b. ¿Para qué valores reales de k el segmento que une los puntos M=(5;1) y P=(k;1) mide 3 unidades de longitud? O enunciado apresenta um problema d...

Solução do problema de geometria analítica:

Problema:

Para quais valores reais de k o segmento que une os pontos M=(5;1) e P=(k;1) mede 3 unidades de comprimento?

Resolução:

2. Calculamos a distância entre os pontos M e P:

Utilizamos a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano:

Distância = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

Substituindo as coordenadas dos pontos M e P, obtemos:

Distância = √((k - 5)² + (1 - 1)²)

Distância = √(k² - 10k + 25)

2. Igualamos a distância a 3 unidades:

Sabemos que a distância entre os pontos M e P deve ser de 3 unidades. Logo, podemos escrever a seguinte equação:

√(k² - 10k + 25) = 3

2. Elevamos ambos os lados da equação ao quadrado:

Para eliminar a raiz quadrada, elevamos ambos os lados da equação ao quadrado.

k² - 10k + 25 = 9

2. Reorganizamos a equação para a forma padrão:

Subtraímos 9 de ambos os lados da equação e reorganizamos os termos para obter uma equação quadrática:

k² - 10k + 16 = 0

2. Encontramos as raízes da equação quadrática:

Utilizamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da equação:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Substituindo os coeficientes da nossa equação (a = 1, b = -10 e c = 16), obtemos:

k = (10 ± √(100 - 64)) / 2

k = (10 ± √36) / 2

k = (10 ± 6) / 2

As soluções da equação são:

k₁ = 8

k₂ = 2

2. Interpretamos os resultados:

Os valores de k que satisfazem a equação k² - 10k + 16 = 0 são k = 8 e k = 2.

Portanto, o segmento MP mede 3 unidades de comprimento quando k = 8 ou k = 2.

Observações:

• A equação k² - 10k + 16 = 0 pode ser fatorada como (k - 8)(k - 2) = 0. As raízes da equação são os valores de k que fazem com que um dos fatores seja igual a zero.
• O problema pode ser resolvido graficamente, plotando os pontos M e P no plano cartesiano e encontrando a equação da reta que passa por esses pontos. A interseção da reta com o eixo x fornecerá os valores de k para os quais a distância entre os pontos M e P é de 3 unidades.