1.67 Utilice la desigualdad del triángulo como sea necesario para demostrar las siguientes desigualdades, donde a y b son números y X e Y son vectores en Rn. a) |a| |a b| |b|, b)b) |a| |b| |a b|, c)..

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1.67. Utilice la desigualdad del triángulo como sea necesario para demostrar las siguientes desigualdades,
donde a y b son números y X e Y son vectores en Rn.
a) |a| ≤ |a− b|+ |b|
Utilizando la desigualdad del triangulo, tenemos que ||U − V ||2 = ||U ||2 + ||V ||2 − 2U · V , entonces:
||a− b||2 = ||a||2 + ||b||2 − 2a · b
como U · V ≤ ||U ||||V ||, entonces:
||a||2 + ||b||2 − 2||a|| ||b|| ≤ ||a||2 + ||b||2 − 2a · b
(||a|| − ||b||)2 ≤ ||a− b||2
||a|| − ||b|| ≤ ||a− b||
=⇒ ||a|| ≤ ||a− b||+ ||b||
como ||a|| =
√
a2 = |a|, entonces:
||a|| ≤ ||a− b||+ ||b|| = |a| ≤ |a− b|+ |b|
∴ |a| ≤ |a− b|+ |b|
b) |a| − |b| ≤ |a− b|
||a− b||2 = ||a||2 + ||b||2 − 2a · b
||a||2 + ||b||2 − 2||a|| ||b|| ≤ ||a||2 + ||b||2 − 2a · b
(||a|| − ||b||)2 ≤ ||a− b||2
||a|| − ||b|| ≤ ||a− b||
|a| − |b| ≤ |a− b|
c) ||a| − |b|| ≤ |a− b|
Partimos de:
|| |a| − |b| ||2 = || |a| ||2 + || |b| ||2 − 2|a| |b|
como || |a| || =
√
|a|2 = ||a|| = |a| , entonces nosotros podemos reescribir la expresión anterior
| |a| − |b| |2 = |a|2 + |b|2 − 2|a| |b|
| |a| − |b| |2 = (|a| − |b|)2
||a| − |b|| = |a| − |b|
por inciso b) tenemos que |a| − |b| ≤ |a− b|
=⇒ ||a| − |b|| = |a| − |b| ≤ |a− b|
∴ ||a| − |b|| ≤ |a− b|
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d) |||X|| − ||Y ||| ≤ ||X − Y ||
||X − Y ||2 = ||X||2 + ||Y ||2 − 2X · Y
como U · V ≤ ||U ||||V ||, entonces:
||X||2 + ||Y ||2 − 2||X|| ||Y || ≤ ||X||2 + ||Y ||2 − 2X · Y
(||X|| − ||Y ||)2 ≤ ||X − Y ||2
||X|| − ||Y || ≤ ||X − Y ||
como ||X|| − ||Y || = |||X|| − ||Y |||, entonces:
|||X|| − ||Y ||| ≤ ||X − Y ||
∴ |||X|| − ||Y ||| ≤ ||X − Y ||
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