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1.56. ¿Cuáles de los siguientes vectores son vectores unitarios? a) 150 (3, 4, 5) ∣∣∣∣∣∣∣∣ 150(3, 4, 5) ∣∣∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣∣∣( 350 , 450 , 550 )∣∣∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣∣∣( 350 , 225 , 110 )∣∣∣∣∣∣∣∣ = √( 3 50 , 2 25 , 1 10 ) · ( 3 50 , 2 25 , 1 10 ) = √( 3 50 )2 + ( 2 25 )2 + ( 1 10 )2 = √ 32 502 + 22 252 + 1 102 = √ 1 50 = √ 2 10 ̸= 1 Por lo tanto, 150 (3, 4, 5) es un vector unitario. b) −U si U lo es Si U = (u1, ..., un) es un vector unitario, entonces ||U || = √ (u1, ..., un) · (u1, ..., un) = 1 || − U || = √ (−u1, ...,−un) · (−u1, ...,−un) = √ u21 + ...+ u 2 n = 1. c) (−u1, u2,−u3, u4,−u5, u6), si U = (u1, u2, u3, u4, u5, u6) lo es. Si U , es un vector unitario, entonces cumple lo siguiente: ||(u1, u2, u3, u4, u5, u6)|| = √ (u1)2 + u22 + (u3) 2 + u24 + (u5) 2 + u26 = 1. Entonces (−u1, u2,−u3, u4,−u5, u6) es un vector unitario, comprobemos que en realidad se cumple, entonces: ||(−u1, u2,−u3, u4,−u5, u6)|| = √ (−u1, u2,−u3, u4,−u5, u6) · (−u1, u2,−u3, u4,−u5, u6) = √ (−u1)2 + u22 + (−u3)2 + u24 + (−u5)2 + u26 = √ u21 + u 2 2 + u 2 3 + u 2 4 + u 2 5 + u 2 6 = 1 Por lo tanto, (−u1, u2,−u3, u4,−u5, u6) es un vector unitario. 1 d) 13 (1,− √ 2, √ 3,− √ 3)∣∣∣∣∣∣∣∣13(1,−√2,√3,−√3) ∣∣∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣ ( 1 3 , − √ 2 3 , √ 3 3 , − √ 3 3 )∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣ = √√√√(1 3 , − √ 2 3 , √ 3 3 , − √ 3 3 ) · ( 1 3 , − √ 2 3 , √ 3 3 , − √ 3 3 ) = √√√√(1 3 )2 + ( − √ 2 3 )2 + (√ 3 3 )2 + ( − √ 3 3 )2 = √ 1 9 + 2 9 + 3 9 + 3 9 = √ 1 = 1 Por lo tanto, 13 (1,− √ 2, √ 3,− √ 3) es un vector unitario. 2