Clase_2

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Matemáticas II
Clase 2: Integral Indefinida (1)
MEM155
Apunte de Curso: Págs. 23 a 31
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Agenda
Objetivos de la clase
Concepto de primitiva de una función
Cálculo de primitivas
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Objetivos de la clase
Objetivos de la clase
• Conocer el concepto primitiva de una función.
• Calcular primitivas directas.
• Conocer las reglas de suma y la ponderación para el cálculo de
primitivas.
• Conocer la regla “derivada dividido por función”.
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Concepto de primitiva de una
función
Concepto de primitiva
• Para la función
F (x) = ln(x)− e2x
se tiene que F ′(x) = 1x − 2e
2x .
• Visto de otra manera: para la función f (x) = 1x − 2e
2x ocurre que
F (x) = ln(x)− e2x es tal que
F ′(x) = f (x).
Definición
Dada una función f (x), otra función F (x) tal que
F ′(x) = f (x)
se llama primitiva (o integral indefinida) de f (x), y se denota
F (x) =
∫
f (x)dx .
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• Note que si F (x) es una primitiva de f (x) entonces para cualquier
constante C e tiene que
F (x) + C
también es una primitiva de f (x). Salvo que se diga lo contrario, en lo
que sigue se ignora la constante.
Lectura de la notación de integral
Cuando uno escribe ∫
f (x)dx
está representando a una nueva función tal que(∫
f (x)dx
)′
= f (x).
Por ejemplo:
∫
x2dx =
1
3
x3
ya que la derivada de 13 x
3 es igual a x2 (expresión que está dentro del
śımbolo
∫
). 5
Aspecto relevante
• Verificar que una primitiva está correctamente calculada es directo: al
derivar el resultado que se obtuvo “uno debe obtener lo que está
dentro de la integral”.
• Por ejemplo: ∫ (√
x + ln(x)
)
dx =
2
3
x3/2 − x + x ln(x)
ya que
(
2
3
x3/2 − x + x ln(x)
)′
=
2
3
· 3
2
x3/2−1 − 1 + ln(x) + x 1
x
= x1/2︸︷︷︸
√
x
+ ln(x).
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Cálculo de primitivas
Primitivas directas
Tabla de derivadas
Nombre - Comentario Función: Derivada:
α ∈ R xα α xα−1
Exponencial ex ex
Logaritmo Natural, x > 0 ln(x) 1x
Tenemos entonces que:
(a) Primitiva de una potencia: (exponente diferente de −1)∫
xα dx =
1
1 + α
x1+α
(b) Primitiva de 1/x (caso potencia con α = −1)∫
1
x
dx = ln(x)
(c) Primitiva de función exponencial:∫
ex dx = ex . 7
• NOTA: ¿Cuánto vale ∫
eβxdx?
• “Sospechamos” que es de la forma eβx por alguna constante γ, es
decir, “sospechamos” que ∫
eβxdx = γeβx .
• Para lo que lo anterior sea cierto, la derivada de γeβx debe ser igual a
eβx . Es decir, se debe cumplir que
γ βeβx = eβx ⇒ γ = 1
β
.
• Luego: ∫
eβxdx =
1
β
eβx .
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Primitiva de una “derivada”
• Es por definición que ∫
f ′(x)dx = f (x)
ya que la derivada de f (x) es f ′(x), que es el término “dentro de la
integral”.
Ejemplo ∫
4xex
2
dx =?
La expresión 4xex
2
se parece a la derivada de ex
2
. Suponemos entonces
que hay una constante γ ta que∫
4xex
2
dx = γex
2
⇒ 2 γx ex
2
= 4xex
2
⇒ γ = 2 ⇒
∫
4xex
2
dx = 2ex
2
.
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Primitiva de una suma y ponderación
• Por las reglas de derivación, sabemos que la derivada de una suma es la
suma de las derivadas y la derivada de una ponderación por escalar es la
ponderación por escalar de la derivada.
• Por lo tanto:∫
(f (x) + β g(x))dx =
∫
f (x)dx + β
∫
g(x)dx .
Ejemplo∫
(e2x + 5
√
x)dx =
∫
e2xdx + 5
∫ √
xdx =
1
2
e2x + 5 · 2
3
x3/2.
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Primitiva de derivada dividido por la función
• Por la regla de la cadena:
h(x) = ln(f (x)) ⇒ h′(x) = f
′(x)
f (x)
.
• Por lo tanto:
∫ (
f ′(x)
f (x)
)
dx = ln(f (x)).
• El problema es identificar, cuando corresponda, que la expresión que se
integra es de la forma anterior.
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Ejemplo ∫
x2
1− x3
dx =?
• Si f (x) = 1− x3, su derivada es f ′(x) = −3x2.
• Arreglando la expresión de la integral:
∫
x2
1− x3
dx =
−1
3
∫
−3x2
1− x3
dx = −1
3
ln(1− x3).
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Ejemplo ∫ (
2x − 3
x
1− 3x
)
dx =?
• Primero, regla de la suma:∫ (
2x − 3
x
1− 3x
)
dx =
∫
2xdx −
∫
3x
1− 3x dx .
• Segundo, recordar que αx = e ln(α)x , por lo que∫
2xdx =
∫
e ln(2)xdx =
1
ln(2)
e ln(2)x =
1
ln(2)
2x .
• Tercero, 3x se parece a la derivada de 1− 3x :∫
3x
1− 3x dx = γ ln(1− 3
x) ⇒ γ− ln(3)3
x
1− 3x =
3x
1− 3x ⇒
γ = − 1
ln(3)
⇒
∫ (
2x − 3
x
1− 3x
)
dx =
1
ln(2)
2x − 1
ln(3)
ln(1− 3x).
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	Objetivos de la clase
	Concepto de primitiva de una función
	Cálculo de primitivas