Deposito Algebra lineal (3)

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7 Matriz y determinante 
1 MATRIZ Y DETERMINANTE 
1.1 Matriz 
1.1.1 Concepto de matriz y tipos de matrices 
Definición: Se llama matriz de orden o dimensión �x� a un conjunto de (� · �) elementos 
dispuestos en � filas y � columnas de la siguiente manera: 
� = 	
�� 
��
�� 
�� ⋯ 
��⋯ 
��⋮ ⋮
�� 
�� ⋱ ⋮⋯ 
��� 
Utilizando una notación abreviada, una matriz se escribe como: � = �
������������� ∈ ����	, siendo ���� el conjunto de las matrices de � filas y � columnas. 
Definición: Se llama diagonal principal de una matriz 	� ∈ ����	 al conjunto formado por los 
elementos 
��, ∀� = 1, 2, … ,"��	(�, �). 
Tipos de matrices: 
A continuación se muestran las matrices más comunes: 
- Matriz fila: Matriz con una única fila, � = 1. 
- Matriz columna: Matriz con una única columna, � = 1. 
- Matriz cuadrada: Matriz en la que el número de filas y de columnas coincide, � = �. El 
conjunto de las matrices cuadradas de orden � se denota por ���� o simplemente por ��. 
- Matriz rectangular: Matriz en la que el número de filas y de columnas no coincide, � ≠ �. 
- Matriz nula: Matriz cuyos elementos son nulos, 
�� = 0, ∀� = 1, 2, … , �, ∀% = 1, 2, … , �. 
La matriz nula de dimensión �x� se denota por 0��� o simplemente por 0. 
- Matriz opuesta: Dada una matriz � = �
���, se dice que & = �'��� es su opuesta si 
cumple que & = −�, o lo que es lo mismo '�� = −
��, ∀� = 1, 2, … , �, ∀% = 1, 2, … , �. 
 
8 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
- Matriz triangular superior: Matriz cuadrada � = �
���		cuyos elementos situados por 
debajo de la diagonal principal son nulos, 
�� = 0 ∀� > %. 
- Matriz triangular inferior: Matriz cuadrada � = �
���		cuyos elementos situados por 
encima de la diagonal principal son nulos, 
�� = 0 ∀� < %. 
- Matriz diagonal: Matriz cuadrada � = �
��� cuyos elementos situados fuera de la 
diagonal principal son nulos, 
�� = 0 ∀� ≠ %. 
- Matriz identidad: Matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal son unos. La 
matriz identidad de dimensión � se denota por +�. 
1.2 Operaciones con matrices 
1.2.1 Suma de matrices 
Sean las matrices �, & ∈ ����, la suma de ambas se define como: 
, = � + & = �.��� ∈ ����, siendo .�� = 
�� + '��, ∀� = 1,2,… , �, ∀% = 1, 2, … , � 
Propiedades de la suma de matrices: 
Dadas las matrices �, &, , ∈ ����, la suma de matrices cumple las siguientes propiedades: 
- Propiedad asociativa: (� + &) + , = � + (& + ,) 
- Existencia del elemento neutro: El elemento neutro respecto de la suma es la matriz 
nula: � + 0 = 0 + �, siendo 0 la matriz nula de igual dimensión que la matriz �. 
- Existencia del elemento simétrico: El elemento simétrico respecto de la suma es la 
matriz opuesta: � + (−�) = (−�) + � = 0 
- Propiedad conmutativa: � + & = & + � 
1.2.2 Producto de un escalar por una matriz 
Sea la matriz � ∈ ���� y sea / ∈ ℝ un escalar, el producto del escalar / por la matriz � se 
define como: 
, = / · � = �.��� ∈ ����, siendo .�� = / · 
�� , ∀� = 1, 2, … , �, ∀% = 1, 2, … , � 
Propiedades del producto de un escalar por una matriz: 
Dadas las matrices �, & ∈ ���� y los escalares /," ∈ ℝ, el producto de un escalar por una 
matriz cumple las siguientes propiedades: 
- Propiedad distributiva respecto de la suma de matrices: / · (� + &) = / · � + / · & 
 
9 Matriz y determinante 
- Propiedad distributiva respecto de la suma de escalares: (/ + ") · � = / · � +" · � 
- Propiedad asociativa: (/ · ") ∙ � = / · (" · �) 
- Existencia del elemento neutro: 1 · � = � 
1.2.3 Producto de matrices 
El producto de dos matrices se puede realizar cuando el número de columnas de la primera 
matriz coincide con el número de filas de la segunda. Es decir, se puede realizar el producto � · & cuando � ∈ ���� y & ∈ ���2. La matriz resultante , tendrá tantas filas como la matriz � 
y tantas columnas como la matriz &: 
, = � · & = �.��� ∈ ���2, siendo .�� = ∑ 
�4'4��45� ∀� = 1, 2, . . , �, ∀% = 1,2, . . , 7 
Propiedades del producto de matrices: 
Dadas tres matrices �, & y , de dimensiones adecuadas, el producto de matrices cumple las 
siguientes propiedades: 
- Propiedad asociativa: (� · &) · , = � · (& · ,) 
- Propiedad distributiva respecto de la suma: 
o (� + &) · , = � · , + & · , 
o � · (& + ,) = � · & + � · , 
- Existencia del elemento neutro: el elemento neutro respecto del producto es la matriz 
identidad: � · + = + · �, siendo � una matriz cuadrada e + la matriz identidad de igual 
dimensión que la matriz �. 
Observaciones: 
- En general la propiedad conmutativa no se cumple: � · & ≠ & · �. 
- No siempre existe el elemento simétrico respecto del producto como se verá 
posteriormente. El elemento simétrico de la matriz � es una matriz & que cumple: � · & = & · � = +. 
1.3 Determinante de una matriz 
A toda matriz cuadrada � ∈ ��, se le asocia un escalar que se denomina determinante de la 
matriz y que se denota por: 
89:(�) = |�| = <
�� 
��
�� 
�� ⋯ 
��⋯ 
��⋮ ⋮
�� 
�� ⋱ ⋮⋯ 
��<