Clase_17

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Matemáticas II
Clase 17: Sistemas de ecuaciones lineales
(SEL): segunda parte
Jorge Rivera
10 de octubre de 2022
Apunte de Curso: Págs. 179 - 191
1
Agenda
Objetivos de la clase
Preliminares
Matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales
Triangularización de una matriz (ampliada)
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales
2
Objetivos de la clase
• Entender qué es la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones
lineales, SEL.
• Explicar el método para triangularizar matrices (ampliada).
• Resolver sistemas de ecuaciones usando la triangularización de
matrices (método de Gauss).
3
Preliminares
Preliminares: ecuación de primer grado
• Primero: suponiendo que α y β son constantes (reales) dadas, nos
preguntamos por x tal que
αx = β.
(1) Si α ̸= 0, la única solución es
x =
β
α
(2) Si α = 0, se pueden dar dos casos:
(2.1) Si β = 0 la ecuación queda 0 x = 0, cuya solución es “x es
cualquiera”, es decir, tiene infinitas soluciones.
(2.2) Si β ̸= 0 la ecuación queda 0x = β, que no tiene solución.
• En resumen: dependiendo de los valores de α y β, ocurre que la
ecuación αX = β puede (i) tener solución única, (ii) tener infinitas
soluciones o (iii) no tener solución.
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Preliminares: sustitución inversa
• SEL con matriz triangular (superior): solución por sustitución inversa
Considere el sistema de ecuaciones
x1 − 7x2 + 4x3 = 3 (1)
x2 + x3 = 1 (2)
3x3 = 6 (3)
• La matriz del sistema es triangular superior:
A =
 1 −7 40 1 1
0 0 3
 .
• Resolver el sistema es muy sencillo: de la ecuación (3) obtenemos x3,
con ese valor en la ecuación (2) obtenemos x2 y con ambos valores en la
ecuación (1) obtenemos x1:
(3) ⇒ x3 = 2
en (2)⇒ x2 = −1
en (1)⇒ x1 = −12.
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Ejemplo
Dado β ∈ R, resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
x1 − 3x2 + 2x3 = 4 (4)
x2 + 2x3 = 2 (5)
β x3 = 1 (6)
• Primero, la solución de la ecuación (6) depende del valor de β: si β = 0 esa
ecuación no tiene solución; si β ̸= 0 tiene solución única.
• Suponiendo que β ̸= 0, entonces
(6) ⇒ x3 =
1
β
en (5)⇒ x2 = 2−
2
β
en (4)⇒
x1 = 4 + 3
(
2− 2
β
)
− 2
(
1
β
)
= 10− 8
β
.
• En resumen:
(i) Si β = 0 el SEL no tiene solución.
(ii) Si β ̸= 0 el SEL tiene solución única, dada por lo antes indicado.
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Matriz ampliada de un sistema
de ecuaciones lineales
Matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales
• Dados A ∈ Rm×n y b ∈ Rm, para el sistema ecuaciones
AX = b
la matriz ampliada corresponde a aquella donde a la matriz A se agrega
la columna b.
• Para distinguir esa “nueva columna”, se agregan barras: |
• La matriz ampliada se denota como
[A |b] ∈ Rm×(n+1)
7
Ejemplo
Para el sistema de ecuaciones
x1 + 3x2 + x3 = 5
x2 + 2x3 = 2
4x1 − x2 + 5x3 = 8
la matriz ampliada es
 1 3 1 | 50 1 2 | 2
4 −1 5 | 8
 ∈ R3×4
8
Ejemplo
Para el sistema de ecuaciones
x1 + 3x2 + 8x3 − x4 = 7
x2 + 6x3 + αx4 = 9
la matriz ampliada es
[
1 3 8 −1 | 7
0 1 6 α | 9
]
∈ R2×5.
9
Triangularización de una matriz
(ampliada)
Descripción
• Para un SEL cualquiera, el objetivo es realizar “operaciones” con las
filas de la matriz ampliada de modo de lograr un sistema de ecuaciones
donde la (nueva) matriz del sistema es triangular superior.
• Se procede “triangularizando” la matriz A, pero considerando que las
“operaciones” hechas sobre las filas de A también aplican al vector b
(lado derecho del sistema).
• Una vez que se “triangulariza” la matriz del sistema (y se modifica, de
manera correspondiente, el lado derecho del sistema), se resuelve por
sustitución inversa.
• Las “operaciones” que se han mencionado :
(a) Multiplicar una fila (sus elementos) por cierta constante y sumarla
con otra fila.
(b) Cambiar la posición de dos filas.
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Ejemplo
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
x1 + 3x2 − x3 = 2
2x1 − x2 + 3x3 = 4
4x1 + 2x2 − 2x3 = 1
La matriz ampliada del sistema es:
f1 :
f2 :
f3 :
 1 3 −1 | 22 −1 3 | 4
4 2 −2 | 1

 1 3 −1 | 22 −1 3 | 4
4 2 −2 | 1
 f1∗(−2)+f2=⇒
 1 3 −1 | 20 −7 5 | 0
4 2 −2 | 1

11
 1 3 −1 | 20 −7 5 | 0
4 2 −2 | 1
 f1∗(−4)+f3=⇒
 1 3 −1 | 20 −7 5 | 0
0 −10 2 | −7

 1 3 −1 | 20 −7 5 | 0
0 −10 2 | −7
 f2∗(−10/7)+f3=⇒
 1 3 −1 | 20 −7 5 | 0
0 0
(
− 507 + 2
)
| −7

En consecuencia, el sistema original es equivalente al siguiente sistema
(tener presente que − 507 + 2 = −
36
7 )
x1 + 3x2 − x3 = 2 (7)
−7x2 + 5x3 = 0 (8)
−36
7
x3 = −7 (9)
12
De lo anterior: por (9) tenemos que
x3 =
49
36
,
eso en (8) implica que
x2 =
5
7
∗ x3 =
5
7
∗ 49
36
=
35
36
,
y ambos en (7) implica que
x1 = 2− 3 ∗
35
36︸︷︷︸
x2
+
49
36︸︷︷︸
x3
=
16
36
=
4
9
.
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Comentarios sobre el método
• Si es más simple, se puede cambiar de orden de las filas y luego aplicar
el método.
• En particular, si el elemento con el cual se pivotea una fila es cero, se
aplica lo anterior.
Por ejemplo: para la siguiente matriz ampliada, el elemento a32 = 6
debeŕıa ser pivoteado con el elemento a22 = 0. En ese caso no tiene
sentido proceder con el pivoteo. 2 3 5 | 30 0 7 | 2
0 6 2 | 4

• Para continuar con el método, en la matriz anterior conviene (se
puede) cambiar el orden de las filas 2 y 3. Queda entonces: 2 3 5 | 30 6 2 | 4
0 0 7 | 2

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Resolución de sistemas de
ecuaciones lineales
Ejemplo importante (1)
Dadas las constantes (reales) α y β, considere el siguiente SEL:
βx1 + x2 = α
2x1 + 3x2 = 1
• La matriz ampliada del sistema es[
β 1 | α
2 3 | 1
]
• Para aplicar la “técnica” (triangularizar) conviene ponderar las filas por
constantes conocidas. Por ese hecho, se sugiere cambiar las filas de la
matriz ampliada: [
2 3 | 1
β 1 | α
]
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• Para dejar 0 en la posición a21 (donde está β), en la matriz ampliada se
debe multiplicar la primera fila por −β2 y sumarla con la segunda fila.
Queda entonces:
[
2 3 | 1
β 1 | α
]
f1∗−β2 +f2=⇒
[
2 3 | 1
0 1− 3β2 | α−
β
2
]
.
• Sobre la base de lo anterior, teniendo presente que(
1− 3β
2
)
x2 = α−
β
2
( )∗2⇐⇒ (2− 3β)x2 = 2α− β,
el sistema de ecuaciones queda
2x1 + 3x2 = 1 (10)
(2− 3β)x2 = 2α− β (11)
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• Se tiene entonces que:
(i) Si 2− 3β ̸= 0, es decir, si β ̸= 23 , el sistema tiene solución única: de
ecuación (11) se obtiene x2, y con eso en ecuación (10) se obtiene
x1:
x2 =
2α− β
2− 3β ∧ 2x1+3x2 = 1 ⇒ x1 =
1
2
(
1− 3 2α− β
2− 3β
)
=
2− 6α
4− 6β .
(ii) Si 2− 3β = 0, es decir, si β = 23 , entonces el sistema
(ii.1) No tiene solución (0x2 ̸= 0) si
2α− 2
3
̸= 0 ⇐⇒ α ̸= 1
3
.
(ii.2) Tiene infinitas soluciones (0x2 = 0) si
2α− 2
3
= 0 ⇐⇒ α = 1
3
.
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Ejemplo importante (2)
Encontrar α y β para que el siguiente sistema
x1 − x2 − x3 = 1
2x1 + βx2 + x3 = 4
x1 + x2 + 2x3 = α
• no tenga solución
• tenga infinitas soluciones
• tenga solución única
(a) La matriz ampliada del sistema es 1 −1 −1 | 12 β 1 | 4
1 1 2 | α
 .
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(b) Triangularizando: 1 −1 −1 | 12 β 1 | 4
1 1 2 | α
 f1∗(−2)+f2=⇒
 1 −1 −1 | 10 β + 2 3 | 2
1 1 2 | α

 1 −1 −1 | 10 β + 2 3 | 2
1 1 2 | α
 f1∗(−1)+f3=⇒
 1 −1 −1 | 10 β + 2 3 | 2
0 2 3 | α− 1

• En principio, debemos dejar 0 en la posición a32 = 2, por lo que la
segunda fila debeŕıa ser multiplicada por − 2β+2 y luego sumar con la
tercera fila. Sin embargo, parece más simple intercambiar las
filas 2 y 3 y luego continuar con el método (las multiplicaciones son
más sencillas): 1 −1 −1 | 10 β + 2 3 | 2
0 2 3 | α− 1
 ⇒
 1 −1 −1 | 10 2 3 | α− 1
0 β + 2 3 | 2

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Luego:  1 −1 −1 | 10 2 3 | α− 1
0 β + 2 3 | 2
 f2∗(− (β+2)2 )+f3=⇒
 1 −1 −1 | 10 2 3 | α− 1
0 0 −3(β+2)2 + 3 | −
(β+2)(α−1)
2 + 2

Sobre la base de lo anterior, la tercera ecuación del SEL es(
−3(β + 2)
2
+ 3
)
x3 = −
(β + 2)(α− 1)
2
+ 2,
es decir:
−3β
2
x3 =
−αβ + β − 2α+ 6
2
⇐⇒ 3βx3 = αβ − β + 2α− 6.
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Luego, sobre la base de expuesto:
• Si β ̸= 0 el sistema tiene una solución única: se despeja x3 de
ecuación anterior y con él, usando la ecuación del medioen el SEL
triangular se obtiene x2. Finalmente, con los resultados de x3 y x2 se
obtiene x1 usando la primera ecuación de SEL.
• Si β = 0, la ecuación anterior se convierte en
0x3 = 2α− 6
Por lo tanto:
(i) El sistema no tiene solución si 2α− 6 ̸= 0, es decir, cuando α ̸= 3.
En ese caso, la ecuación bajo análisis queda
0x3 = 2α− 6︸ ︷︷ ︸
̸=0
(ii) Si 2α− 6 = 0, es decir, α = 3, entonces el sistema tiene infinitas
soluciones, ya que la ecuación bajo análisis se convierte en
0x3 = 0.
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