Caso 4. La función de utilidad hipotética de un consumidor, con un horizonte de dos períodos, es la siguiente: U = (c1 + 1000)·(c2 + 2000), donde c1 y c2 representan los gastos de cada período. Las rentas del consumidor son: y1 = 10000, y2 = 9000 unidades monetarias. El tipo de interés es del 10%. Determinar el plan de gastos del consumidor en los dos ejercicios económicos, empleando diversos procedimientos. Solución: a) Resolviéndolo inicialmente por el método de los multiplicadores de Lagrange, se tiene la función lagrangiana a optimizar: V = (c1 + 1000)·(c2 + 2000) +  (10000 – c1) + (9000 – c2) 1.1-1. Así pues, maximizaremos la función de utilidad con la restricción determinada por la “ecuación de balance”, que nos indica que la cantidad que el consumidor gasta en el primer período más la que gasta en el 2º período es igual a su renta. De tal suerte, el consumidor debe encontrar la combinación de gastos que maximice la utilidad (Henderson y Quandt, 1968). - Condición necesaria o de primer grado: Resolviendo resulta:  = 11550; c1 = 9500 u. m. y c2 = 9550 u. m. Con ello: U = (10550)  (11550) = 121 275 000 u. m. - Condición suficiente o de segundo grado: ; ; ; ; ; formando el hessiano orlado relevante, resulta: , luego se trata de un MÁXIMO. Veamos la representación gráfica correspondiente: Curva de indiferencia y ecuación de balance. En la siguiente figura puede verse, con mayor detalle, el punto de intersección entre la curva de indiferencia y la ecuación de balance, que nos determina los valores óptimos buscados, esto es: 0V "c2 1  0V "c2 2  1V "c c