sólo fines educativos - FreeLibros
13
Ejercicio 5. Tenemos dos condensadores C\ y C-¿, conectados en serie. 
La capacidad equivalente C de la asociación verifica:
1 _ 1 1 
C ~ C ¡ + C~2 '
Los dos condensadores tienen capacidad variable y la capacidad de C\ 
varía entre 2 y 4 microfaradios ip F ) y la de Cb entre 1 y 7 ¡iF. Se pide 
encontrar entre qué valores se encuentra la capacidad del condensador 
equivalente C.
Solución.- Es un problema de ínfimos y supremos. Partimos de las dos 
variables C\ y Cb; sus ínfimos son 2, 1 y sus supremos son 4, 7, respecti­
vamente. Se trata de buscar el ínfimo y el supremo de una nueva variable 
C , relacionada con las dos anteriores por la expresión de la capacidad del 
condensador equivalente, dada en el enunciado. Resumiendo,
lo que implica que:
2 < C 1 < 4. 1 < C-2 < 7.
l i l i l í - < — < - , - < — < - .
4 - C\ ~ 2 7 - Cb - 1
Utilizando estas desigualdades, se tiene:
lo que implica:
1 _ 1 1 1 1 11
C ~ C b + r b - 4 + 7 " 2 8 '
1 _ 1 1 1 _ 3
C' ~ C ¡ + C 2 ~ 2 + 1 - 2 '
¡ , F < C< g
Ejercicio 6. La sucesión { x n} es convergente y la sucesión {yn} es di­
vergente. Razone si puede ser convergente la sucesión {x nyn}.
Solución.- Sí. Para demostrarlo, basta con encontrar un ejemplo donde se 
cumpla. Un ejemplo típico de sucesión divergente es la dada por yn = n.
Sólo fines educativos - FreeLibros
14 C a p í t u l o 1 / El paso al límite
Tenemos que buscar una sucesión que sea convergente y tal que si multi­
plicamos cada xn por n, la sucesión resultante sea convergente. Elegimos, 
por ejemplo x n = que tiende a 0 cuando n tiende a infinito. Entonces
1 1
XnUn — ñ'U, — —, n n
y es convergente, porque
lím - = 0»—>-3c n
de forma obvia.
Ejercicio 7. Sea { o„ } la sucesión cuyo término general es
n
V n3 + 4 
¿Es convergente?
Solución.- Intentamos calcular directamente el límite:
,, n lím „_^ n ac
lim — ; = ------------------ . = — .
n - > c o y/n 3 _|_ 4 lím „_í.0o v n 3 + 4 oc
y llegamos a una indeterminación. Pero se puede resolver si sacamos factor 
común a la mayor potencia de n que aparece tanto en el numerador como 
en el denominador y operamos con las potencias de n :
lím — - - = lím " = = lím "
n- >°° \JriA + 4 11 sjri;’' (1 + 4/u3) n-^oo n3/2q/l + 4/n3
= lím — : = lím
n3/2 1 \Jl + 4 / ir1' n xl 2 \J 1 + 4/n3
1
iíiii,. f n K- x/l + 4
1 = 0 .
lnnn^oc //b- • lím„_,^ \/l + 4/n3 oo ■ 1 
Entonces la serie es convergente y su límite es 0.
Sólo fines educativos - FreeLibros
15
Ejercicio 8. Sea an la sucesión de término general
\/l6n4 — 4
a n ~ / 9 ■= ■
+ 5
Se pide calcular su límite cuando n tiende a infinito.
Solución.- Primero intentamos hacerlo directamente:
\/l6n4 — 4 líniji—^oo \/l6n4 — 4 oo
lim an = lim — ^ = — .
íwoo n->c» 77,V4n2 + 5 límjj^oo n v 4n 2 + 5 oo
Es una indeterminación y hay que proceder de otra forma.
El cálculo de este tipo de límites se aborda sacando factor común a la 
mayor de las potencias de cada radicando y simplificando.
En este caso, en el numerador la mayor de las potencias del radicando 
es 4 y en el numerador es 2:
\ H ¡"; 1 „ \Jn4 (16 “ iú)lim an = lim — = lnn ---- — .
n r^oC »woc n\JAn2 + 5 7WOC n n 2 (4 + 4 ,)
En este punto, se sacan fuera de la raíz estos términos y se simplifica:
lím an = lím — - = lím
1G - 4n4
^ 4 • 4 ™ y / r + 4
línin->oc y/l6 — 4^ 4 ^
límn_voo \ A + 4 ^ 2
Ejercicio 9. Se pide calcular el siguiente límite:
lím ( \/42 + 4??, + 8 — n ) .74—> 00 \ J
Solución.- Si intentamos aplicar las propiedades de los límites, nos encon­
tramos con una indeterminación del tipo oo — oc:
lím ( y n2 + 4n 4-8 — n ) = lím \f n2 4- 4/7 4- 8 — lím n = oc — oc.
n —>oo V / n — >oc • n —>00
Sólo fines educativos - FreeLibros
16 C a p í t u l o 1 / El paso al límite
Además se cumple (a+ b)(a-
b) = a 2 - lr
Observamos la expresión original con detenimiento. Aparece una raíz y 
puede ser complicado operar con ella. Pero vemos que los términos que 
El conjugado de la expresión "dominan" son y/ñ1 = n y n. Por esto, intentamos eliminar la raíz. 
a + b es a - b y viceversa. pjn procedimiento habitual es utilizar el conjugado de la expresión. Si
multiplicamos (y dividimos) por el conjugado nos aparece en el numerador 
de la fracción una resta de cuadrados.
En este ejercicio, esto significa que desaparece la raíz:
I = lím ( \J n2 + 4n + 8 — ti)71—> OC V /
f \/n'2 + 4 ii + 8 — r i \ ( v u 1 + 4/j + 8 +
= lím A . ¿ A L
( v/ n 2 + 4 n + 8 +
n2 + 4?7 + 8 — n2 ,, 4n + 8
= lim — = lim
n_>oc \Jn2 + 4n + 8 + n n->oo \/n2 + 4n + 8 + n
n (4 + 8 - ) n (4 + 8 - )
= lím 1 = lím 1 " 1
n—>• oo \Jn2 (1 + 4^ + 8 4 ) + n n ( ^ 1 + 4 p - 8 ^ + l )
bm
?W0C y/l + 4i + 8^ + 1 2
Ejercicio 10. Sea {«„ } la sucesión dada por la expresión:
1 1 1
a n — —, 4-------^ + - ' • +
V ri2 + 1 Vn2 + 2 \/ n'2 + n
¿Cuál es su límite, cuando n tiende a infinito?
Recuerde la propiedad del Solución.- No podemos resolver directamente este límite, porque nos que- 
emparedado: si tenemos tres daría la suma de infinitos sumandos. Lo vamos a resolver con la propiedad
sucesiones {a„} {b„ } y {c„ } dd emparedado.
tales que a„ < b„ < c„ para 1
todo n £ N y además esfe caso tenemos.
lím a„ = lím c„ = l. h —_____ 2______ i______ 1______ l _i______ ^n-toc n—*oc uTl. — /—7: 1 ,— -------- 1 l
V n 1 + 1 \/ / v2 + 2 y /ñ 1 + ñ
entonces la sucesión {b n} es
convergente y su límite es l. Vamos a buscar dos sucesiones {.an } y {cn} tales que se cumpla la expresión
de la propiedad del emparedado. Para ello, observamos que cada sumando
Sólo fines educativos - FreeLibros
17
de la expresión de bn es menor que el anterior, y por eso, tomamos:
1 1 1 n
a n = , ,, - H----- ; .. + • • • +
Vn2 + n V n2 + n V n2 + n \Jn2 + n ’
1 1 1 n
\Jv2 + 1 \Jn2 + 1 \/n2 + 1 \/n2 + 1
Entonces, es evidente que a n < bn < cn. Pero además, podemos calcular 
fácilmente el límite de las sucesiones {//„ } y { cn}:
lím a n = lím , = lím -------- - -- = lím —j = ^ = = 1,
oc n ^ o o v /n 2 + n n^oo n . y i _p l / n n->°° -^/l + 1 / n
lím cn = lím —= ^ = — lím-------- = = lím — = = 1.
nm oo n-í-oo y / n 2 + 1 n-i-oo n . \ + l / n 2 n ^ o o \ + \ / n 2
Estos dos límites coinciden y además, sabemos que an < bn < cn. Por eso, 
ya tenemos el límite que buscamos, por la propiedad del emparedado:
lím bn = lím f ^ H ^ — + ■ ■ • H ) = 1.
nm co nm co ^ ^ n 2 q_ X V n 2 + 2 \J n 2 + TI)
Ejercicio 11. Se pide encontrar la relación entre a y b para que el si­
guiente límite valga 2:
lím ( \/n2 + an + 1 — \Jn2 + bn} .
n-±oQ \ /
Solución.- Si intentamos calcular directamente el límite, resulta una inde­
terminación del tipo oc — oc:
l = lím ( \/v2 + an + 1 — \A?2 + bn)
n—>oo \ /
= lím \Jn? + an + 1 — lím y n 2 + bn = oo — oo.
n —>• oo n—> oo
Es fácil entender que para calcular expresiones del tipo \/n2 + kn, la poten­
cia dominante es la de mayor grado (n2 en este caso) y el límite es infinito, 
independientemente de que la constante k sea mayor o menor que 0 .
Para resolver /, observamos que la expresión dada es la resta de dos 
raíces, y en el radicando aparecen polinomios de n, ambos de grado 2 .
Sólo fines educativos - FreeLibros
18 C a p í t u l o 1 / El paso al límite
Como hemos visto, este tipo de límites se resuelven normalmente mul­
tiplicando y dividiendo por la expresión conjugada:
l = lím ( \Jri¿ + an + 1 — \/n2 + InA
n —¥oo V /
( \/ri2 + an + 1 — \Jn2 + bn ) ( \/n2 + an + 1 + \/V2 + £>/?')
= lím 7-V-----, ---------------------
v ?¿2 + a?(. + 1 + Vn2 + bn
\Zn'r + an + 1 - v/ñ 2~+7m“ n 2 + an + 1 - (n 2 + bn)
= lim — , = lim
\/n2 + (in + 1 + \/n2 + bn " ~^ \/n- + an + 1 + \Jn2 + bn 
an + 1 — i r ­
án + 1 + v n 
(a — b) n + 1
n 2 + an + 1 — n2 — bn an — bn + 1
= 11111 _ = lllll __ ____
n —>oo V n 2 _j_ a n _)_ 1 _|_ , J n 2 _|_ £,n n —>oo y /n 2 _|_ a n _|_ p _(_ V n 2 _j_
= lílll
\Jti2 + an + 1 + y/ n 2 + bn
Resolvemos el límite sacando factor común (en numerador y denominador) 
a n. Obviamente, el límite va a depender de las constantes a y b:
/ = lím (“ - 4 1 " + ‘
v/w2 + an + l + Vn2 + bn
= lfm + = lím » - 4 + í
™ n x/l + 22 + 4 + n J 1 + ^ J l + 22 + 4 y ./i + Aw n n ¿ y n y n n z \ n
lím ^oc (o - 6 + a - b a - b
lím ,,^ .^ \ J l + j¡ + + lím ,W5C \ J 1 + 1 + 1
Para que el límite valga 2, se tiene que verificar que
a — b
2
Luego la relación buscada es a — b = 4.
= 2 =>- a — b = 4.
Solución.- Si aplicamos directamente las propiedades de los límites lle­
gamos a una indeterminación del tipo 1 'x . Por eso, tenemos que recurrir
Sólo fines educativos - FreeLibros
a otra técnica. Vamos a manipular la expresión y escribirla de la forma
( 1 \ Q’n11 + — ) , donde a n tiende a ± 00 si n tiende a infinito. Como el límite
de esta expresión cuando n tiende a 00 es e, entonces el límite se transfor­
ma en una potencia de e y así se llega a la solución. Comenzamos con la 
fracción:: Recuerde que:
5» + 2 _ 5n + 3 - 1 _ 1 ífrn ( 1 + —
5n + 3 “ 5/7. + 3 " — 5n — 3 ’
si líriin-Kx> a ti = ±00 ■
Tenemos lo que buscábamos, porque l:T: 1, x (—5n — 3) = —00 . Co/no debe 
aparecer —5n — 3 en el exponente, hacemos:
'hn + 3,1+1 ( 1 \ (~-r>n-3)3 gl_(3,1+l)
1 +/ 5n + 2 Y 
\ 5/7 + 3 )
= 1 +
,5n - 3 .
1 \ - ( 5 » + 3 ) ^
- (5n + 3)
Ahora ya podemos calcular el límite:
' 5n + 2 \ 3n+1 / 1 ^ - ( 5”+ 3 ) y ^
/ = iim = lim 1 +o \ 5n + 3 J ih .x y — (5/7 + 3)
Y \ — (5n+3)\ lím» ^ 5n+3
= l lím , 1 + - ( 5 n + 3 ) ' I = e ' f '
-3n —1
Solución.- Este límite nos puede recordar al del ejercicio anterior y pode­
mos tener la tentación de resolverlo igual. Pero es más sencillo, pues:
Sólo fines educativos - FreeLibros
20 C a p í t u l o 1 / El paso al límite
Entonces, podemos tomar límites y tenemos
n — n + 1 ¿ "+1
/ = lim — ¡-----------
n —yoo \ 2 n 4 — n + 2
= lím
1 1 i 1 \ n+1\
lím
n° n * 
oo
9 - A + A.N n,! n 1 /
Fíjese que no había una indeterminación del tipo 1
= 0 .
Solución.- Primero intentamos calcular el límite aplicando las propiedades 
de los límites, llegando a una indeterminación:
/ /— — Dlím v n = lím n » = oc .
n —»o o n — too
Este tipo de límites se pueden transformar en un producto a partir de la 
igualdad
lím ti" = lím e lnnn = lím e
n —> oc n —toc n —
¿ ln n _ e lím„^3c ¿Inri
Recuerde el criterio de En este punto, intentamos calcular primero
Stolz: si {a ,,} y { + } son 
dos sucesiones tales que 
'íni'— = / e r ,
entonces
lím — ln n = lím — lím ln n = 0 • oc.
n —roe n n —roo n n —ro c
que es de nuevo una indeterminación. Pero ya podemos aplicar el criterio 
de Stolz. Tenemos el cociente de dos sucesiones, a n = ln n y bn = n. El límite 
cuando n tiende a infinito de la sucesión del denominador es oc. Además, 
existe el límite
I = lím —71—► OC f)
= lím
n-+oo 0„+l — 0„.
si {fen} es m onótona y se 
cum ple que lím,1_+00 b„ = 
± o c o que 0 = lím n->oo bn = 
lim„-voc Tin .
bll+1 - br ¡-roe n + 1 — n
= ln lím ( — ] = ln 1 = 0 .twoc V n
1
Sólo fines educativos - FreeLibros
Entonces sabemos ya que
,, 1 n n, fln ,, Q-n+l 0,nlim — Inn = iim -— = inn -- — = ü.TI—>00 n T? TCO bn n—TOO 0,, II — b.n
y por eso,
lím n i = elím— ¿ ln" = e° = 1.
Ejercicio 15. Se pide calcular, si existe, el siguiente límite:
. ., - ,'2 32 43 (n + l ) r
Solución.- Tenemos que calcular el límite de una sucesión donde cada tér­
mino sn es el producto de con la suma de n términos. Si calculamos 
directamente los límites de cada factor y multiplicamos, nos da 0 • 00 .
En principio parece que se complica el cálculo del límite, pero resul­
ta una ventaja si nos damos cuenta de que la suma de sn es la de s„._i más 
^Í~i • Por eso, parece apropiado aplicar el criterio de Stolz; para ello, antes 
debemos expresar el límite como una indeterminación del tipo Expre­
samos el límite como
l = lím
2 , 32 , 43 , , (n+l)'T + -r 02 “T ■ ■ ■ 4----------
9 ’n —>00 77“
con lo que se transforma en una indeterminación del tipo y fácilmente si 
aplicamos las propiedades de los límites. Para utilizar el criterio de Stolz, 
identificamos:
2 32 43 (n + l ) n ,
a n - 7 + y + j 2 + " ' + h" - ? r -
Entonces la sucesión del denominador, b„ = rr , es evidentemente, una 
sucesión monótona creciente, que tiende a oo, y se cumplen las hipótesis de
Sólo fines educativos - FreeLibros
22 C a p í t u l o 1 / El paso al límite
este criterio. Así, tenemos
ün U~n—1l = lím
= lím
]n - bn .-1
f 2 + ^ ^ 2 +
(n+l)re \ ( 2 , 32 nn~
“T" J 1 1 2 ^ ( tí — 1 )
íhoo 2 — (n — l )2
(n+1),í / I 1 \n I I / I 1 \ r¡-l
= Jím = lím + i = lím Ü ± 1 . lím ( n + 1
n—roo 2n — 1 n—too (2n — l )n n 1 ti—roe 2n — 1 n-s-oo y n
Observe que en este caso, pa- Como
ra simplificar el cálculo, hace- , ,
lím ^ ± 1 = lím ?7 (1 + ^ = i ,
l í m a " ~ a " - 1 2/7 “ 1 ” ^ ° ° n ( 2 “ n ) 2
U:i' '' ' ' 'n + l V 1 „ / 1 \ " _1 „ ( l + lí)nI 1 1 / 1 I I 1 1 TVT ' 11/
que es otra forma de aplicar , " " Í ( n ) n -^ o í 1 + n ) (\ + I j 6 ’
el criterio de Stolz. \ n )
entonces podemos calcular ya el límite:
1 /2 32 43 (n + l ) n \ e
l — lili! —rr ( -— I — + 7-7 + • ■ • +n—too n 2 \ 1 2 32 nn 1 / 2
Ejercicio 16. Sean an Y zE^Li bn dos series de números reales que 
son divergentes. ¿Debe ser ///m ian + K ) también divergente?
Solución.- No necesariamente. Buscamos un contraejemplo. Sean
- I ; - _ Io,n i onn n
Sabemos que
1OG OC= E^ n f V nn = l n = 1 = —OO.
Pero la serie /// | («„ + bn )es convergente; en efecto:
J OO OO
an + bn = ----------= 0 = h (an + bn) = V '' 0 = 0 .
n n n = l n =l
Si son series de términos positivos, podemos aplicar el criterio de compa­
ración y la serie es divergente.
Sólo fines educativos - FreeLibros
23
Ejercicio 17. Sea la serie X ^ L i ° n de término general
•: .V-ií- 1
3 -f eos n + n5/2
Elija la opción u opciones correctas:
a) Es una serie convergente pero no es absolutamente convergente.
b) Es una serie absolutamente convergente.
c) Es una serie divergente.
d) Es una serie alternada.
Solución.- Como el valor del coseno siempre está entre —1 y 1, entonces se 
va a cumplir que 3 + eos n > 2. Además, n5/2 es positivo, y por eso la suma 
de ambos lo es y también su inverso. Así todos los términos de la sucesión 
son positivos y la opción d) no es correcta.
Observando la serie, seguramente nos recuerde a una del tipo "T
y con ella vamos a intentar utilizar el criterio de comparación. El término 
que parece que va a tener más peso va a ser n5/2. Además, el coseno nos 
puede "molestar"para la comparación, pero esta dificultad se soluciona al 
ser 3 + eos n > 2. Así, para n > 1, se verifica que Recuerde que la serie
3 + eos n + n5/2 > 2 + n5/2 > nr>/2.
Y entonces ya podemos utilizar el criterio de comparación: es convergente si y sólo si 1 > 1-
1 1
3 + eos n + n5/2 n5/2
para n > 1. Luego
Como la serie ~Y/2 es convergente/ entonces también lo es la serie de
este ejercicio. Al ser todos sus términos positivos, también es absolutamen­
te convergente. Por eso, sólo es correcta la opción b).
Sólo fines educativos - FreeLibros
24 C a p í t u l o 1 / El paso al límite
Ejercicio 18. Se pide estudiar el carácter de la siguiente serie:
E
7 2 = 1
n l / 2 _|_ n 2 / 3
Solución.- Es una serie de términos positivos que nos recuerda a las series 
del tipo
E
n= i n'
Además, sabemos para qué valores de 7 estas series son convergentes. Por 
esto, parece apropiado intentar compararla con una serie de este tipo. Para 
n > 1, se verifica que n1' 2 + n2/3 < ??2/3 + n2-'3 = 2n2//,i, por lo que
1 1
>,1/2 + „2/3 2 /i2 3 '
Entonces, se cumple
OO
E 1 >E 1n 1 2 + /73/2 2/<2 • 2 n 2 3
72— 1 7 2 = 1 7 2 = 1
Esta última serie es divergente, porque es una serie del tipo
1v _
^ 1p ’
(1 = 1
con 7 = | < 1. Por tanto, según el criterio de comparación, la serie es 
divergente, ya que es mayorante de una serie divergente.
Ejercicio 19. Sea sn la serie dada por sn = Xu=i a n> donde
a n = 1 • 3 • 5 • • • (2n - 3) • (2n - 1)' 
Se pide estudiar su carácter.
Solución.- Se trata de una serie de términos positivos. Por la expresión de 
los términos parece adecuado aplicar o el criterio del cociente o el de la
Sólo fines educativos - FreeLibros
raíz. Entre los dos, elegimos el criterio del cociente, porque no es sencillo 
calcular el límite de la raíz del denominador.
Realizamos el cociente entre dos términos consecutivos:
n-\- 1
(!„ +1 _ i-3-5'-'(2íí—i)-(2íi+i) _ 1 • 3 • 5 • • • (2n - 3) • (2n - 1) • (n + 1) a+ i
a 11 l-3-5-”(2n—3)-(2n—1)
(n + l ) í,+1 ^n + l \ n n + 1
1 ■ 3 • 5-- • (2n - 1) • (2n + 1) ■ n"
(2 ii + l ) n r n 2 n + 1
Esta expresión se presta ya a tomar límites directamente de cada uno de 
sus factores:
lím ( — ) = lím ( 1 + 1
n -^ oc \ 71 J n —>oo V n
a + i i
= r .
Entonces:
lím
n—>30 2 n + 1
(hi + l w = lllll
n —> oo a „ n —>oo
lím
?? + 1 \ " í) + 1
2 n + 1 = 2 > L
Como el límite es mayor que 1, podemos afirmar que la serie es divergente.
Solución.- Estamos ante una serie de términos positivos y en el denomi­
nador aparece una potencia n-ésima. No parece que el criterio del cociente 
nos vaya a ayudar, así que lo intentamos con el criterio de la raíz
, ln n
lím = lím
71—> 0 0 71—>OC (ln n)
n "
= lím = A.n >3c lli n
En el numerador aparece n elevado a algo que también depende de n. Una 
forma de abordar este nuevo límite es a través de logaritmos, porque se
Sólo fines educativos - FreeLibros
26 C a p í t u l o 1 / El paso al límite
transforma la potencia en un producto:
Inn lnn
TI n TI 71 / l n n \
Indi = ln lím = lím ln = lím ( ln n ~ — ln (ln n ))
n —t oc ln Tí n—»oo ln T i n —Too V /
ln n (ln 77/)^
= lím ln n — lím ln ( ln n )= l í m lím ln(lnn)
n —Too TI n —>oo n—» oc Ti n —>oc
= 0 — oo = — oo.
El cálculo del primero de los límites requiere una explicación. De forma 
intuitiva, lnn crece mucho más despacio que v/ñ, y por eso el límite de 
su cociente es 0. Lo mismo ocurre con sus cuadrados y así se explica que 
lím ^oc ! = 0. Su cálculo exacto se deja como futuro ejercicio a realizar 
aplicando la regla de L'Hópital, que se estudia en el siguiente módulo. 
Seguimos con el límite de este ejercicio. Como in A = — oc, entonces
A = f x = — = 0 < 1.
f D
Por tanto, la serie es convergente.
Solución.- Se trata de una serie alternada, porque los términos pares son 
positivos y los impares son negativos, si escribimos
x e n
2 J - 1 )"a n, con a n = - y ^ .
n —1
Vamos a mostrar que los términos a n decrecen, es decir, a n+\ < an. Veamos 
si se cumple la condición equivalente
<l ll-r 1 ^ j
Cln
Determinamos este cociente:
a n+1 _ e2n+2+i _ e" ' 1 {< -" + l) e2,l+1 + e
e2n + i e" (e2"-+2 + 1 ) e2"+2 + i ■
Sólo fines educativos - FreeLibros
27
Esta relación es menor o igual que 1 si y sólo si:
c 2,1+1 + e < e2" +2 + 1 <=> e2ra+1 - e2re+2 < 1 - e
e2n+1 (1 - e) < 1 - e.
Como 1 — e < 0, si dividimos los dos lados de la desigualdad por este 
número, la desigualdad cambia y es menor o igual que 1 si y sólo si 
e2"+i > y qUe se verifica para todo n G N. Por eso la sucesión a n = 1
es decreciente. Además, como
<" 1 
lím ---------= lím — = 0 ,
n — voo e + 1 n —> oo e n + 6 n
podemos aplicar el criterio de Leibniz para concluir que la serie del enun­
ciado es convergente.
Ejercicio 22. Sean f ( x ) y g(x) dos funciones con límite cuando x tiende 
a xq. ¿La función f / g también tiene límite en xq?
Solución.- No necesariamente. Lo demostramos con un contraejemplo.
Sean / (x) = eos x. g (x ) = x. Ambas funciones tienen límite cuando x 
tiende a 0 , pero sin embargo no existe el límite:
eos x 
lim .
x —^0 CC
porque el numerador está acotado y el denominador tiende a 0 y se trata 
por lo tanto de un límite infinito.
Ejercicio 23. Sea / la función dada por
f ( x ) =
2
X — X
x2 + 2 x - 3 ' 
Se pide calcular límx_>i f (x ) .
Solución.- La función / es continua en su dominio de definición, porque 
los polinomios y su cociente lo son. Si x = 1 está en su dominio, podríamos 
calcular el límite sin más que sustituir este valor en laexpresión de /.
Pero si intentamos hacerlo, llegamos a una indeterminación del tipo g. 
Esto significa que los polinomios del numerador y del denominador tienen
Recuerde el criterio de Leib­
niz. Sea i 0-" una serie 
alternada tal que |a„ | es de­
creciente. Entonces la serie 
es convergente si y sólo si
l i l i, , . X ti I — 0 .
Sólo fines educativos - FreeLibros
28 C a p í t u l o 1 / El paso al límite
Recuerde que las raíces
a x 2 + bx + c son
— b — \'l>2 — 4ac 
2a
como raíz común x = 1. En el numerador es evidente si sacamos factor 
común a x, porque:
x 2 — X = x (x — 1) .
Buscamos las raíces del denominador (podemos hacerlo con la conocida 
fórmula que nos da las soluciones de una ecuación de segundo grado o
aplicando la regla de Ruffini). Obtenemos que son x — 1 y x = —3. Por eso,
podemos escribir
x2 — x x (x — 1) x
x- + 2x - 3 (x - 1) (./■ + 3) x + 3
Ahora ya podemos calcular el límite:
lím f ( x ) = lím = —— =
X —>1 X —rl X + 3 1 “t“ 3 1
Ejercicio 24. Sea / la función definida por
f (x) — sen , /----------y ’ V (® -1)
Se pide determinar su dominio de definición.
Solución.- El seno está definido para cualquier valor de x € R. Por eso, el 
único impedimento para que la función esté definida está en el argumento 
de la raíz, que debe ser un número finito y positivo.
Estudiamos primero el denominador, para eliminar los puntos donde la 
fracción sea ±oc. Este es siempre mayor o igual que 0, por ser una potencia 
con exponente par. Sólo se anula si x = 1. Este punto está, pues, fuera del 
dominio.
Además hace falta que el numerador sea mayor o igual que 0, que es lo 
mismo que x > 0.
Resumiendo, el dominio de definición de f es
D = {x G R : x > 0. x ^ 1}
Sólo fines educativos - FreeLibros
29
Solución.- Si calculamos el límite aplicando las propiedades de los límites, 
tenemos una indeterminación del tipo ^ . Aparecen logaritmos neperianos 
en el numerador (de x) y en el denominador (de 4.r4). Si ambos logarit­
mos tuvieran el mismo argumento, podríamos simplificar. Vamos a inten­
tar conseguirlo aplicando las propiedades de los logaritmos:
ln (d.r1) = ln 4 + ln .rl = ln 4 + 4 ln x.
Con esta relación, ya podemos calcular el límite: 
ln x ,, ln x
Recuerde que ln (a b ) = lna- 
ln b, ln ( a 1') = b ln a.
X-»OC Ill4x4 = límx->dc ln4 + 41n:c 
1
i í n v — + 4
= lím
ln x 
ln x
x —>oo I n i 4 Í Í L Í
ln x ln x
1
4'
i ln x = límx —>oc ' n 4 i A 
ln x
Solución.- Como es habitual, primero intentamos hacerlo directamente y 
llegamos a una indeterminación del tipo ( — ) °°, que con la siguiente mani­
pulación pasa a ser del tipo 1°°:
lím
x 1
= lím = lím
X —>OC y x — 1 J X —>OC l X ( l — J X —>OC l 1 — i /
( 1 \ lím^ o^o X
i ± i
l - ~ )
Por eso vamos a utilizar la relación que ya conocemos para sucesiones:
lím ( 1 + - 1- -
x — \ I (x) = c si lím f (x) = ± x .
Sólo fines educativos - FreeLibros
30 C a p í t u l o 1 / El paso al límite
Manipulamos la fracción y llegamos a una expresión de este tipo:
[ l m i £ ± i y = i , - m ó - i + 2 v = i , - m ( 1 + 2
x —¥oc \ X — 1 / x —>oc \ X — 1 / x roc \ 2’ — 1
= lím 1 + — y = lím 1 + —
x —>oo \ - — - / x —>oo \ ——V 2 / V 2
= Km. 1 1 ' + t | i )
línix^ -oc —^-rrX 2— g X —Í-OC X _ 1 _ _ ^
o
Ejercicio 27. La función dada por
r , N X1 + 1
tiene:
a) Asíntota vertical. b) Asíntota oblicua.
c) Asíntota horizontal. d) No tiene asíntotas.
Solución.- Son correctas la opciones a) y c). Comenzamos con las asíntotas 
horizontales. Reescribimos la expresión de / como :
f U ) =
X2 + 1 1 + 7?
x2 — 1 1 —
Recuerde que una función / y podemos calcular fácilmente los límites cuando x tiende a ± o c : 
tiene una asíntota horizontal
y = b si v sólo si:
lím / (x) = b y/oX —> OC
lím / (.c) = />.
lím / (x ) = lím
1 +
./ —, .t —r oc ^ — —Ej-
1 + 4,
lím /•(./•) = lím ------x—y—oo x—y — OC1 1 —
1 + lili! , . X 1
 1" = T = 1-T 41 - límx_4( 
1 + l ím x_
1 — lím-,
_L i- oc ,,2 r
ir = y ■
- ZVO O
Como estos límites existen, entonces y = 1 es una asíntota horizontal, tanto 
cuando x tiende a oo como a — oo.
Ahora estudiamos si tiene asíntotas verticales. En esta función, el deno­
minador se anula para x = ±1. Por eso, parece lógico pensar que puede
Sólo fines educativos - FreeLibros
31
tener una asíntota vertical en x = ± 1:
x2 -)- 1
lím f (x) = lím = —ex).
i - y l - .r—>1 ~ X a - 1
,)•- -|- 1
lím / (x) = lím —x — = 0 0 ,
x -> l + x -> l+ X a — 1
.r2 + 1
lím f (.r) = lím —5 = x .
x —> — 1 — ' x —^ — 1 — X a — 1
X2 + 1
lím / (,r) = lím —^ = —x .
x ^ -l + ■ X2 - 1
lím / (.r) — m r = lím I —5 mx
x —>±00 x —>±oc \ x — 1
= lím x + 1 — m r + mx 
x2 — 1 = i 00
Como estos valores son ± 00 , las rectas x = 1 y x = — 1 son asíntotas Recuerde que una función
verticales, tanto por la derecha como por la izquierda. f tiene una asíntota vertical
x = a si y sólo si:
Ahora buscamos asíntotas oblicuas. Hacemos
l ím / (.t ) = ± o c y / o
x —> a
r2 + 1 lím / ( x ) = ± o c .
según sea el signo de m. Luego no tiene asíntotas oblicuas. Podíamos ha- Recuerde que una función 
bernos dado cuenta de que una función con asíntotas horizontales en + 0 0 y / tiene una asíntota oblicua 
- 0 0 no puede tener asíntotas oblicuas y entonces no hubiese sido necesaria
esta última comprobación.
La función / y sus asíntotas se han representado en la siguiente figura.
y = m x + b, con m / 0, si 
y sólo si:
lím / (x ) — m x = b y/ox—too
lím / (x ) — m x = b
f ( x )
y= 1
X = — 1 X = 1
Sólo fines educativos - FreeLibros
32 C a p í t u l o 1 / El paso al límite
Ejercicio 28. Sea / la función dada por
, . x3 + 2a:2 - 1
m = — — —
Se pide encontrar las asíntotas de f , si las tiene.
Solución.- Si ,/’ tiene una asíntota vertical, entonces debe existir a ¡E R tal 
que lím.,. / (a ) = ±oo. Para esta función, para cualquier a, tenemos
a;3 + 2x 2 - 1 a3 + 2a2 — 1
lim / (x) = lim 5 - = -^--------- .
x -^ a x -+ a x — 4 CL — 4
Si a2 / 4 (o, lo que es lo mismo, a ^ ± 2), entonces este límite es un número 
finito. Pero si a = ± 2, el límite es ± 00 :
. . . , x + 2x — 1 , , x + 2a-' — 1
lim / (x = lim ------- :---- = lim -------— ------ — = +oo,
x->2 + ' ;r^2+ X2 - 4 xm2 + (x - 2) (x + 2)
, . a:3 + 2x 2 — 1 a:3 + 2a:2 — 1
Inri f (x) = lim k = lim — = —oca
x^ 2 - a—>2- a:2 — 4 a^ 2+(a-— 2) (a: + 2)
x 3 + 2a:2 - 1 .r3 + 2.r2 - 1
lim f (x) = iim ------- 7 = lím a ; = oca
*->-2+ X-+-2+ X- - 4 x->—2+ (a: - 2) (x + 2)
a:3 + 2.r2 - 1 .r3 + 2.r2 - 1
un t ,:r = lím a = imi = — oca
x—i—2 - ' x-m-2- X - 4 i a - 2+ (a: - 2) (x + 2)
Entonces, las asíntotas verticales son a’ = 2, a: = — 2.
Las asíntotas horizontales son las rectas y = b tales que /(a;) tiende a b 
si x tiende a ±oo. Esta función no tiene asíntotas horizontales, porque:
t -f- 2 r — 1 
lím / (a:) = lím ------- a = oca- ■- x—>oo x2 - 4
t3 2r 2 — 1 
lím / (a:) = lím a——; = — oo.•—l—oo ’ x—t — oo X — 4
Sólo fines educativos - FreeLibros
33
Para encontrar las posibles asíntotas oblicuas, hacemos:
i i' \ u ( x A + 2x2 - lL = lim j lx) — m x = lim ------~----- m x
£ —>■00 £ —>oo \ X — 4
x3 + 2x2 — 1 — m x (x2 — 4)
= lím ----------------- r---------------------
x~ — 4
x 3 + 2x2 — 1 — m x3 + 4 mx= lím
£ —»o c
= límx—> OG
x2 - 4
y 3 _L O ^ 2
= lím
x —>oo
(1 — m) x + 2x + 4m x + 1 
x 2 — 4
r 3 ((1 - m) + 2 ^ + l)" ,L + i )
X ( l - 4 ¿ )
2 si m = 1,
± o c si 771 / 1, dependiendo del signo de 1 — m.
Como este límite es finito para el valor m = 1, una asíntota oblicua es
y =x + 2. Repitiendo el proceso para x —t - oc (se dejan las cuentas para el
lector), resulta:
v t t s ! ' f ■''* + 2-»’2 - 1lim j (x) — m x = lim ------ « mx
x —>— oo :r—>—oo \ x — 4
(1 — r r i ) x 3 + 2x2 — 3mx + 1
= lim ----------------- -^--------------------
x — >oc x — 4
2 si m = 1,
i o c si m / 1, dependiendo del signo de 1 — m.
Es la misma recta, y = x + 2 .
Esta función se representa a continuación.
Sólo fines educativos - FreeLibros
34 C a p í t u l o 1 / El paso al límite
Ejercicio 29. Razone si existen funciones que tengan asíntotas horizon­
tales y oblicuas.
Solución.- Sí existen y lo vamos a mostrar con la siguiente gráfica, que 
tiene además una asíntota vertical.
La función que se ha representado es
1
x — 1
j J + 1
x — 1
x < 0 , 
. x > 0 .
Ejercicio 30. Sea / la función definida por
f ( x ) — arcos —.
¿Se puede definir en x = 0 de tal forma que sea continua en R?
Solución.- Para que esté definida en x = 0 hay que dar un valor a / (0). 
Para que además sea continua en este punto, se tiene que cumplir
lím f (x ) = / (O) .x—>0 ■
Por eso lo razonable es calcular el límite de f ( x ) cuando x tiende a 0 y dar 
a / (0 ) ese valor. Observamos que como eos x. e [— 1, 1], entonces
1
Sólo fines educativos - FreeLibros
35
y aplicamos la regla del emparedado, para obtener que el límite es 0, porque
0 < lirad o \f(x)\ < lím.,. >() |x| = 0. A s í, redefinimos Recuerde que
f (x)
x c os i . si x £ l - { 0 }, \ímg(x) = 0
0 , si x = 0 , í
lím \<j{.r)\ = 0.x—>a
y la función / es continua, como se puede ver en la siguiente figura.
0.5
/ \
\ íllk
- 1 \r 1
/
- 0.5
Este ejercicio también se puede resolver viendo que es el producto de una 
función acotada (eos por una función (que es x) que tiende a 0 .
Ejercicio 31. Sea / la función definida por
í x3 ~ & _Z O 
[ fc, x = 2 .
Se pide encontrar para qué valor de k la función es continua en
Solución.- Se trata de calcular lím, . ,^2 /('./:), porque para que / sea continua 
en x = 2 se debe verificar que coincidan el límite de la función y el valor de 
/ en dicho punto. Observamos que f ( x ) , si x / 2, se puede reescribir como
. 0 - 8 (,r — 2)(.r2 + 2.r + 4) 2 o
 = = i - + 2x + 4.
x - 2 ,r - 2
Como se cumple que
lím f ( x ) = lím(2-2 + 2x + 4) = 12.x—>2 x—>2
si elegimos k = 12, resulta que / es una función continua en E .
Sólo fines educativos - FreeLibros
36 C a p í t u l o 1 / El paso al límite
Ejercicio 32. Sea f la función dada por
( 1I ^ n -i
f (x ) = e u+^2 , a r ^ —1 ,i
e 4 , ,x — — 1 .
Se pide calcular límx_>_ i f ( x ) y estudiar la continuidad de / en ]
Solución.- Si x ^ —1, la función está definida por una exponencial. La 
exponencial es una función continua y el exponente también es una función 
continua, porque el numerador es una constante y el denominador no se 
anula si x / — 1. Por eso, / es continua para x / — 1.
Para estudiar la continuidad en x — — 1, hay que ver si existe el límite 
en este punto y si coincide con el valor de la función. Tenemos que:
lime-lím /(.r) = lím e u+ú2 _ 1 TT+Iji = e x = Q.
X —r 1 X —> — 1
Como el límite no coincide con el valor de /(—1), la función no es continua 
en x = — 1, aunque sí lo es en M - { ! } .
Ejercicio 33. Sean f y g las funciones definidas por
f ( x ) = \x\,
g(x) =
e , x — 1,
i
> 4, :r 1.
Se pide estudiar la continuidad de g o /.
Solución.- Si las funciones / y y fueran continuas, tendríamos que g o f 
y / o g también lo serían. Pero sabemos (por el ejercicio anterior) que g es 
discontinua en x = — 1. Vamos a estudiar la continuidad de /. Escribimos 
la función / (valor absoluto) como
m =
—x, x < 0 . 
x, x > 0 .
Entonces la función / sólo puede ser discontinua en x = 0. Pero es conocido
Sólo fines educativos - FreeLibros
37
que en este punto también es continua porque
lím /(.r) = 0 = lím f ( x ) = /(O).
x -> ü + . r ^ ü -
Vamos a ver ahora si la función g o f es continua. Observamos que:
!J° /(-'Ó = 9 (l-r l) •
Esto significa que el argumento de g es siempre positivo y, por eso, nunca 
vale - 1, es decir siempre se cumple:
1
fl 0 / (•'') = o 1' - J'if' .
Entonces, g o / es continua, aunque no es composición, suma y cociente de 
funciones continuas.
Ejercicio 34. Se pide demostrar, utilizando el teorema de Bolzano, que 
cualquier polinomio de grado impar con coeficientes reales tiene al me­
nos una raíz real.
Solución.- Un polinomio es una función continua. Si es de grado impar se 
puede expresar como
= a.2k+ix2k+1 + ak-xk + • ■ • + ai.r + o0.
para k G N. Podemos suponer que (i2k + i es mayor que cero, porque si no 
lo fuera, multiplicamos p por - 1 y entonces ya lo es y si p(x) tiene una 
raíz real, también la tendrá —p(x). Entonces calculamos los límites cuando 
x tiende a ±oc:
lím p(x) = oo. lím p(x ) = — oc.
x — yoc x —y—oc
Como el límite cuando x tiende a - o c es —oo y un polinomio es una función 
continua, existe un número a tal que p(a) < 0. De la misma forma, como 
lím.,. , x p(x) = oc, existe un número b tal que p(b) > 0 .
Hemos comprobado que se cumplen las condiciones para aplicar el teo­
rema de Bolzano al intervalo [a, b\ y por tanto existe un punto c G (a, b), tal 
que p(c) = 0, es decir, que p tiene, al menos, una raíz real.
Sólo fines educativos - FreeLibros
38 C a p í t u l o 1 / El paso al límite
Ejercicio 35. Sean / y g las funciones definidas, para x 6 [0, oo), como
4x2
= ~2~,— rr> = cosx-x ¿ -f- x + 1
¿Existe algún punto x 6 [0, oo) donde f ( x ) = g{x)l
Solución.- Se define la función h(x) = f ( x ) - g{x). Entonces, existe un 
punto donde f ( x ) = g(x) si existe un punto donde se anula h.
Podemos demostrarlo con el teorema de Bolzano, ya que h es una fun­
ción continua en el intervalo [0 , oo), y las funciones / y g son continuas
en este intervalo. Tenemos que encontrar dos puntos a y b donde h tome
valores de distinto signo. Como:
h(0 ) = — 1 < 0 . lím h(x) = oo,
x —»oo
existe un punto b > 0 tal que h(b) > 0, por lo que existe un c. > 0 tal que
h(c) = 0, es decir, /(c) = g(c).
Por eso, la respuesta es que sí existe x £ [0. oc), con f ( x ) = g(x).
Ejercicio 36. Sea f la función definida, en el intervalo (0. oo), por
¿Existen los valores límT„>0+ f ( x ) y línia._).00 / (*)? ¿Alcanza la imagen de 
f el valor del supremo o del ínfimo en algún punto de (0, oo)? ¿Contra­
dice esto el teorema de Weierstrass?
Solución.- Contestamos a la primera pregunta. Comenzamos calculando:
e~x
lím f ( x ) = lím ------ = oc.
,T->0+ ' ' a;-40+ X
porque límx. ,(yt- \e~x \ = 1 y líma,_4.0+ 1/x = oc. Ahora calculamos el límite 
del valor absoluto de / cuando x tiende a oc:
e~x 2lím < límX—>-0O X oc X
= 0.
Sólo fines educativos - FreeLibros
39
Hemos utilizado que
lím |eX—>00 = 0
y que por eso está acotada y así la hemos maximizado por 2 para poder Recuerde que la gráfica de 
aplicar la propiedad del emparedado y concluir que líin,._>0O /(x) = 0 . e es:
Por otra parte f ( x ) = '-f- es una función continua en (0 ,00) y es de­
creciente (lo podremos demostrar con las técnicas que aprenderemos más 
adelante), pero no alcanza el supremo ni el ínfimo del conjunto imagen.
Este resultado no contradice el teorema de Weierstrass, porque el domi­
nio no es ni cerrado ni acotado.
Ejercicio 37. Sea / la función dada por la expresión
x + 2
/(*) = x5 + 1 '
¿Existe un punto xq E [0,3] tal que /(x0) = 5 ?
Solución.- Vamos a ver si podemos aplicar el teorema de los valores inter­
medios. La función / es continua en [0,3] porque es cociente de polinomios 
(que son funciones continuas) y además no se anula el denominador. Tam­
bién se cumple la otra hipótesis:
Por esosabemos que existe x() tal que / (xq) =
Note que la existencia del punto xq gráficamente se demuestra repre­
sentando la función f ( x ) = TVy y la recta y =
/
2
f
1
v = 2 ,
-1 1 2
- 1
Sólo fines educativos - FreeLibros
40 C a p í t u l o 1 / El paso al límite
Ejercicio 38. ¿El método de la bisección puede aplicarse a cualquier 
ecuación f ( x ) = 0 en un intervalo cerrado /?
¿Se puede aplicar a cualquier ecuación f (x) = 0 en un intervalo cerrado 
/ cuando / sea continua?
Solución.- No puede aplicarse a cualquier ecuación f ( x ) = 0 en un in­
tervalo cerrado I , porque es necesario que la función / sea continua en el 
intervalo 1.
Tampoco se puede aplicar a cualquier ecuación /(.;;) = 0 en un intervalo 
cerrado / cuando f sea continua, porque es necesario que la función f tome 
valores de signo opuesto en los extremos del intervalo /.
Ejercicio 39. El polinomio x :i — 3 tiene una única raíz en el intervalo [0,4]. 
Se pide aproximarla realizando 3 iteraciones con el método de bisección 
y estimar el error cometido.
Solución.- Buscamos aproximar la solución de f ( x ) = 0 en el intervalo 
[0 .4], donde
f í x ) = .r3 - 3.
Claramente la función / es continua y como /(O) = —3 < 0 y /(4) = 64 -
3 = 61 > 0 podemos utilizar el método de bisección.
El punto medio del intervalo [0,4] es x\ = 2 y tenemos /(2) = 8 — 3 = 
•r> > t). Por lo tanto, nos quedamos con el intervalo [0,2]. En la segunda 
iteración calculamos el punto medio del intervalo [0 . 2] que es = 1 y 
tenemos /(1) = 1 — 3 = —2 < 0. Nos quedamos con el intervalo [1. 2] y su 
punto medio es la tercera iteración pedida, es decir, x-¿ = 1.5.
Para estimar el error cometido al aproximar ^3 (fíjese que esa es la raíz 
del polinomio x3 - 3) por 1.5 utilizamos la cota del error r>n . En nuestro 
caso obtenemos que el error cometido será menor que
4 - 0 _ 1 
2 : : “ 2
Sólo fines educativos - FreeLibros
41
Ejercicio 40. Tenemos una función continua / : [0.1] —> R, con / (ü) — 
-1 y / (1) = 4. Buscamos una solución aproximada en ¡0, I] por el méto­
do de bisección para la ecuación / (ai) = 0. ¿Cuántas iteraciones son ne­
cesarias para asegurar que el error que cometemos al tomar la solución 
aproximada es menor que 0.11?
al No se puede aplicar el método de la bisección, b) Faltan datos,
c) 3. d) 4.
Solución.- Por el método de bisección, una cota del error cometido tras n 
iteraciones es
^ __ l-'-'i ~ o 
“ 2 ”
donde x {] y x\ son los extremos del intervalo inicial. En este caso, buscamos
II — 0 1A = — = — < 0,11
2 " 2”
Como
¿ = 1 = 0,0635 y ¿ = i = 0 , 1 2 5 
tenemos que n = 4. Es correcta la opción d).
Ejercicio 41. Construya analítica o gráficamente una función / para la 
que f ( x ) = 0 tenga una solución en el intervalo [0 , 1], /(0 )/ (l) < 0 y tal 
que el método de la bisección no se pueda aplicar.
¿Existen funciones continuas en el intervalo [0,1], para las que /(c) = 0 
para c € [0 .1 ] y a las que no se puede aplicar el método de la bisección?
Solución.- La función que debemos construir habrá de ser discontinua pues 
de otra forma sabemos que el método se podría aplicar. En la primera ite­
ración el método de la bisección calcula el valor de f (x ) en x = 1/2 y de­
pendiendo del signo busca la solución de la ecuación en el intervalo [0,1 /2] 
o [1/2 , 1],
Es muy sencillo construir una función discontinua que verifique /(0) < 
0, /(1) > 0 y /(1 /2) > 0, tenga una solución en [0 , 1] pero no tenga ninguna 
solución en [0,1/2] (vea la gráfica siguiente). Por lo tanto, el método de la 
bisección no se podrá utilizar.
Sólo fines educativos - FreeLibros
42 C a p í t u l o 1 / El paso al límite
0.5 / 1.0
También hay funciones continuas en el intervalo [0, 1] y con una solu­
ción en él y para las que no funciona el método de la bisección. En este caso, 
se debe cumplir:
/(0 )/(l) > 0 ,
pues de otra forma sabemos que el método funcionará. En la primera ite­
ración el método de la bisección calcula el valor de /(./■) en x = 1/2 y de­
pendiendo del signo busca la solución de la ecuación en el intervalo [0 , 1/2] 
o [1 /2.1], Si el signo de /( I/2) es el mismo que el signo de /(()) y /(i) no 
sabremos en qué intervalo buscar y el método fallará. La siguiente gráfica 
pertenece a una función con las características descritas.
Ejercicio 42. Sea {/n} una sucesión de funciones continuas que converge 
puntualmente a la función f {x ) . ¿Debe ser / continua?
Solución.- No necesariamente. Si la convergencia es uniforme sí debe ser 
continua, pero si no es uniforme puede no serlo.
Sólo fines educativos - FreeLibros
Ejercicio 43. Sea fn la función dada por:
f n{x) = (1 - x)n sen — .
Se pide estudiar en qué subconjunto de E converge puntualmente la su­
cesión { f n}.
Solución.- Si reflexionamos un poco, nos damos cuenta de que para x = 0 
no están definidas las funciones /„. Además, observamos que para cada xq 
distinto de 0, el valor de f n es
y sen es un valor constante. Por eso, tenemos
27t 2 tr
lím f n{xo) = lím (1 — xq)n sen — = sen — lím (1 — xo)” .
n -A o o n —>00 X q X q n —>oc
Entonces, la existencia de lím. . N f n(xo) depende de los valores de sen ~ 
y límn_>0O(l — x 0)n . El seno se anula cuando su argumento vale kx para 
k £ Z, lo que en nuestra función supone
Por eso, en estos puntos la sucesión converge puntualmente.
Estudiamos ahora lo que ocurre fuera de este conjunto. En particular, 
nos interesa saber cuándo existe lím,, ^ x ( l - x q ) 11, porque en estos puntos 
la sucesión converge puntualmente. Este límite es finito si y sólo si
fn (x o) = (1 - xo)n sen
En estos puntos siempre va a ser /„ í.r) = 0 y entonces
1 — X’ o| < 1 - 4 = » X q € ( 0 , 2 ) .
Por eso, la función límite puntual existe en el conjunto
Sólo fines educativos - FreeLibros
44 C a p í t u l o 1 / El paso al límite
y se cumple:
/ (x) = 0 si x £ (ü, 2) U — — : k £ Z — {0}
Como práctica, se deja representar las primeras funciones de esta sucesión 
con Maxima.
Ejercicio 44. Sea /„, la función dada por:
x
f n ( x ) = 2(77 + 1)-
Se pide estudiar si la sucesión { / „ } converge puntualmente y uniforme­
mente en el intervalo [0,1].
Solución.- Comenzamos encontrando la función límite puntual / para es­
tudiar después si la convergencia a esta función es uniforme. Representa­
mos gráficamente los primeros términos de la sucesión:
/i
h 
h 
U
Fijado cualquier punto fijo xq £ [0,1], se cumple:
.'0 X()lím fn {xo) = lím
n - y oo 2(77 + 1) 21ím„_>00(n + 1)
= 0 .
Por esto, la función límite puntual es / (x) = 0 para todo x £ [0,1]. 
Ahora estudiamos la convergencia uniforme. Se cumple que
sup |/„(x) - /(x)| < 1 ,
.re [0.1] ¿n + ¿
porque al ser 0 < x < 1 entonces
Ifn{x) ~ f (x ) | =
X
2 n + 2
- 0 <
1
2 n + 2
Sólo fines educativos - FreeLibros
45
Al aplicar la propiedad del emparedado resulta:
0 < lím sup \fn(x) - f(x)\ < lím 1 = 0 .
n-^°°xe[o,i] n^ -oo ¿n + ¿
Así vemos que la sucesión de funciones tiende puntual y uniformemente a
/(■i') = 0.
Ejercicio 45. Sea f n la función dada por
1 — n\x[, \x\ < 1/n,
0 , jx j > 1/n.
Se pide estudiar si la sucesión {/„} converge puntual y uniformemente.
Solución.- Primero vamos a representar las primera funciones de la su­
cesión, para hacernos una idea de cómo puede ser la función límite. Las 
gráficas de estas funciones son de la forma
1 -
h
h
h
h
- 1 h 1
Parece que la función límite puntual va a ser:
/ (./;) = lím f n (.r) = j 1
íW og [ U, .1 f ü.
Lo demostramos. Si x = 0, tenemos:
f n (0) = 1 - n |0| = 1 = > lím f n (0) = lím 1 = 1 .
n —>oo n —> oo
Si |x| > 1, entonces
f n {-i') = 0 = > lím f n (.r) = lím 0 = 0.
n—> oo n—>■ oo
Sólo fines educativos -FreeLibros
46 C a p í t u l o 1 / El paso al límite
Si 0 < \x\ < 1, entonces va a existir un número no G N tal que |x| > 1/no y, 
en ese caso, f ni¡[x) = 0. Entonces si m > no también va a ser f m(x) = 0 y, 
por eso,
lím /„ (./') = 0.
n — >oo
Así está demostrado que la función límite puntual es / y además, no es 
continua. Por eso, la convergencia de la sucesión {/„} no es uniforme.
Ejercicio 46. Sea Y^nLi fn (%) una serie de funciones que converge abso­
lutamente. ¿Debe ser también uniforme la convergencia?
Solución.- No necesariamente. La convergencia absoluta implica conver­
gencia puntual, pero no uniforme. Un ejemplo de esto es la serie
OO tiE X
n n’
7 1 = 1
que es una serie de potencias tipo 3 (Ejemplo 1.59 del libro Cálculo para In­
genieros) y por eso converge absolutamente en R y uniformemente en cual­
quier intervalo cerrado y acotado de R, pero esto no se cumple en R.
Ejercicio 47. Sea ]D^=i f n (x) la serie de funciones dada por:
OO
n.= 1
Se pide determinar el mayor subconjunto de R donde existe límite pun­
tual y estudiar si converge uniformemente en este subconjunto.
Solución.- Para determinar el límite puntual, vamos a considerar un punto 
x fijo:
lím g f n (x ) = lím \ x ( lm —»OC 771—> OC ‘ - - JT I— 1 7 1 = 1
= lím (x + x ( l — x) + .r(l — .r)2 + • • • + ,r(l — .r)m)
771-> O C
= lím x [l + (1 - x) + (1 - x f H h (1 - x )m]
m -A- oo
= X ( l + (1 - X) + (1 - x )2 + •••).
Sólo fines educativos - FreeLibros
47
Para cualquier x fijo, observamos que
1 + (1 - x) + (1 - x )2 4-----
es la suma de los términos de una serie geométrica, tal que su razón es 
r = (1 — x). La suma de los primeros n términos de esta serie es
r - r" + 1 (1 - x ) - (1 - x ) n+1 (1 - x) - (1 - x )n+1
Sn. — 1 — r 1 — (1 — x) x
Por lo tanto, esta serie es convergente si y sólo si 11 — x \ < 1 y entonces
(1 — x) - (1 - x )'l+1 _ 1 - X
lím sn = límn—>oo n—>oo X
De esto se deduce que:
OO -E . x n — 1 t — Xx ( l - x) = X = 1 - X.
Xn—1
en |1 — x\ < 1, es decir, para 0 < x < 2 .
Nos quedan por estudiar los extremos de este intervalo. Si x = 0 tam­
bién es convergente, porque:
OO oc
j : / „ ( o) = x ; o(i - o) " - i = o.
71 = 1 71=1
Si x = 2, entonces
OO OO
£ / „ ( 2) = 5 ^ 2(1 - 2)™-1,
77=1 77=1
que no es convergente (fíjese que su término general no converge a 0). Lo 
mismo pasa si x ^ [0.2], En resumen, podemos decir que la serie sólo con­
verge puntualmente en el intervalo / = [0 , 2) a la función
0 , x = 0 .
1 - x. 0 < x < 2 .
Además, la función suma no es continua, a pesar de que sí lo son las fun­
ciones que conforman la serie. Luego la serie x ( l — x ) " _1 no converge 
uniformemente en el intervalo I.
Sólo fines educativos - FreeLibros
48 C a p í t u l o 1 / El paso al límite
Ejercicio 48. Sea /»(•' ) Ia serie de funciones dada por
í C T . x ¿ n .M x ) — < li — 
[O , x = n.
Se pide estudiar su convergencia puntual y absoluta.
Solución.- Si x G N, entonces /„(./•) = 0 para todo n G N, y además,
£~=i/»(*) = o.
Sea x G I \ N, entonces existe un número entero N tal que N > x y para
todo ii G N, con n > N > x tenemos que
n — x
/ j )71Por eso, para números naturales mayores que N resulta que K r es el 
término general de una serie alternada. Además, el valor absoluto de es­
te término general cumple
1
 > 0
n — x
y es una sucesión decreciente. Por eso, la serie converge puntualmente a la 
función suma / (x) = 0 por el criterio de Leibniz.
Para estudiar la convergencia absoluta, tenemos las funciones:
1
. X < 11
n — X
1
X — Tí
. X > II
0 , X = V
Además, para cada x existe un número natural n{] que es mayor que x. 
Tenemos que estudiar lo que ocurre a partir de este término, es decir, si 
converge la suma
i
E — ■' n — x71=710
porque podemos calcular , /„ (./■)|, al ser una suma finita. Pero la su­
ma desde el término no no es convergente, por la misma razón que no es 
sumable la serie 7; ■ P °r tanto, la convergencia no es absoluta.
Sólo fines educativos - FreeLibros
49
Ejercicio 49. Sea X^=i fn (x ) la serie de funciones dada por
f n (x) = e - nxn.
Se pide determinar su radio de convergencia y el tipo de convergencia.
Solución.- Observamos que es una serie de potencias, y que a n = c ". Por 
eso, para determinar el radio cié convergencia, parece adecuado aplicar el 
criterio de la raíz y calcular:
lím yíKn = lím Ve~'n = lím c_1 =
n —>00 n —>00 n — >og 6
Por eso el radio de convergencia de la serie es e y la serie es una serie de tipo 
2. Esto significa que es absoluta y uniformemente convergente en cualquier 
intervalo de la forma [—A:. k\ para 0 < k < e. No sabemos qué pasa en los 
puntos x = e y x = —e. Comenzamos estudiando qué ocurre en x = e:
fn (e) = e~nen = 1,
por lo que la serie no es convergente en este punto.
En x = — e, tenemos
OO OO
/»<-*) =«- (-<=)" = (-ir, E /.(-«) = E (-1)" ■
ii = l r? = 1
que no converge ni puntual ni uniformemente.
Ejercicio 50. Sea Yl^Li fn (x ) la serie de funciones dada por
f n (x) = e r ^ x n.
Se pide determinar su radio de convergencia y el tipo de convergencia.
Solución.- La serie de funciones es una serie de potencias y a n = e <x . Va­
mos a intentar calcular el radio de convergencia con el criterio del cociente:
lím
n —>oo
Cir
Q"n—l
= lím
71—>■ OO
= lím
n — >oo
e O -1)
— 2 n + 1 
g (n — 1)^
= lím
71—>■ OO
1 1 i i
g ( n - i ) 2 g n 2 - lím
CN1
n —>oo
lím n -2n + l
= e n ¿ ( n — l ) ¿ — g ^ — Y
Sólo fines educativos - FreeLibros
50 C a p í t u l o 1 / El paso al límite
Por eso, el radio de convergencia es 1/1 = 1. Luego es una serie de tipo 2 y 
para cualquier k con 0 < k < 1, la convergencia es absoluta y uniforme en 
el intervalo [—A:, k}. Estudiamos qué ocurre para x = 1 y x = — 1:
f n ( - 1 ) = e - i P ( - 1 ) " . f > ( - 1 ) = ¿ ( - 1 ) ' ' e ~ b ,
n = 1 n = l
oo oo
f n (l) = e ~ ^ l n = e ~ ^ . ^ T / n (D = E e"
;í = 1 n = l
Para a: = — 1 tenemos una serie alternada cuyos términos tienden a 0 y es 
decreciente y, por tanto, es convergente. Para x = 1 es una serie de términos 
positivos que es convergente, lo que se demuestra sin más que aplicar el 
criterio de la raíz para series:
lím V < = lím e ÍP = 1.
?l—»oo
Además,
OO OO
£ / „ ( - ! ) = £ l / » u ) l .
h=1 n=l
por lo que en los puntos x = 1, x = — 1 converge absolutamente.
Sólo fines educativos - FreeLibros
2 F u n c i o n e s d e r i v a b l e s
En el módulo "Funciones derivables" se introduce el importantísimo con­
cepto de derivada y se establece su relación con la existencia de una apro­
ximación lineal local para la función (que, gráficamente, resulta ser la recta 
tangente a la gráfica de la función). Después se establecen las reglas básicas 
de derivación, pudiéndose observar que este proceso es, en general, senci­
llo y algorítmico. Muy pronto la derivada muestra su utilidad y gracias a la 
Regla de L'Hópital somos capaces de calcular muchos límites de forma sen­
cilla. También se consideran en este módulo dos estrategias para resolver 
numéricamente ecuaciones: Métodos de Newton y de punto fijo. Por últi­
mo, se presentan los teoremas de Rolle y del valor medio y gracias a ellos 
condiciones suficientes para el crecimiento o decrecimiento de una función 
en un intervalo.
Recuerde...
■ La recta tangente a la gráfica de una función en un punto se define a 
partir del valor de la derivada.
■ Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en ese 
punto.
■ La Regla de L'Hópital no es infalible y debe utilizarse únicamente si 
se cumplen las condiciones que lo permiten.
■ El Método de Newton tiene una interpretación geométrica que lo re­
laciona directamentecon aproximaciones utilizando rectas tangentes 
a la gráfica de la función que define la ecuación a resolver.
■ Para aplicar el Método de punto fijo a una ecuación es necesario, en 
ocasiones, reformular el problema y no hay una única forma de ha­
cerlo.
■ Los teoremas de Rolle y del valor medio son resultados que garan­
tizan la existencia de al menos un punto con ciertas propiedades sin 
informar sobre qué punto realmente es.
51
Sólo fines educativos - FreeLibros
52 CAPÍTULO 2 / Funciones derivables
Ecuación de la recta.
La recta con vector director 
(u, v) pasando por el punto 
(a. b) tiene por ecuación
v(x - a) = u (y - b).
Si u / 0, la ecuación anterior 
se puede reescribir como
y = m x + c
con m = v / u y c = b—ma. La 
constante m recibe el nom­
bre de pendiente y coincide 
con el valor de la tangente del 
ángulo que forma la recta con 
el eje x.
Si u = 0, es decir si la
recta es vertical, su ecuación 
no puede expresarse median­
te la ecuación y = m x + c 
y su ecuación es de la forma 
x = a. En ocasiones se dice 
que las rectas verticales tie­
nen pendiente infinita.
Ejercicios
Ejercicio 51. La derivada en un punto a € R de una función derivable 
/ : R —> K es:
a) Una recta tangente. b) Un número real. c) Una función.
Solución.- La derivabilidad de una función / en un punto a se establece a 
partir del límite
lím ■/’(/' + !>)- /(»)
//->o h
Si el límite anterior existe y es finito, entonces la función es derivable en 
a y su derivada es el valor del límite. Es decir, la derivada de una función 
derivable es un número real. La opción b) es la única correcta.
Ejercicio 52. Si / : R —> M es derivable en a £ R, entonces
a) La recta y = f' (a )(x — a) + f ( a ) es tangente a la gráfica de / en el punto
(a, /(a)).
b) La pendiente de la recta tangente a la gráfica de / en el punto (a, f (ai)) 
es f (a).
c) La recta x = - f'(a )(y — f ( a ) ) + a corta perpendicularmente a la gráfica 
d e / e n (a, f (a ) ) .
Solución.- Sabemos que las opciones a) y b) son correctas porque la in­
terpretación geométrica de la derivada establece que ésta coincide con la 
pendiente de la recta tangente a la gráfica de / en el punto (a ,,f(a)) , es 
decir, la recta tangente tiene por ecuación
y = f ' (a )(x - a) + f ( a ) . (2 .1)
Estudiemos la opción c). Si la recta con ecuación
x = —f'(o)(y - f ( a )) + a
cortase perpendicularmente a la gráfica de / en (a, /(«)), también debería 
cortar perpendicularmente a la recta tangente a la gráfica de / en (a, /(«)).
Sólo fines educativos - FreeLibros
Ejercicios de Cálculo para Ingenieros 53
Es decir, debería coincidir con la recta perpendicular en (a, f ( a )) a la rec­
ta dada por (2.1). Obtengamos la ecuación de esa recta y veamos si coin­
ciden. Necesitamos un punto por el que pasa, lo tenemos {a. / (a)), y un 
vector director, que será un vector perpendicular a (1, /'(«)), por ejemplo,
{ - f i a ) , 1). Por tanto, la ecuación siguiente es la de la recta perpendicular Recuerde que un vector per- 
a la gráfica de / en el punto (a, f { a )) pendicular al vector (u. v) es
a ) .
l(.r - a) = - f ' ( a ) ( y - /(«)) => .r = - f \ a ) { y - /(«)) + a.
Y la opción c) también es correcta.
Ejercicio 53. Encuentre los puntos en los que la recta tangente a la gráfica 
de la función / dada por / ( ;r) = —^ .r3 — ;r2 — 1 es paralela al eje x.
Solución.- Las rectas horizontales tienen pendiente cero porque, por ejem­
plo, (1. 0 ) es un vector director para esas rectas y se tiene rn = y = 0 .
Sabemos que la pendiente de la recta tangente en un punto (x. f { x ) ) de 
la gráfica de una función derivable / coincide con el valor de la derivada 
f ( x ) . Por lo tanto, debemos buscar los puntos en los que la derivada de / es 
nula. Derivando resulta f ( x ) = x2 — 2x, e igualando a cero, y resolviendo 
la ecuación resultante, obtenemos los puntos buscados:
—.r2 — 2x — 0 =>■ .r(.r + 2 ) = 0 => .r = 0 y x = - 2 .
Por lo tanto, los puntos déla gráfica buscados son (0. /(O)) y (—2, /(—2)). 
Es decir, (0 . - 1 ) y ( - 2 . =f).
Ejercicio 54. Calcule los puntos en los que la recta tangente a la gráfica 
de la función dada por f { x ) = — |.r;3 — x2 — 1 forma un ángulo de j 
radianes (45 grados) con el eje x (medido desde el eje a la recta en sentido 
contrario al de las agujas del reloj).
Solución.- Las rectas que forman un ángulo de | radianes con el eje x (me­
dido desde el eje a la recta en sentido contrario al de las agujas del reloj) son 
las paralelas a la bisectriz del primer cuadrante. Por lo tanto, un vector di­
rector para cualquiera de estas rectas es (1, 1) y la pendiente de cualquiera 
de ellas es m = \ = 1.
Sólo fines educativos - FreeLibros
54 CAPÍTULO 2 / Funciones derivables
Debemos buscar los puntos en los que la derivada f'(x) = - . r 2 — 2x 
toma el valor 1:
9 o - 2 ± y/4 ^ 4
—x —2x = l => x 4- 2:r + 1 = 0 =4- x = => x = — 1.
Sustituyendo
Por lo tanto, existe un único punto de la gráfica en el que la recta tan­
gente forma un ángulo de ~ radianes con el eje x. Ese punto es (—1, — |).
Ejercicio 55. De una función derivable / : R —» R se sabe que f'(x ) = 
sen(7rx)e2x ~x. Señale la afirmación correcta relativa a la recta tangente a 
la gráfica de / en (x, /(x)):
a) Nunca es paralela al eje x.
b) Para x — | es perpendicular al vector (—1.1).
c) Sólo es paralela al eje x si x = 0. d) Ninguna de las anteriores.
Solución.- La pendiente de la recta tangente a la gráfica de / en cierto pun­
to (x,/(x)) viene dada por el valor de la derivada de / en x. Si la recta 
tangente es paralela al eje x para x = c, se debe verificar f { c ) = 0. Por lo 
tanto,
sen(7rc)e2c -c = 0 =>• sen(7rc) = 0 => c = —2. —1 . 0 . 1 . 2----
Sólo fines educativos - FreeLibros
Ejercicios de Cálculo para Ingenieros 55
y existen un número infinito de puntos en los que la recta tangente es para­
lela al eje x.
Así que las únicas opciones que pueden ser válidas son b) o d). La pen­
diente de la recta tangente e n (| ,/ (^ ))e s
/'(s)=sen(Dexp(2i-í) = 1-
Por lo tanto, un vector director de la recta es (1,1) que es perpendicular Note que un vector director 
a ( — 1. 1) porque para una recta con pendiente
f ' ( a ) e s ( 1 , / ' ( « ) ) .
(1 , 1) ■ ( - 1, 1) = 1( - 1) + 1 - 1 = 0 . 
Resultando únicamente válida la opción b).
Ejercicio 56. Calcule las derivadas de las funciones dadas por
f { x ) = sen x eos x y g{x) = secx.
Solución.- Utilizando la fórmula de derivación de un producto se tiene
f'{x) = eos x eos x + sen x (— sen x) = eos2 x — sen2 x.
Otra forma de llegar al resultado anterior es recordar que
sen(2x) = 2 sen x eos x.
Por tanto, f ( x ) = | sen(2x), y derivando se tiene
f\ x ) = ^ s e n ( 2.r)^ = ^cos(2x)2 = cos(2.x).
¡Oh! ¿Hemos llegado a resultados distintos? No. Puesto que debemos 
recordar que se verifica la igualdad
cos(2x) = eos2 x — sen2 x.
(/ • g)' = /' • g + f ■ g ■
Recuerde que para c e R
(e/ )' = c f ,
y que la Regla de la cadena es­
tablece
(/ ° = (/' o,9) • 9
Pasemos a la derivada de g. Puesto que secx = ¿ ¿ y , utilizando la 
fórmula de derivación de un cociente se tiene Recuerde que
</(*) =
0 — (— sen x) sen x t g . r
e o s- x eos x eos x eos x
= sec x tg x.
Sólo fines educativos - FreeLibros
56 C a p í t u l o 2 / Funciones derivables
Recuerde que
(/ + <?)' = / '+ </'■
Puesto que sec(x) = (eos x) 1, la derivada de y también se puede calcu­
lar con la Regla de la cadena de la forma siguiente:
f /(x) = — l(cos x )-2 sen x = sec x tg x.
Ejercicio 57. Calcule la derivada de la función dada por
h(x) = sen((l + cosa:)2).
Solución.- Como hemos recordado al margen, la Regla de la cadena garantiza 
que la derivada de la composición h(x) =j'{fj{x)) es
h ' {x ) = f' (g (x ) ) -c j{x ) .
Para h(x) = scn((l + cosa:)2) tenemos que f ( x ) = sena: y g{x) = (1 + 
eos a )2. Por lo tanto,
h'{x) = f { g { x ) ) ■ g'{x) = cos(g(x)) ■ g'(x) = cos((l + cosx)2) • g'(x). (2 .2)
Solamente resta calcular la derivada de g(x) = (1 + co sx )2. Se trata de
la composición de u(x) = 1 + cosx con v(x) = a:2, esto es, g(x) = v(u(x)).
Utilizando la Regla de la cadena y la fórmula de derivación de una suma
g'{x) = v'(a(x)) ■ u (x) = 2u(x) ■ ur(x) = 2(1 + cosa:) • (— senx).
Sustituyendo el valor de g'(x) en (2.2) se tiene
//(.r) = cos( (1 + cosa:)2) • g'{x)
= cos((l + cosa:)2) • 2(1 + cosx) • (—senx)
= —2senx (1 + cosx) cos((l + cosx)2).
Ejercicio 58. Calcule la derivada de la función dada por
f ( x ) = sen(e:zr + (x + 1) Inx2).
Solución.- La función f es de la forma sen(y(x)) con g(x) = ex + (x +
1) ln x2. Utilizando la Regla de la cadena
f'(x) = coso r + (,:r + 1) ln x2) ■ (rj/J + (x + 1) ln.r2)'.
Sólo fines educativos - FreeLibros
Ejercicios de Cálculo para Ingenieros 57
Por otro lado, debido a las propiedades aritméticas de la derivada y a 
la Regla de la cadena
O V»
( e '1'2 + (x + 1) l n x 2 )' = 2x e x¿ + l u x 2 + (x + 1 ) - ^
x -
2 2 
= 2x 6 -h ln x y 2 y —.
x
Por lo tanto, la derivada buscada es
O
/;(x) = cos(eJ'2 + (x + 1) ln x 2) ( 2 x e :l’2 + lnx2 + 2 y— ).
x
Nótese que el dominio de la función / es R \ {()} porque ln no está de­
finido en ( —oo, 0]. El dominio de f también es M \ {()}.
Ejercicio 59. Compare el dominio de las funciones dadas por
f ( x ) = \J'2 + tyx y g(x) = eP+Ñ
con el de las funciones dadas por las expresiones que se obtienen al apli­
car las reglas de derivación a f ( x ) y g(x).
Represente gráficamente / y g utilizando Maxima.
Solución.- Como {j/x está definido para todo x t M, el dominio de / es­
tará formado por todos los números reales salvo los que verifiquen
2 • x x 0 <==> x < - 8 .
Es decir, el dominio de f es dorn(f) = [—8 , oc).
Derivando resulta
/vi=(v^ py=vj
1 1 1
2^/2 + 3 \f/* 6(\/2 + v/x )(v /x^)
El dominio de la función dada por f { x ) está formado todos los puntos 
del dominio de / salvo en los que no esté definida f ' { x ) . En este caso, pues­
to que el denominador de la expresión f '(x) se anula únicamente en x = 0
y x = —8, se tiene d o r n ( f ) = (—8 . 0) U (0. x c ).
Recuerde que A \ B denota 
ia resta entre los conjuntos .4 
y B, esto es, el conjunto for­
mado por los elementos de A 
que no pertenecen a B. Esta 
resta conjuntista también se 
denota como A — B cuando 
no existe confusión.
Sólo fines educativos - FreeLibros
58 C a p í t u l o 2 / Funciones derivables
En el caso de la función g, su dominio es dom(g) = R \ { — 1} porque en
x = — 1 se anula el denominador de - t t •£ + 1
Utilizando la Regla de la cadena y la fórmula de derivación para un co­
ciente
x
n \ x m - i - x + l - x e x+ig (x ) = i: ‘ -i ( ) = e '-+1
x + 1 (./■ -f- 1) (.r + 1)
y el dominio de g' coincide con el dominio de g.
En elblog h t t p : //c a lc u lo p a r a in g e n ie r o s . w o rd p ress . com en­
contrará cómo realizar la representación gráfica con Maxima.
Ejercicio 60. Señale la derivada de la función dada por h.(x) = cotg x'
 Qo■» 2 1 O 2
a) t í(x ) = b ) t i ( x ) = - ^ - . c ) t i(x ) =
3
sen2 x 3 sen2 x 3 ' ' sen x
Solución.- Recordando que
eos x
cotg x = ------
sen x
y aplicando la regla de derivación de un cociente se tiene
— sen x sen x — eos x eos x — 1
(cotg x)' =
sen2 x sen2 x
Aplicando ahora la Regla de la cadena a la función h,
h'(x) = ^ - < x :iy =
sen"1 sen'" x
Por lo tanto la opción válida es la a)
Ejercicio 61. De la función g se sabe que es derivable en todo R y además 
verifica que
<?(1) = 2 y </(()) = 4.
Para a -- 1 y a — 0, calcule el valor de /'(O) para la función / dada por
f ( x ) = g{xa -g( 1)).
Solución.- Aunque puede parecer que no tenemos datos suficientes para 
calcular el valor de la derivada solicitada, no es así.
Sólo fines educativos - FreeLibros
Ejercicios de Cálculo para Ingenieros 59
En el caso a = 1, en la expresión que define a f ( x ) intervienen g que 
sabemos que es derivable, la función identidad, y el valor 3 (1) que será un 
número concreto. Por lo tanto, aplicando la Regla de ¡a cadena y la fórmula 
de derivación para un producto tenemos que
f { x ) = 9 (y '//(I)) ' (x-ff( l )) ' = </(x-y( 1)) ■ 5(1).
Sustituyendo,
/'(O) = g (0 • 5 (1)) • 5 (1) = y(0) • 5 (1) = 4 • 2 = 8 .
En el caso a = 0, se tiene
f { x ) = g(x° ■ 5 ( 1)) = 5(5(1)) = 5 (2 ).
Por lo tanto, en ese caso / es constante, aunque no conozcamos el va­
lor de 5 (2 ) será un número concreto, y su derivada es 0 en todo punto.
Ejercicio 62. Calcule el dominio y la derivada de función dada por
f ( x ) = árceos y / x .
Solución.- La función arcocoseno asigna a cada valor x un ángulo a tal que 
eos a = x, esto es, se trata de la función inversa de la función coseno. Como 
el coseno solamente toma valores entre — 1 y 1, el dominio de la función 
arcocoseno es [—1, 1]. Y el dominio de la función del enunciado es [0 , 1] 
porque para que y'v pertenezca a [ - 1. 1] debe ocurrir que x pertenezca a 
[0,1].
Al ser eos x y are eos x funciones inversas una de la otra, se verifica la 
igualdad
are eos (eos x ) = x.
Derivando ambos miembros de la igualdad y utilizando la Regla de la 
cadena en el primero de ellos se tiene
arccos/(cosa:)(—senx) = 1 => are eos7 (eos x) = -------
sen.r
- 1=> árceos eos .r = .
y/l - eos2 x
Si denotamos y = eos.r, obtenemos la fórmula de la derivada de la 
función arco coseno
arccos^y) = —,
E ?
Note que el valor de are eos r 
no está unívocamente defini­
do, es decir, para cada x € 
[—1.1] existen varios o ta­
les que eos a = x. Para que 
are eos x defina una función 
debemos determinar un úni­
co a para cada x £ [—1,1], 
si no se indica lo contrario to­
maremos a 6 [—f , f ]• Es de­
cir,
árceos : [ - l . ! M [ - | , | ]
y
eos: [ - J . j M M - l ]
son funciones inversas.
Sólo fines educativos - FreeLibros
60 C a p í t u l o 2 / Funciones derivables
Utilizando la derivada del arcocoseno que acabamos de calcular y la 
Regla de la cadena se tiene
/ V ) = -r ~ 1 =- (n/^)/ = -7 = = ^ = , /— — 2 -
Ejercicio 63. Señale si es correcta la afirmación relativa a / : [0 , 1] -a R 
con / derivable en (0 , 1).
Si í lím f { x ) ) í lím f ( x ) ) < 0, entonces la ecuación f ( x ) = 0 tiene solu-
\ «T ^0 + J \ X ^1 J
ción en [0 , 1].
Solución.- Puesto que / es derivable en (0 ,1) , tenemos que / es continua 
en (0,1). Para verificar la afirmación es suficiente utilizar el Teorema de 
Bolzano en [U 1 — para n suficientemente grande.
Efectivamente, como lím f ( x ) lím f (x )\ < 0 existirá un n € N
\x—>0+ ' ) \ x^ \ - J
tal que
/ ( - ) • / ( i - - ) < on n
y el Teorema de Bolzano garantiza la existencia de un c
tal que f ( c ) = 0 .
Ejercicio 64. Señale el valor de la derivada de la función inversa de / 
dada por f ( x ) — x 5 + x3 + x en el punto y — 3:
( r ' r m =
Solución.- La función f ( x ) = x5 + x 3, + x tiene inversa f ~ ¡ definida en 
todo M puesto que tiende a — x y oo en - x y x respectivamente, y / es 
estrictamente creciente ya que
f'(x) = n.r4 + 3:r2 + 1 > 0. V.r E M.
Sólo fines educativos - FreeLibros
Ejercicios de Cálculo para Ingenieros 61
Derivando la igualdad / 1 ( f (x ) ) = x se tiene
( r 1 ) '(/ ( , '■ ) ) ./ > ) = i ,
que implica:
( . r i ), ( / ( . r ) ) = 15x4 + 3.r2 + 1
Buscamos el valor de ( f ~ 1)'(3). Así que debemos encontrar el valor de 
x tal que
f ( x ) = .r5 + x 3 + x = 3.
Y es evidente que el