Clase_11

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Matemáticas II
Clase 11: Matrices (1)
Jorge Rivera
19 de agosto de 2022
Apunte de Curso: Págs. 117 a 131
1
Agenda
Objetivos de la clase
Concepto de matriz
Matrices y vectores
Traspuesta de una matriz y simetŕıa
2
Objetivos de la clase
Objetivos de la clase
• Conocer el concepto de matriz.
• Conocer conceptos relacionados (elemento genérico, matriz
cuadrada, rectangular, traza, diagonal, etc.).
• Matrices a través de vectores y vectores a partir de matrices.
• Conocer el concepto de traspuesta de una matriz y de simetŕıa.
3
Concepto de matriz
• Arreglo rectangular de números reales.
• Extensión de la idea de vector.
Figura 1: Número (real) ⇒ Vector ⇒ Matriz
4
Definición
Dados m, n ∈ N, una matriz de tamaño (dimensión) m × n de números
reales es un arreglo rectangular que tiene la forma:
a11 a12 ... a1j ... a1n
a21 a22 ... a2j ... a2n
...
...
...
...
...
...
ai1 ai2 ... aij ... ain
...
...
...
...
...
...
am1 am2 ... amj ... amn

donde aij ∈ R para cada i = 1, ...,m y j = 1, ..., n. La cantidad m ∈ N es
el número de filas de la matriz, mientras que la cantidad n ∈ N es el
número de columnas de la matriz.
• El conjunto de matrices de dimensión m × n (es decir, que tienen m
columnas y n filas) de valores reales es denotado por Rm×n.
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Elemento genérico
Si
A =

a11 a12 ... a1j ... a1n
a21 a22 ... a2j ... a2n
...
...
...
...
...
...
ai1 ai2 ... aij ... ain
...
...
...
...
...
...
am1 am2 ... amj ... amn

∈ Rm×n
denotamos
A = [aij ]
donde aij es el elemento genérico de A, es decir, aquel que está en la
fila i y en la columna j de la matriz A.
• Siempre: primero la fila y luego la columna.
6
Ejemplo
B = [bij ] =
 3 1 4 6−2 7 8 0
9 9 14 1
 ∈ R3×4.
• Número de filas: 3
• Número de columnas: 4
• Se tiene que
b21 = −2, b32 = 9, b24 = 0.
• Se tiene que
4∑
j=1
b2j = −2 + 7 + 8 + 0 = 13.
• Nota: en algunas ocasiones, para que quede claro el elemento que se
escoge, se escribe (usar una “coma”)
bi,j
en vez de bij . Eso es usual cuando la cantidad de filas y/o columnas es
mayor que 10.
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Igualdad de matrices
• Dadas A = [aij ], B = [bij ] ∈ Rm×n se tiene que
A = B
śı y solo śı
aij = bij .
• Note que la igualdad de matrices requiere que las dimensiones de
ambas sean las mismas.
Ejemplo
Si
A =
[
3 1
−2 7
]
∧ B =
[
a b
c d
]
,
entonces A = B siempre y cuando
a = 3, b = 1, c = −2, d = 7.
8
Matriz cuadrada - matriz rectangular
• Dada A = [aij ] ∈ Rm×n se dice que
(1) A es una matriz cuadrada cuando m = n.
(2) A es una matriz rectangular cuando m 6= n.
Figura 2: Matriz cuadrada - Matriz rectangular
9
Ejemplo
• Una matriz de Rm×1 tiene m filas y 1 columna. Por lo tanto, se trata
de una matriz rectangular que tiene la siguiente forma:
A =

a11
a21
...
am1
 ∈ Rm×1.
• Por otro lado, una matriz de R1×n tiene 1 fila y n columnas. Por lo
tanto, se trata de una matriz rectangular que tiene la siguiente forma
tiene:
A =
[
a11 a12 a13 · · · a1n
]
∈ R1×n.
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Diagonal y traza de matrices cuadradas
• Solo para matrices cuadradas.
• Dada A = [aij ] ∈ Rm×m se define:
(1) Diagonal de A: los elementos aii con i = 1, 2, . . . ,m
(2) Traza de A: suma de los elementos de la diagonal
tr(A) = a11 + a22 + · · ·+ amm =
m∑
i=1
aii .
Ejemplo
A =
 3 1 25 6 2
1 2 4
 ∈ R3×3
se tiene que
• Diagonal de A: a11 = 3, a22 = 6 y a33 = 4.
• Traza de A: tr(A) = 3 + 6 + 4 = 13.
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Matrices especiales: nula e identidad
• Matriz nula (matriz cuyos elementos son todos cero):
[0]m×n = [0] ∈ Rm×n
Ejemplo
[0]2×2 =
[
0 0
0 0
]
, [0]3×3 =
0 0 00 0 0
0 0 0
 , [0]2×3 = [0 0 0
0 0 0
]
.
• Matriz identidad: es una matriz cuadrada donde los elementos de la
diagonal son 1 y los que están fuera de la diagonal son 0: Im ∈ Rm×m.
Ejemplo
I 2 =
[
1 0
0 1
]
y I 3 =
1 0 00 1 0
0 0 1
 .
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Matrices y vectores
Vectores como matrices de m × 1
• Las matrices de Rm×1 (m filas y 1 columna) se identifican con vectores.
Aśı, de ahora en adelante haremos la identificación:
Rm ⇐⇒ Rm×1,
de modo que los vectores de Rm se presentarán como matrices de la
forma
X =

x1
x2
...
xm
 ∈ Rm×1 (≡ Rm).
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Matrices a partir de conjuntos de vectores
• Dados n vectores de Rm:
X 1 =

x11
x21
...
xi1
...
xm1

, X 2 =

x12
x22
...
xi2
...
xm2

, . . . , X j =

x1j
x2j
...
xij
...
xmj

, . . . , X n =

x1n
x2n
...
xin
...
xmn

∈ Rm
se construye la siguiente matriz de m × n
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
x11 x12 ... x1j ... x1n
x21 x22 ... x2j ... x2n
...
...
...
...
...
...
xi1 xi2 ... xij ... xin
...
...
...
...
...
...
xm1 xm2 ... xmj ... xmn

∈ Rm×n.
• La primera columna es X 1, la segunda columna es X 2, · · · , la n-ésima
columna es X n.
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Vectores a partir de matrices
• Para una matriz A = [aij ] ∈ Rm×n, la fila i = 1, . . . ,m, de A se
denotará como
Ai• =
[
ai1 ai2 ai3 · · · ain
]
∈ R1×n,
• La columna j = 1, . . . , n, de A se denota como
A•j =

a1j
a2j
...
amj
 ∈ Rm×1 (≡ Rm).
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Ejemplo
Dada la matriz
A =
[
1 3 7
4 5 8
]
,
se tiene que:
(a) el número de filas A es 2, es decir, m = 2,
(b) el número de columnas A es 3, es decir, n = 3,
(c) A ∈ R2×3,
(d) Las columnas de A son:
A•1 =
[
1
4
]
, A•2 =
[
3
5
]
, A•3 =
[
7
8
]
,
(e) Las filas de A son:
A1• =
[
1 3 7
]
, A2• =
[
4 5 8
]
.
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Traspuesta de una matriz y
simetŕıa
Traspuesta de una matriz
• Dada una matriz A ∈ Rm×n, la traspuesta de A es una matriz que se
denota como At, que se obtiene intercambiando las filas de A por sus
columnas.
• Si A ∈ Rm×n entonces At ∈ Rn×m.
Ejemplo
A =
 5 7b 4
8 5
 ∈ R3×2 ⇒ At = [ 5 b 8
7 4 5
]
∈ R2×3.
Ejemplo
A =

a1
a2
...
am
 ∈ Rm×1 ⇒ At =
[
a1 a2 · · · am
]
∈ R1×m
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Matriz simétrica
• Concepto de matriz simétrica aplica solo a matrices cuadradas (una
matriz rectangular no puede ser simétrica).
• Se dice que A ∈ Rm×m es simétrica śı y solo śı
A = At.
Ejemplo
• La matriz
A =
[
2 3
3 9
]
es simétrica.
• La matriz
B =
 2 3 73 9 b2
b1 14 c

es simétrica solo si b1 = 7 y b2 = 14. 19
Matriz triangular y matriz diagonal
• Matriz triangular y matriz diagonal son tipos de matriz importantes
que se usará más adelante. Estos conceptos aplican solo para matrices
cuadradas.
• Se dice que A ∈ Rm×m es una matriz triangular superior (inferior) si
todos los elementos de A que están bajo (arriba) la diagonal son 0.
• Se dice que una matriz cuadrada A = [aij ] ∈ Rm×m es diagonal
cuando los elementos que están fuera de la diagonal son cero. Los
elementos de la diagonal pueden ser cero (o no). Lo importante es que
aquellos fuera de la diagonal sean cero.
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Ejemplo
Las siguientes son matrices diagonales:
2 0 00 c 0
0 0 0
 ∈ R3×3,

5 0 0 0
0 6 0 0
0 0 8 0
0 0 0 1
 ∈ R4×4,
[
1 0
0 4
]
∈ R2×2.
Ejemplo
Las siguientes son matrices triangular superior:
2 8 10 c 3
0 0 2
 ∈ R3×3,

5 γ −1 2
0 6 1 h
0 0 8 2
0 0 0 1
 ∈ R4×4,
[
β α
0 x1
]
∈ R2×2.
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	Objetivos de la clase
	Concepto de matriz
	Matrices y vectores
	Traspuesta de una matriz y simetría