El sistema numeral

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Números Naturales. 
 
 
 
Concepto de números naturales 
 
Son todos aquellos números que sirven para contar y pertenecen al 
conjunto de los números reales. 
 
REALES: 
 Racionales.- Se dividen en Enteros y Fraccionarios. 
Los Enteros son.- Naturales o números positivos y a su vez se 
dividen en ordinales, cardinales y primos. 
 
 Irracionales. Por ejemplo: Π , . 
Características de números Naturales.- para contar nos ayudan a 
establecer la cardinalidad de los conjuntos (el número de 
elementos que tienen) 
Por ejemplo: 
 n(1º. B) = 36 
Los números naturales son infinitos puesto que siempre es posible 
agregar un numero más. 
Los números naturales establecen una correspondencia biunivoca 
(de uno) con los elementos de un conjunto. Por ejemplo: 
B u e y 
↓ ↓ ↓ ↓ 
1 2 3 4 
 
Clasificación de números naturales 
 
a) Números cardinales.- son aquellas que nos establecen cuantos 
elementos tienen un conjunto. 
Z={ a, e, i, o, u} 
 n(z)= 5 
b) Números ordinales.- son aquellos números que nos ayudan 
establecer el orden de los elementos de un conjunto. 
1º. a 
2º. e 
3º. i 
4º. o 
5º. u 
 
1º. Primero 20º. Vigésimo 
2º. Segundo 30º. Trigésimo 
3º. Tercero 40º. Cuadragésimo 
4º. Cuarto 50º. Quincuagésimo 
5º. Quinto 60º. Sexagésimo 
6º. Sexto 70º. Septuagésimo 
7º. Séptimo 80º. Octogésimo 
8º. Octavo 90º. Nonagésimo 
9º. Noveno 100º. Centésimo 
10º. Décimo 
 
Ejemplo: 42º. Cuadragésimo segundo. 
 
 
c) Números primos: son aquellos que solamente se pueden dividir 
entre sí mismos y la unidad en forma exacta. 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … 
 
Lectura y escritura de números naturales: 
 
Para llevar a cabo la lectura y escritura de los números naturales 
debemos tener en cuenta la posición. 
 V IV III II I 
 ABC ABC ABC ABC ABC 
Billones miles de millones miles cientos 
 Millones 
 
34,214,234,678,212 Treinta y cuatro billones, doscientos catorce 
mil, doscientos treinta y cuatro millones, seiscientos setenta y ocho 
mil, doscientos doce. 
Ejercicio: Escribe los números que representan los siguientes 
símbolos. 
a) 34, 676, 543, 214= treinta y cuatro mil seiscientos setenta y seis 
millones, quinientos cuarenta y tres mil, doscientos catorce. 
b) 2, 431, 567, 432, 167= dos billones, cuatrocientos treinta y un 
mil, quinientos setenta y siete millones, cuatrocientos treinta y 
dos mil, ciento sesenta y siete. 
c) 2, 432, 167, 832, 146= dos billones, cuatrocientos treinta y dos 
mil, ciento sesenta y siete millones, ochocientos treinta y dos 
mil, ciento cuarenta y seis. 
d) 432, 567, 893, 467= cuatrocientos treinta y dos mil, quinientos 
sesenta y siete millones, ochocientos noventa y tres mil, 
cuatrocientos sesenta y siete. 
e) 134, 034, 678, 901= ciento treinta y cuatro mil, treinta y cuatro 
millones, seiscientos setenta y ocho mil, novecientos uno. 
 
Escribe los símbolos de los siguientes números: 
 
Veinticuatro billones, ochocientos doce mil cuatrocientos catorce 
millones, doscientos doce mil, catorce = 24,812, 414, 212, 014 
 
Cuatro mil doscientos dieciséis millones, ochocientos catorce mil 
doscientos uno = 4, 216, 814, 201 
 
Novecientos noventa y un mil, doscientos doce millones uno = 
991, 212, 000, 001 
 
Ciento cuarenta y tres mil, doscientos dieciséis billones, dos mil 
trescientos catorce millones, cuatro = 143, 216, 002, 314, 000, 004 
 
Cuatro trillones, doscientos quince mil un billón, ciento dieciséis 
mil catorce millones, trescientos doce = 
4, 215, 001, 116, 014, 000, 312. 
 
 
Conjunto de los números negativos. 
 
Pertenecen al grupo de los números reales y están dentro de los 
números racionales. En la recta numérica están a la izquierda del 
cero. 
 Enteros { Positivos(naturales) 
 Racionales Negativos 
 Fraccionarios 
 
Reales 
 
 Irracionales 
 
Utilidad de los números negativos: dentro de las utilidades que 
tienen estos números es que nos sirven para representar.- 
• Temperaturas 
• Latitudes 
• Latitudes bajo el ecuador 
• Tiempo 
• Deudas 
• Longitudes bajo el nivel del mar. Etc. 
Y como anteriormente se ha mencionado, este se encuentra a la 
izquierda de la recta numérica del cero y es infinita. 
Negativos 
| | | | | | | 
 -2 -1 0 1 2 
 
Además los números positivos y negativos nos ayudan a 
determinar escalas de medición.
Estas pueden ser de dos formas: 
a) Escalas de medición absoluta.- son aquellas en las que el punto 
de partida es el cero aunque la unidad de medida sea arbitraria, 
es decir, son aquellas que tienen cero en forma natural. 
Ejemplo: metro, litro, kilo, gramo, etc. 
b) Escalas de medición relativas.- son aquellas en las que tanto el 
cero como el origen se escriben de manera arbitraria. En estas 
escalas se establecen tres criterios: 
1. Tiene un punto de referencia al que generalmente se le asigna 
el cero. 
2. La unidad de medida es arbitraria. 
3. El sentido de la medición es arbitrario. 
Ejemplo: 
• Temperatura 
• Latitudes sobre o bajo cero. 
• Unidades de tiempo. 
• Contaminación. 
• Escalas para medir temblores. 
Ejercicio: escribe en los siguientes ejemplos cual escala es relativa 
y cual es absoluta. 
a) Latitud terrestre (absoluta) 
b) 50 años antes de Iliana (relativa) 
c) El peso de Ricardo (absoluta) 
d) La altura de Angélica(absoluta) 
e) 3° bajo cero (relativa) 
f) 300 años después de Zubieta (relativa) 
g) Areas (absoluta) 
h) 30° bajo Ximena (relativa) 
i) La estatura de Silvia (absoluta) 
j) La distancia de México a Tangamandapio (absoluta) 
k) La longitud de la nave espacial Atlas1. Atlante2 (absoluta) 
 
Números primos. 
 
Son aquellos divisibles solamente entre sí mismos y la unidad en 
forma exacta. 
Ejemplos: 2,3,5,7… 
 
Ejercicio: Enlista los números primos que hay entre el 1 -100. 
1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,57,59,61,67,71, 
73,79,83,87,89,91,97. 
 
Conjunto de los números racionales. 
Estos números racionales abarcan a los números enteros y a los 
fraccionarios de la siguiente manera: 
 enteros naturales 
 Racionales negativos 
Reales fraccionarios comunes 
 decimales 
 Irracionales 
 
Esta unidad abarca a todos los números racionales, fraccionarios, 
por lo que definiremos que es un numero racional. 
Concepto de numero racional: Es un numero de la forma a/b en 
donde b es diferente de cero por lo que todo numero racional esta 
compuesto de dos elementos.- 
- Numerador.- que nos indica cuantas partes se tomaron de un 
entero. 
- Denominador.- que nos indica en cuantas partes se dividió el 
entero. 
→
→
b
a Numerador 
Denominador 
¾, 2/1, ½ 
 
Análisis de números racionales. 
El conjunto de los números racionales contiene a los números 
naturales por lo tanto estos se pueden representar en forma de 
fracciones. Racional fracción 
Natural 3= 
→
→
1
3 
 Todos los números naturales y negativos enteros 
tienen al uno como denominador. 
Clasificación de fracciones. 
a) Comunes. 
1. Fracción común propia.- es un racional de la forma a/b en donde 
a es menor que b, por lo que se dice que una fracción propia no 
ocupa un entero. 
Ejemplo: a/b a<b ½ 
 
 = 1 
¾, 5/6, 7/9, ½ 
 
2. Fracción común impropia.- es un numero racional de la forma 
a/b en donde a es mayor o igual que b. 
Por lo tanto estas fracciones ocuparan mas de un entero. 
a/b a>b impropia 3/2. Mas de un entero 
 
 
5/2, 3/2, 5/4, 8/6, 9/3 
3. Fracción común mixta.- es aquel racional que proviene de una 
fracción impropia de la siguiente manera: 
Conversión de fracción impropia a mixta. 
5/2 impropia 2 ½ mixta 
 entero 
2
2
1
5 numerador 
 nuevo numerador 
Conversión de fracción mixta a impropia. 
Mixta 3 4/7 = 25/7 impropia 
 
7
3
04
25 comprobación 3x7+4 = 25 
b) Decimales. 
1. Fracción decimal.- son aquellas que tienen como denominador 
al numero diez o potencias de diez yse pueden representar de 
dos formas: 
De forma decimal De forma de fracción 
0.18 18/100 
0.052 52/1000 
0.214 214/1000 
3.18 318/100 
 
Para realizar una representación de forma decimal o fracción 
debemos de tomar en cuenta si es un decimal puro o periódico. 
Decimal puro.- proviene de una división exacta, para convertirlo a 
fracción bastara co clocar 10 en el numerador sin ceros y en el 
denominador será el numero 1 y tantos ceros como posiciones se 
recorrieron a la derecha en el punto decimal. 
Decimal puro 0. 18=18/100 
 0.75 = 75/100 
Decimales periódicos.- son aquellos que marcan un periodo 
repetitivo (divisiones no exactas). Para convertirlos a fracción 
bastara con colocar como numerador al numero sin ceros y como 
denominador tantos nueves como posiciones a la derecha se hayan 
recorrido. 
0.33333..∝ 0. =3/9 periódico 
−
3
 9
...333.0
00030
0030
030
0000.3 
 
0 =0.0152,0.01542… 
_______
0152..
0.0152=
9999
152 
Decimal combinados(puros y periódicos). - la parte decimal pura 
se representa en fracción como se vio anteriormente. 
La parte decimal periódica se forma colocando en le denominador 
tantos nueves como elementos en el periodo se tengan y ceros para 
completar las posiciones. 
0.2 = 0.215151515… 
__
15
0.2
990
213
990
15198
990
15
10
215
__
=
+
=+= 
 
 complemento posición Común denominador 
Ejercicio: elabora las siguientes conversiones 
a) convierte de fracción impropia a mixta o viceversa según sea el 
caso: 
3/2 = 1 ½ 120/3 = 40 
18/7 = 2 4/7 181/13 =13 12/13 
5 2/6 = 32/6 361/42 = 8 25/42 
7 2/5 =37/5 131/15 = 8 11/15 
10 3/5 =53/5 6 12/72 = 444/72 
 
b)De fracción a decimal indicando si es puro, periódico o una 
combinación. 
 
 
 
 
 
3/5 = 0.6 puro 8/12= periódico 
__
6.
6/7 = . periódico 
_______
857142 1/8 = .125 puro 
8/10 = 0.8 puro 7/16 = .4375 puro 
3/15 =.2 puro 3/9 = periódico 
_
3.
7/9 = periódico 
__
7. 2/3= periódico 
_
6.
 
c) Convierte de decimal a fracción. 
 
0 = 12/99 
___
12.
0.314= 314/1000 
0.15 = 15/100+4/990 =(135+4)/900 =139/900 
_
4
0.18 =18/100+2/900=(162+2)/900=164/900 
_
2
0.1 = 1/10+34/990 = (99 +34)/990 =133/990 
__
34
0.2 = 2/10+14/990 =(198+14)/990= 212/990 
__
14
0. =3/10+15/990 =(297+15)/990= 312/990 
___
315
0.12 = 12/100 +11/9900 =1199/9900 
__
11
0.123 =123/1000+1/9000 =(1107+1)/9000=1108/9000 
_
1
0.31 =31/100+412/99900=31381/99900 
___
412
 
Escritura de números decimales. 
Se debe tener en cuenta la posición que guardan los decimales sin 
olvidar que a los enteros se les debe colocar la palabra enteros en 
la escritura, por lo que a partir del punto decimal, y hacia la 
derecha se nombraran como sigue: 
 
ENTEROS.decimos, centésimos, milésimos, diez milésimos, cien 
milésimos, millonésimo, diez millonésimo, cien millonésimo, mil 
millonésimo. 
Ejemplo: 14.15 Catorce enteros quince centésimos. 
Ejercicio: Observa la posición de cada cifra y anota con letra los 
siguientes números sin abreviaturas. 
 
8.07 ocho enteros siete centésimos 
9.00006nueve enteros seis cien milésimos. 
30.00015 treinta enteros quince cien milésimos 
15.0000352 quince enteros, trescientos cincuenta y dos diez 
millonésimo. 
5.013456 cinco enteros, trece mil cuatrocientos cincuenta y seis 
millonésimo. 
 
Ejercicio: Anota el numero que corresponde a cada enunciado. 
 
Siete enteros, siete centésimos 7.07 
Un entero, nueve cien milésimos 1.00009 
Dos enteros, cinco decimos 2.5 
Ochenta enteros, dieciséis millonésimo 80.000016 
Veinticinco millones de enteros veinticinco milésimos. 
25,000,000.025 
Ocho enteros, cuatro centésimos 8.04 
Tres enteros, trece cien milésimos 3.00013 
Quinientos ocho diez milésimos 0.0508 
Mil doscientos nueve millonésimo 0.001209 
Seis millonésimo 0.000006 
Seiscientos noventa mil quinientos veintiséis diez millonésimo 
0.006969526 
 
NUMEROS RACIONALES 
 
 
 En ocasiones la división entre dos enteros no es exacta, por lo tanto se amplia el 
conjunto para que comprenda a fracciones como: 7/4,3/2,1/13, etc. 
 
Se definen los racionales como: 
 
 Q={x/x=p/q,p,q∈ Z q≠0} 
 
 
Propiedades. 
 
 Si p/q y r/s pertenecen a los racionales y p/q=r/s => ps=rq 
 
 Si p/q ∈Q y K∈ Z => p/q= pk/qk 
 
La fracción p/q se dice que esta en términos menores o simplificada, la fracción pk/qk esta 
en términos mayores. 
 
 Si p/q y r/s ∈Q y p/q=r/s => p±q/q=r±s/s 
 Si p/q y r/s ∈ Q y p/q=r/s => p/q±p=r/s±r 
 Si p/q ∈Q => -p/q= -p/q= p/-q 
 
 
Fracciones. 
 
 Propias p<q 
 
 Impropias p>q las impropias se pueden expresar como números mixtos con parte 
entera más una fracción propia. 
 
Fracciones Decimales.- son aquellas cuyo denominador es 10 o un múltiplo de 10. 
 
Fracciones Comunes.- son las que no son decimales. 
 
 Las fracciones se pueden expresar en forma decimal dividiendo numerador entre 
denominador. 
 
Ejemplos: 4/5=.8 = 8/10 
 3/2=1.5 = 1+1/2= 15/10 
 
Fracción Generatriz.- fracción común simplificada equivalente a la fracción decimal 
(numero decimal periódico). 
 
• Suma y Resta: p/q, r/s Q 
 
p/q+r/s=ps+qr/qs c 
 
 
 
• Multiplicación: p/q, r/s Q 
 
p/q x r/s = pr/qs 
 
 
• División: es lo mismo que multiplicar por el recíproco p/q, r/s Q 
 
p/q x r/s = pr/qs 
 
 
• Potencia de Fracciones p/q, m∈ Q 
 
(p/q)m=pm/qm / (p/q)-m=(q/p)m=qm/pm 
 
 
• Raíz de una fracción p/q, m ∈Q 
 
m√p/q = m√p/m√q 
 
 
REGLAS DE REDONDEO. 
 
1) Si el primer dígito de la parte que se va a descartar es mayor que 5 se 
aumenta en una unidad el dígito anterior. Ejemplo: Redondear a dos cifras 
decimales 38.736 38.74 
 
2) Si el primer dígito de la parte que se va a descartar es menor que 5 se deja el 
dígito anterior. Ejemplo: Redondear a dos cifras decimales 44.724 44.72 
 
3) Si el primer dígito de la parte que se va a descartar es 5 y los siguientes dígitos 
no son todos cero, se incrementa el ultimo dígito en una unidad. Ejemplo: 
Redondear a dos cifras decimales 245.345103 245.35 
 
4) Si el primer dígito de la parte que se va a descartar es 5 y los siguientes son 
cero entonces: 
 
-“ Si el ultimo dígito es par se deja como esta”. Ejemplo: Redondear a dos 
cifras: 4.765 4.76 
 
- “Si el ultimo dígito es impar se le suma una unidad”. Ejemplo: Redondear a 
dos cifras 5.735 5.74 
 
 
NUMEROS IRRACIONALES. 
 
 Los números irracionales expresados en forma decimal tienen un numero infinito 
de decimales no periódicos. Ejemplo: √7,√3,3√4, etc. 
 
 
 
 
Leyes de los Radicales. 
 
 El símbolo n √a se lee raíz enésima de a y significa él numero x que elevado a la n 
da como resultado a. 
 
 n√a=x si nx=a 
 √25=5 52=25 
 3√8=2 23=8 
 
Definición n√a 
 
 Si a>0, n√a es el numero positivo 
 Si a=0, n√a = 0 
 Si a<0, si n es impar n√a es el numero negativo que elevado a la n da a. 
 Si n es par n√a no esta definida en los reales. 
 
 
 √ signo radical 
 n√a a radicando o subradical 
 n índice de la raíz 
 
 
Leyes 
 
 n√a n√b = n√ab 
 n√a / n√b = n√a/b 
 m√n√a = nm√a 
 mk√amk = h√am
 
 
Operaciones con Radicales. 
 
• Simplificación de Radicales. 
 
a) Sacar factores o divisores de un radical 
b) Simplificar los exponentes del radicando y el índice de la raíz cuando se pueda 
c) Racionalización de denominadores 
 
a) Para sacar un factor o divisor de un radical este tiene que estar elevado al 
mismo índice de la raíz o a un múltiplo del. 
 
½ 5 √256 a10 b15 = ½ 5√25 23 a10 b15 = 2 a2 b3/2 5√ 23 = a2 b3 5 √23 
¾ 3√8 a6 b7/8 c8 = 3√b/c2 = 3a2 b2/4c2 = 3√b/c2 
 
b) 6√343 a9 x12 = 6√73 a9 x12 = √7 a3 x4 
 
c) Racionalizar un denominador es expresar una fracción como otra fracción 
equivalente que no tenga raíces en el denominador. Es decir, es expresar una 
fracción irracional como una equivalente racional. 
 
 
Potencias. 
 
Sea b∈ R y n un numero entero positivo, entonces bn = b*b*b*b.....(n .veces) 
 
Si b∈ Ry n=0 bn =1 (y b≠0) 00= no esta definido 
 
Si b∈ R y b≠0 y n es entero negativo bn = 1/b-n
 
 
Leyes de los Exponentes. 
 
 am*an=am+n
 am/an=am-n
 (amb)n=amn bn
 (an/bm)p = anp/bmp
 a-m/b-n = bn/am
 (a/b)-n = (b/a)n 
 
 
Multiplicación y División de Radicales. 
 
 Para multiplicar o dividir radicales estos deben tener el mismo índice. 
 
 m√a m√b = m√ab 
 m√ab = m√a m√b 
 m√a/m√b = m√a/b b≠0 
 
 Si el índice es diferente hay que buscar el MCM de los índices, dividir este entre 
cada uno de los índices y elevar los radicándolos a los cocientes, obtenidos en cada caso. 
Después ya se puede multiplicar o dividir. 
 
 3√abc2 : 4√ab2 c3 = 
 12√(abc2)4 : 12√(ab2 c3) = 
 
 
Introducir Factores o Divisores en un Radical. 
 
 Para introducir factores o divisores en un radical se elevan al índice de la raíz y se 
multiplican o dividen por el radicando según sea el caso. 
 
2x2y/z 4√3x3y/2 = 4√3x3y (2x2y)4/2z4 = 4√3x3y24x8y4/2z4 = √24x11y5/z4 
 
 
Suma o Resta de Radicales. 
 
 Para sumar o restar radicales estos deben de tener el mismo índice y el 
mismo radicando. 
 
 
 3/4√176 – 2/3 √45 + 1/8 √ 320 + 1/5 √275 
 3/4√24-11 – 2/3 √32-5 + 1/8 √26*5 + 1/5 √52*11 
 12/4√11-6/3√5+8/8√5+5/5√11 
 3√11-2√5+1√5+1√11 
 4√11-√5 
 
 
Potencia de un Radical. 
 
 (n√am)p = n√amp
 
 
Productos de Binomios con Radicales. 
 
 (√3x-√2x)( √5-√x)= √15x-√3x2- √10x + √2x2
 = √15x-x√3-√10x+x√2 
 
 
Racionalización de Denominadores Binomios. 
 
 Para racionalizar fracciones con denominador, la fracción se multiplica por el 
conjugado del denominador. 
 
 
 √2+√3/√5-√3=(√2+√3)/ √5-√3)*( √5+√3)/( √5+√3)= √10+√6+√15+3/2 
 
 
Los números racionales tienen 2 formas de representarse: 
 
1. De la forma a/b , a, b, e II (enteros) y b ≠ 0 
 
2. Forma Decimal Periódica. 
 
 
Números Irracionales 
 
Es el conjunto de números tales que su expresión decimal es no periódica. 
 
Ejemplos. 
 
Raíz de 2, de 3, de 5, de 17, pi 
 
 -2 2 
 
 
 
 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 
 
 
Números Reales (IR) 
 
 Es la unión de los números racionales e irracionales IR = QUII 
 
 Localización de números irracionales en la recta numérica. 
 
 
 
 
2 
 
 
 0 1 2 
P = d ￗ 
 
½ 
P = 1 * ￗ 
 
P = ￗ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conversión de Decimal Periódico infinito a fracción común 
 
a 
b 
 
a) ¾ = .750 
 = .75 
 
b) 3.7 = 3 7 
 10 
= 37 
 10 
 
2° Periodo Distinto de cero. 
 
 
0.333 = 0.3 = 1/3 0.3 = a 
 b 
3.333 = 10 a
 b 
 
0.3737 = 0.37 = 37/99 -3.333 = a = 9 a
 b b 
∴ 3 = a 
 9 b 
 
 
Problemas de Aplicación de los números racionales (Q). 
 
Se refieren principalmente a porcentajes. 
 
¿Que porcentaje representa 24 de 60? 
 
 60 – 100% (24)(100) = 40 
 24 – X 60 
 
 
 Ó 
 
 
60 = 24 (100)(24) = 40 
 100 X 60 
 
 
Porcentaje: es comparar cantidades el total de elementos es el 100%. El 
porcentaje esta representado de la forma a = c donde las numeraciones 
 b d 
representan los elementos donde 
 
los denominadores representan el porcentaje. 
 
 
 
OPERACIONES CON NUMEROS REALES. 
 
 Las operaciones más importantes son suma, resta, multiplicación y división, estas 
operaciones se conocen como binarias por que están definidas entre dos cantidades. 
 
Propiedades. 
 
Cerradura.- un conjunto se dice que es cerrado respecto a alguna operación, si al 
efectuar esa operación con elementos del conjunto el resultado que se obtiene 
siempre pertenece al conjunto. 
 
 Suma: Si a∈ R, b∈R=>(a+b)∈R 
 Multiplicación: Si a∈R,b∈R=>(a*b)∈R 
 
Conmutativa.- el orden de los factores no altera el producto. 
 
 Suma: Si a∈R,b∈R entonces a+b=b+a 
 Multiplicación: Si a∈R,b∈R=>a*b=b*a 
 
Asociativa.- se puede asociar en diferente forma 
 
 Suma: Si a,b,c∈R=>a+(b+c)=(a+b)+c 
 Multiplicacion: Si a,b,c, ∈R=>a(b*c)=(a*b)c 
 
Elementos Neutros.- son los que no afectan la operación. 
 
 Suma: Si a∈R existe 0∈R tal que a+0=a 
 Multiplicación: Si a∈R existe 1∈R tal que a*1=a 
 
Elementos Inversos.- se le llama inverso aditivo o simétrico al numero que sumado 
da cero. 
 
 Suma: Si a∈R existe -a∈R=>a+(-a)=0 
 Multiplicación: Si a∈R y a≠0 existe 1/a tal que a(1/a)=1 
 
Se le llama inverso multiplicativo o recíproco. 
 
 
Propiedad del cero en la multiplicación. 
 
 Si a∈ R,a(0)=0 
 
 
Propiedad del Producto Nulo. 
 
 Si a*b=0=>a=0 o b=0 o a=0 y b=0 
 
 
 
 
Propiedades de los Inversos. 
 
 -(-a)=a 
 -(a+b)=-a+(-b) 
-(ab)=(-a)b=a(-b) 
 
 
Propiedad Distributiva 
 
 Si a,b,c ∈R entonces a(b+c)=ab+ac 
 (b+c)a=ba+ca 
 
 
Propiedad de la Resta 
 
Si a,b,c ∈R=> a-b= a+(-b) 
 
 
Propiedad de La División 
 
 Si a,b∈R y b≠0 => a/b =a(1/b) 
 
 
Definición de la Resta 
 
 a/b=c <=> c(b)=a 
 
 
Propiedad de Sustitución 
 
 Si a,b, ∈R y a=b=> a puede ser sustituida por b en cualquier expresión. 
 
 
Números Primos.- Son aquellos que solo son divisibles entre sí mismos y la unidad. 
 
Números Compuestos.- son aquellos que no son primos. 
 
Factor o Divisor.- Un numero B es factor o divisor de un numero A sí y solo si existe un 
numero C tal que a=Bc, entonces a/b=c 
 
 a=dividendo 
 
B=divisor 
 
 A/b o c=cociente 
 
 
 
 
 
Criterios de Divisibilidad. 
 
 
Numero Criterio 
2 Si terminan en 0,2,4,6,8 
3 Si la suma de sus dígitos es divisible entre 
tres. 
4 Si el número formado por sus últimos 
dígitos es divisible entre cuatro. 
Si termina en 0 o en 5. 
6 Si es divisible entre dos y entre tres. 
7 Se agrupan sus cifras a partir de la derecha 
en grupos de tres dígitos y se les asignan 
signos mas y menos a cada grupo; se 
efectúa la suma si es divisible entre 7 él 
numero también. 
8 Si él numero formado por las tres ultimas 
cifras es divisible entre 8. 
9 Si la suma de sus cifras es divisible entre 9. 
11 Se marcan a partir de la derecha con los 
signos mas y menos alternativamente, si la 
suma es divisible entre 11 el numero 
también. 
12 Si es divisible entre 2,3,4,6 
13 Igual que el 7. 
 
 
Teorema Fundamental de la Aritmética. 
 
 Un numero se puede expresar como un producto único de factores primos 
sin importar su orden. 
 
MCM.- es el producto de todos los factores primos diferentes elevados al mayor 
exponente. 
 
MCD.- Es el producto de todos los factores comunes elevados al menor exponente. 
 
Ejemplo: MCM(60,72,84) 60,72,84 2 
 30 36 42 2 
 15 18 21 2 
 MCM=(2³)(3²)(5)(7) 5 9 7 3 
 1 3 1 3 
1 5 
7 
 
 
 MCD(60,72,84) 60,72,84 2 
 30 36 42 2 
 15 18 21 3 
 MCD=(2²)(3) 5 6 7 
 NÚMEROS COMPLEJOS MATEMÁTICAS GENERALES 
1. NÚMEROS COMPLEJOS. 
Los algebristas del los siglos XV y XVI, al buscar una solución para algunas ecuaciones de segundo grado, por ejemplo 
x2 + 1 = 0, se encontraron con x = ± −1 . Afirmaban que las ecuaciones no tenían solución, ya que no hay ningún 
número real cuyo cuadrado sea un número negativo. Este hecho implicaba la conveniencia de “definir” nuevos números 
de la forma: donde a y b son números reales e i es iba ⋅+ −1 , que permitieran resolver cualquier ecuación de se-
gundo grado. Estos nuevos números se llaman números complejos ( C ). 
 Ejemplo: 
 La ecuación de segundo grado: x x2 6 34 0− + = tiene como solución: 
2
1006 −±
=x que expresaremos como iix ⋅±=⋅±= 53
2
1061.1 Definición. 
Se llama número complejo a toda expresión de la forma z a bi= + donde a y b son números reales; i es 
la unidad llamada imaginaria, definida por las ecuaciones: 1−=i o ; a es la parte real y b es 12 −=i
la parte imaginaria del número complejo. 
 
Si a = 0, el número complejo bibi =+0 , es un número imaginario puro; si b = 0, se obtiene el número real 
aia =+ 0 
Dos números complejos son iguales si: ( ) ( ) dccaidciba ==⇔⋅+=⋅+ ; es decir, si son iguales sus par-
tes reales e imaginarias por separado. 
Un número complejo es igual a cero si: 0;00 ==⇔=⋅+ baiba 
 
1.2 Representación gráfica. 
Sobre el eje de abcisas se representa la parte real a del núme-
ro complejo y sobre el eje de ordenadas la parte imaginaria b. 
El número complejo ( , queda representado por el punto 
P(a,b) del plano de coordenadas. 
 
)a b
A cada número complejo corresponde un punto P que 
se llama su afijo, y recíprocamente, a cada punto corresponde 
un número complejo. De este modo queda establecida una 
aplicación biyectiva entre los puntos del plano y los números 
complejos. 
( , )a b
Si escribimos y consideramos la re-
lación vectorial correspondiente, podemos escribir: 
( ) ( )z a b a b= = +( , ) , ,0 0
z a bi= + 
que llamaremos forma binómica del numero complejo z . Cuando aparezca escrito como ( , diremos que está 
en forma cartesiana. 
)a b
El origen de coordenadas O y el punto P determinan un vector OP
→
 que se puede considerar la representación vec-
torial del número complejo ( , . La longitud r del vector )a b OP
→
se llama módulo del número complejo a bi+ y 
su expresión es r a b= +2 2 
 
1.3 Complejos conjugados y complejos opuestos. 
Dos números complejos se llaman conjugados si tienen iguales sus componentes reales y opuestas sus componentes 
imaginarias. Se expresan de la forma siguiente: z a bi= + y biaz −= . Gráficamente son simétricos respecto del 
eje real (eje de abcisas). 
 
Dos números complejos se llaman opuestos si tienen opuestas sus dos componentes. Se expresan de la forma si-
guiente: z a bi= + y − = − −z a bi . Gráficamente son simétricos respecto del origen de coordenadas. 
 
Propiedades: 
 zz = 2121 zzzz +=+ ( )zz −=− 2121 zzzz ⋅=⋅ 
2
1
2
1
z
z
z
z
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜ 
⎝
⎛
zzz ⋅=2 
2
Re zzz += 
2
Im zzz −= 
 
Francisco Merchán Cid 1 
 NÚMEROS COMPLEJOS MATEMÁTICAS GENERALES 
1.4 Forma trigonométrica de un complejo. 
Designemos por y r ( r ≥ 0 ) las coordenadas polares del punto P( a , b ) tomando por polo el origen de coorde-
nadas y por eje polar, la dirección positiva del eje OX. En este caso tenemos las expresiones siguientes: 
α
( ) ( ) ( α⋅+α⋅=⋅α⋅+α⋅=⋅+⇒
⎭
⎬
⎫
α⋅=
α⋅=
SeniCosriSenrCosriba
Senrb
Cosra )
)
 
La expresión se llama forma trigonométrica del número complejo y las magnitudes r 
y α se expresan en función de a y b mediante las fórmulas: 
( α⋅+α⋅ SeniCosr iba ⋅+
a
bArcTgTg
a
bbar =α⇒α=+= ;22 
El número r se llama módulo y α argumento del número complejo iba ⋅+ . Si α∈[ 0, 2π [, obtenemos el argumen-
to principal. 
 
 
1.5 Operaciones con números complejos. En forma binómica 
 
Suma y resta: ( ) ( ) ( ) ( )a bi c di a c b d i+ ± + = ± + ± 
 
En la práctica puedes aplicar la propiedad 
distributiva teniendo en cuenta que Producto: ( ) ( ) ( ) ( )a bi c di a c b d a d b c i+ ⋅ + = ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ 
 
Cociente: 
( )
( )
a bi
c di
ac bd
c d
bc ad
c d
i
+
+
=
+
+
+
−
+2 2 2 2
 En la práctica se multiplica numerador y de-nominador por el conjugado del denominador
 
Raíz cuadrada: Si ( )a bi x yi a bi x yi x y xyi+ = + ⇒ + = + = − +2 2 2 2 igualando las partes real e ima-
ginaria resulta el sistema: resolviendo el sistema se tiene la solución. x y
xy b
2 2
2
− =
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
a
 
 
1.6 Operaciones con números complejos. En forma trigonométrica 
 
Producto: 
Francisco Merchán Cid 2 
( )
( )
( ) ( )[ β+α⋅+β+α⋅⋅=⋅
β⋅+β⋅=
]
α⋅+α⋅=
SeniCosrrzzndoMultiplica
SeniCosrz
SeniCosrzSean
2121
22
11
 
El módulo del cociente es el 
cociente de los módulos. 
Un argumento del cociente es 
la diferencia de los argumen-
 
Cociente: 
( )
( )
( ) ( )[ β−α⋅+β−α⋅=
β⋅+β⋅=
]
α⋅+α⋅=
SeniCos
r
r
z
z
Dividiendo
SeniCosrz
SeniCosrzSean
2
1
2
1
22
11
 
El módulo del cociente es el 
cociente de los módulos. 
Un argumento del cociente es 
la diferencia de los argumen-
 
 
1.7 Operaciones con números complejos. En forma polar 
 
La forma trigonométrica de un complejo sugiere que éste quede perfectamente determinado por su módulo r y un 
argumento α. 
Si escribimos ( )α⋅+α⋅=α SeniCosrr también tenemos una expresión que pone de manifiesto los valores del 
módulo y un argumento. Se le conoce por forma polar de un número complejo. 
 
El producto en forma polar quedaría: ( ) ( ) ( ) β⋅αβ+αβα =⇒⋅=⋅ nnn rrsrsr iaconsecuenc Como 
 
El cociente en forma polar quedaría: 
β−αβ
α ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
s
r
s
r
 
 
 NÚMEROS COMPLEJOS MATEMÁTICAS GENERALES 
1.8 Forma de Moivre para el producto. 
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
α⋅+α⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ∑∑
==
n
k
k
n
k
knn SeniCosrrrzzz
11
2121 LL 
 
1.9 Forma de Moivre para la potencia. 
( )α⋅+α⋅= nSeninCosrz nn 
 
Consecuencia: Considerando un complejo de módulo la unidad: ( ) ( α⋅+α=α⋅+α nSeninCosSeniCos n ) y 
desarrollando el primer miembro según la fórmula del binomio de Newton e igualando las par-
tes reales e imaginarias, podremos expresar αnSen y en función de αnCos αSen y αCos . 
 
 
1.10 Raíces n-ésimas de un complejo. 
 
 Definición: z1 es una raíz n-ésima de z si z zn1 =
 
 
Teorema: Todo complejo z ≠ 0 tiene exactamente n raíces n-ésimas distintas en C. 
 
Sea ( )Φ⋅+Φ⋅= SeniCosRz un complejo no nulo. 
Supongamos que ( )α⋅+α⋅ SeniCosr es una de sus raíces n-ésimas. 
Deberá verificarse: ( )[ ] ( )Φ⋅+Φ⋅=α⋅+α⋅ SeniCosRSeniCosr n , 
 es decir; ( ) ( Φ⋅+Φ⋅=α⋅+α⋅ SeniCosRnSeninCosr n )
Deberán coincidir los módulos: nn RrRr =⇒= (su valor aritmético, real y positivo) 
Para que los complejos de módulo unidad Φ⋅+Φα⋅+α⋅ SeniCosnSeninCos y coincidan, nα y Φ 
deberán ser dos argumentos del mismo complejo. En otras palabras, π+Φ=α kn 2 de donde: 
n
kπ+Φ
=α
2 
Resumiendo: Las raíces n-ésimas de z son de la forma: 
( )1,2,1,022 −=Ζ∈⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π+Φ⋅+
π+Φ
⋅ nkk
n
kSeni
n
kCosRn L 
 
La raíz n-ésima de número real A, distinto de cero, también tiene n valores, puesto que en número real es un ca-
so particular del número complejo y puede ser representado en forma trigonométrica: 
 
( ) ( )π⋅+π⋅=<⋅+⋅=> SeniCosAAASiSeniCosAAASi 0;000 
 
 
1.11 Interpretación geométrica de las raíces n-ésimas de z 
 
Se observa que todas las raíces tienen el mismo módulo: n R . Por ello, los afijos de la n raíces están situa-
dos sobre la circunferencia de centro el origen y radio n R . 
Si Φ es un argumento de z, un argumento de z1 es n
Φ . Si dividimos los 2π radianes en n partes, cada una de 
ellas mide 
n
π2 radianes. 
Así el afijo de z2 se obtiene girando el de z1 en n
π2 radianes; el de z3 girando el de z2 otra vez un ángulo de 
n
π2 radianes, y así sucesivamente. 
 
 
Francisco Merchán Cid 3 
 NÚMEROS COMPLEJOS MATEMÁTICAS GENERALES 
1.12 Solución de la ecuación binomia. 
La ecuación se llama binomia. Las raíces de esta ecuación serán: Ax n =
Si A es un número real positivo: ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π⋅+
π
⋅=
n
kSeni
n
kCosAx n 22 
Si A es un número real negativo: ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π+π⋅+
π+π
⋅=
n
kSeni
n
kCosAx n 22 
 
Si A es un número complejo, los valores de x se hallan según la expresión general. 
 
 
1.13 Función exponencial de exponente complejo y sus propiedades. 
 
Sea , si x e y son variables reales, z es una variable compleja. Consideremos la función exponencial 
de variable compleja: 
yixz +=
yixz eezf +==)(
Los valores complejos de la función f(z) se definen del modo siguiente: ( )ySeniyCosxyix ee ⋅+⋅=+
 
Propiedades: 
Sean z, z1 y z2 números complejos y m un número entero, entonces: 
 2121 zzzz eee ⋅=+
2
1
21
z
z
zz
e
ee =− ( ) zmmzee ⋅= ziz ee =π+2
 Se cumplen las reglas de derivación de la función exponencial de variable real. 
 
 
1.14 Fórmula de Euler. Forma exponencial de un número complejo. 
Consideremos un número imaginario puro, la fórmula de Euler expresa la relación entre la función exponencial de 
exponente imaginario y las funciones trigonométricas y es: de la podemos deducir las ex-
presiones de seno y coseno en función de ellas. 
ySeniyCosyie ⋅+=
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
−
=
+
=
⇒
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⋅−=
⋅+=
−
−
−
i
ySen
yCos
ySeniyCos
ySeniyCos
yiyi
yiyi
yi
yi
ee
ee
e
e
2
2 
 
Forma exponencial de un número complejo: 
Sea z un número complejo en forma trigonométrica: ( )α⋅+α⋅= SeniCosrz donde r es el módulo y α un ar-
gumento. Según la fórmula de Euler: y todo número complejo puede ser re-
presentado en forma exponencial. 
ii ee rzSeniCos αα ⋅=⇒=α⋅+α
 
 
1.15 Logaritmos de números complejos. 
Sea z un número complejo, por definición de logaritmo tenemos: zwz we =⇔=ln
Si ( )α⋅+α⋅= SeniCosrz y yixw += : 
( ) ( ) ( )
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
π+=
==⇒=
kzy
zrxrxe
2arg
lnlnα⋅+α⋅=⋅+⋅⇒α⋅+α⋅=+ SeniCosrySeniyCosSeniCosr xyix ee ⇒ 
 Luego ( ) Ζ∈⋅π++= kikzzz , 2arglnln ; para k = 0 tenemos el valor principal: 
zizz arglnln ⋅+= 
 
 Ejemplo: Ln ( 3 + 4i ) = 1,60944 + ( 0,2+2kπ ) i 
 
 
1.16 Potencia de base y exponente complejo. 
Sean z y w ∈ C, con z ≠ 0. Se define zww ez ln⋅=
Francisco Merchán Cid 4 
 NÚMEROS COMPLEJOS MATEMÁTICAS GENERALES 
Francisco Merchán Cid 5 
 
NÚMEROS COMPLEJOS 
 
1. NÚMEROS CONCRETOS 
2. UNIDAD IMAGINARIA 1i −= 
3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN NÚMERO COMPLEJO 
4. FORMAS DE EXPRESAR UN NÚMERO COMPLEJO 
5. NÚMEROS CONJUGADOS Y OPUESTOS DE OTRO COMPLEJO 
6. POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA 
7. OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS 
 
 
1. NÚMEROS CONCRETOS 
Un número complejo Z es un par ordenado de números reales (a,b) ℝ ∈ba,
a=1ª componente o componente real 
b=2ª componente o componente imaginaria 
 
Z1= (a,0) es un número real 
Z2= (0,b) es un número imaginario 
Z3=(a,b) es un número complejo 
 
 
2. UNIDAD IMAGINARIA 
La unidad imaginaria es i1 =− 
 
 
3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN NÚMERO COMPLEJO 
Un número complejo Z=(a,b) se representa por un vector OP siendo P=(a,b) 
El eje horizontal es el eje real. El eje vertical es el eje imaginario. 
 
P(a,b) b·i 
a O 
ZZ 
OPb·iab)(a,Z = = + = 
 
 
 
4. FORMAS DE EXPRESAR UN NÚMERO COMPLEJO 
- Forma vectorial o par ordenado Z=(a,b) 
- Forma binómica b·iaZ +=
- Forma polar αrZ = 
El módulo de un número complejo Z es r y es la raíz cuadrada de la suma de los 
cuadrados de la componente real y la componente imaginaria. 
22 bar += 
 
El argumento del número complejo Z es α y es el ángulo que forma el número com-
plejo Z con el eje real (en sentido positivo). 
αrZ = 
- Forma trigonométrica o módulo argumental )i·senr(cosZ αα += 
22 bar += / 
a
btgarcα = 
 
 
5. NÚMEROS CONJUGADOS Y OPUESTOS DE OTRO COMPLEJO 
Dado un complejo , su conjugado (b·iaZ += Z ) tiene la misma parte real y opuesta la 
parte imaginaria. 
b·i-aZ = 
 
El complejo opuesto de es -Z y tiene opuestas las componentes real e ima-
ginaria de Z. 
b·iaZ +=
b·i--aZ- = 
 
 
6. POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA 
1i
ii
1i
1-ii
1i
4
3
2
1
0
=
−=
−=
==
=
 
 
Cuando el exponente es superior a 4 se divide entre 4, igualando el enunciado a i eleva-
do al resto de la división. 
4 
( ) ri·ii·iiii rc4r4cr4cn ==== + 
n 
r c 
 
 
7. OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS 
a) En forma binómica 
1. Suma 
d)·i(bc)(ad·i)(cb·i)(aZZ 21 +++=+++=+ 
 
2. Resta 
d)·i(bc)(ad·i)(cb·i)(aZZ 21 +−+=+−+=− 
 
3. Producto 
ad)·i(bcbd)(acd·i)b·i)·(c(a·ZZ 21 ++−=++= 
 
4. Producto de un número real por un número complejo 
∈k ℝ 
K·b·iK·ab·i)k·(ak·Z1 +=+= 
 
 
5. Cociente 
2222
2
1
dc
bc)·iad(bd)(ac
dc
bc)·iad(bd)(ac
d·i)d·i)·(c(c
d·i)b·i)·(c(a
d·ic
b·ia
Z
Z
+
+−++
=
+
+−++
=
−+
−+
=
+
+
= 
 
6. Inverso de un número complejo 
·i
ba
b
ba
a
ba
b·i)1·(a
b·ia
1
Z
1
222222 +
−
+
=
+
−
=
+
= 
 
7. Potencia de un complejo 
2a·b·i)b(a2·a·b·iba2a·b·i(b·i)ab·i)(aZ 222222221 +−=++=++=+= 
 
 
b) En forma polar 
1. Producto de complejos 
2α1α21 21α2α121
·rr)·(r)(r·ZZ
+
== 
 
2. Cociente de complejos 
21
1
αα2
1
α22
α1
2
1
r
r
)(r
)(r
Z
Z
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
== 
 
3. Potencia de un complejo 
nn
α
n
1 r)(rZ == 
 
4. Radicación de un complejo 
La raíz enésima de un complejo αrZ = tiene por módulo la raíz enésima de su 
módulo. Su argumento es 
n
k360α °+ . 
El número de raíces es n para k=0; k=1;…k=n-1. 
n
n
360kα
n
α
n rrZ +== 
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	Propiedad de la Resta 
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	1. NÚMEROS COMPLEJOS. 
	1.1 Definición. 
	1.2 Representación gráfica. 
	1.3 Complejos conjugados y complejos opuestos. 
	1.4 Forma trigonométrica de un complejo. 
	1.5 Operaciones con números complejos. En forma binómica 
	1.6 Operaciones con números complejos. En forma trigonométrica 
	1.7 Operaciones con números complejos. En forma polar 
	1.8 Forma de Moivre para el producto. 
	1.9 Forma de Moivre para la potencia. 
	1.10 Raíces n-ésimas de un complejo. 
	1.11 Interpretación geométrica de las raíces n-ésimas de z 
	1.12 Solución de la ecuación binomia. 
	1.13 Función exponencial de exponente complejo y sus propiedades. 
	1.14 Fórmula de Euler. Forma exponencial de un número complejo. 
	1.15 Logaritmos de números complejos. 
	1.16 Potencia de base y exponente complejo. 
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