una función? El concepto de función es una de las ideas fundamentales en matemáticas. Una función es un tipo especial de relación de entrada-salida que expresa cómo una cantidad (la salida) depende de otra (la entrada). Los ejemplos siguientes aclaran esta idea: Ejemplos: 1. El área de un círculo depende de la longitud de su radio; si se conoce la longitud del radio, podemos determinar el área. 2. El costo de producir cualquier artículo depende del número de artículos producidos. 3. El poder adquisitivo de la moneda depende del índice del costo de la vida. 4. Cuando se invierte dinero a alguna tasa de interés. El interés depende del tiempo que el dinero esté invertido. Definición: Sean A y B conjuntos no vacíos y f una relación de A a B, entonces f es una función de A en B, si y sólo si a cada elemento de A, le hace corresponder un y sólo un elemento de B. Ejemplo (10): f = { ( a , r ) , ( b , m ) , ( c , p ) , ( d , r ) } OBSERVACION: Notación: A f B ( o, f : A B ). Regla de correspondencia : y = f (x) Se lee “ y igual a f de x ” y se dice “ y es la imagen de x por f ” o “f envía a x en y ” o “ f transforma a x en y ”. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL: Se llama función real de variable real a toda función definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto IR de los números reales, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y sólo un elemento y de IR: IRD:f → a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B. Así, por ejemplo, la función definida por: IRIR:f → Asigna a cada número real su cuadrado. Tiene por conjunto origen todos los números reales, pues dado cualquier número real x, siempre es posible calcular su cuadrado, siendo el resultado otro número real. Y tiene por conjunto imagen todos los números reales no negativos. La regla de asignación es “dado cualquier número real x, calcular su cuadrado para obtener la imagen “. Maneras intuitivas de diagramar funciones son las siguientes: Diagramas de funciones (A = X, B = Y). En los anteriores diagramas, f en el (a) puede interpretarse como una “máquina” que actuando sobre cada x lo transforma en su correspondiente f(x): notablemente de ella, en principio, no es necesario conocer sus componentes ni cómo opera, es una “caja negra”; en (b) y (c) se muestra a cada x en cuál y lo envía f. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA: f es una función si y solo si cualquier recta perpendicular al eje X corta a la gráfica de f en un solo punto. EJEMPLOS: 1. Hallar el dominio de la función f definida por 2x 1 f(x) = . Solución: La función anterior asigna a cada número x, el valor 2 1 x . El dominio está formado por todos los números reales x, para los que su imagen está definida mediante la función f. La expresión 2x 1 esta definida para todos los números reales, salvo para aquellos que anulen el denominador, puesto que la expresión 0 1 no es un número real. El denominador x - 2 es cero cuando x = 2. Por tanto, el campo de existencia de la función es IR - {2}. Su representación mediante intervalos es D = (-∞ , 2) ∪ (2, +∞ ). 2. Hallar el dominio de la función g(x) = 9x2 − . Solución: La expresión 9x2 − esta definida cuando la cantidad bajo el signo de la raíz es mayor o igual a cero, puesto que las raíces cuadradas de los números negativos no tienen sentido en el conjunto de los números reales. Por tanto, se trata de hallar que valores de x hacen que .09x2 − Factorizando, se tiene: 03)3)(x(x +− . Resolviendo la inecuación se tiene el conjunto solución: D = (-∞ , -3) ∪ (3, +∞ ). 3. Dada la función definida por 2x 1 f(x) 2 + = . Hallar la imagen de los números: -3, 0, 3. ¿Cuál es su dominio de definición? ¿Hay algún número que se transforme en el 0? Solución: Evaluamos la función en los valores de x dados, 11 1 23)( 1 3)f( 2 = +− =− ; 2 1 f(0) = ; 11 1 2(3) 1 f(3) 2 = + = . Ahora, Calculamos el dominio: El denominador nunca se hace cero, ya que x 2 + 2 > 0 para cualquier valor de x. Si fuese x 2 + 2 < 0, entonces 22 +x no existiría y por tanto la función no estaría definida en esos puntos, pero x 2 + 2 > 0. Por tanto, el dominio es todo IR. Para responder a la pregunta siguiente, hay que estudiar si existe algún número x, tal que f(x) = 0. Si 0 2 1 2 = +x , entonces 1 = 0, lo cual es un absurdo. Por tanto, el 0 no es imagen de ningún número. Hallar el dominio de las siguientes funciones: a) F(x) = x3 - 4x + 2 b) 52 1 )( 2 − + = x x xf c) xxf 28)( −= d) 1 12 )( 2 − + = x x xf e) 34)( 2 +−= xxxf f) f(x) = 12 −x g) 3)( += xxf h) f(x)= 257 2 +− xx i) 1 )( + = x x xf FUNCIONES ELEMENTALES DE IR EN IR::: 1. FUNCIÓN CONSTANTE: La función constante tiene como regla de correspondencia: f (x) = k ; k ∈ IR Dom (f) = IR; Ran (f) = {k}. La gráfica de esta función es una línea horizontal paralela al eje X. Y y = k X Ejemplo (5): Graficar la función, y = 2. Solución: Cuando la abscisa aumenta 1, la ordenada no aumenta ni disminuye. Lo mismo ocurre cuando la abscisa aumenta 2, 3,... etc. EJERCICIOS PROPUESTOS k 0 2. FUNCIÓN IDENTIDAD: La función identidad tiene como regla de correspondencia: f ( x ) = x Dom (f) = IR; Ran (f) = IR. Su gráfica es: 3. FUNCIÓN LINEAL: La función lineal tiene como regla de correspondencia: f ( x ) = a x + b ; a ≠ 0 Dom (f) = IR; Ran (f) = IR. Ejemplo (6): Graficar la función, y = x - 4 Solución: Cuando la abscisa aumenta 1, la ordenada aumenta 1; si la abscisa aumenta 2, la ordenada aumenta 2; etc. 4. FUNCION RAIZ CUADRADA: Definición: La regla de correspondencia de la función raíz cuadrada es: f( x ) = x Dom (f) = [0; + ∞ ), Ran (f) = [0; + ∞ ). f es estrictamente creciente. Las curvas de ecuación: y = x 2 e y = x , x≥ 0, son simétricas con respecto a la recta de ecuación: y = x. x y -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 f(x) = x Esta función asigna a cada valor real de entrada, el mismo valor como salida. A continuación, presentamos las gráficas de las funciones: y = x ; y = x 2 ; y = x 5. FUNCION RAIZ CUBICA: Definición: La regla de correspondencia de la función raíz cúbica es: f ( x ) = 3 x . Dom (f) = IR ; Ran (f) = IR. f es simétr